Formalização do Quadrado Aristotélico

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Resumos - Lógica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marília - 2009
FORMALIZAÇÃO DO QUADRADO ARISTOTÉLICO DAS OPOSIÇÕES 
Com as definições dos quantificadores e a partir da composição de funções proposicionais com 
conectivos, vamos começar a estudar os principais resultados lógica tradicional.
A primeira pergunta então é a seguinte. Com as definições dos quantificadores e a partir da com-
posição de funções proposicionais com conectivos, como representar em fórmulas as proposições: 
algum A é B, todo A é B, algum A não é B e nenhum A é B? Notemos que A e B são predicados.
ALGUM A É B. 
Algum A é B pode ser representado pela fórmula ∃x(A(x) ∧ B(x)). Com efeito, vamos analisá-la.
F(x) = A(x) ∧ B(x) A(c) B(c) F(c) = A(c) ∧ B(c) F(c)
F(c) = A(c) ∧ B(c) V V V V
F(c) é V ou F em função de A(c) e B(c) V F F F
como na tabela ao lado. F V F F
F F F F
Assim, ∃x(A(x) ∧ B(x)) = existe um c tal que A(c) ∧ B(c) é V, ou seja, tal que A(c) e B(c). Logo, 
algum A é B é expresso pela fórmula ∃x(A(x) ∧ B(x)) .
TODO A É B. 
Todo A é B pode ser representado pela fórmula ∀x(A(x) → B(x)). Com efeito, vamos analisá-la.
F(x) = A(x) → B(x) A(c) B(c) F(c) = A(c) → B(c) F(c)
F(c) = A(c) → B(c) V V V V
F(c) é V ou F em função de A(c) e B(c) V F F F
como na tabela ao lado. F V V V
F F V V
Assim, ∀x(A(x) → B(x)) = para todo c temos que: A(c) e B(c), ou não A(c) e B(c), ou não A(c) e 
não B(c). Portanto, se ∀x(A(x) → B(x)) é verdadeira, então: se, para um c, A(c), logo, temos B(c). 
Logos, todo A é B é expresso pela fórmula ∀x(A(x) → B(x)).
Notar que ∃x(A(x) → B(x)) significa dizer que, existe um c que não A(c) ou que B(c), e,
 portanto, não traduz a noção de implicação.
Exercício. Analisar as fórmulas (1) ∃x(A(x) ∧ ~B(x)) , (2) ∀x (A(x)→~B(x)) e (3) ∃x(A(x)∧B(x)) 
e mostrar que (1) representa “Algum A não é B” e (2) e (3) representam “Nenhum A é B”.
Do analisado acima, temos o seguinte tabela das proposições categóricas e suas formalizações..
Proposições Categóricas e Suas Formalizações
Afirmativa
(A e I de “A f I r m o”)
Negativa
(E e O de “n E g O”)
Universal
A
Todo A é B
∀x (A(x) → B(x))
E
Nenhum A é B
∀x (A(x) → ~B(x))
Particular 
I
Algum A é B
∃x (A(x) ∧ B(x))
O
Algum A não é B
∃x (A(x) ∧ ~B(x))
Se o universo de discurso não é vazio temos as seguintes definições e inferências imediatas:
• A e O, E e I são contraditórias, i.e., se uma é falsa, a outra é verdadeira.
• A e E são contrárias, i.e., não são ambas verdadeiras.
• I e O são subcontrárias, i.e., não são ambas falsas.
• I e O são, respectivamente, subalternas de A e E, e são verdadeiras, se, respectivamente, A e 
E são verdadeiras.
• A e E são, respectivamente, superalternas de I e O, e são falsas, se, respectivamente, I e O 
são falsas.
O que nos dá o quadra abaixo.
Obs.: Pode-se também considerar ainda:
A como ∀xA(x); E como ∀x~A(x); I como ∃xA(x); e O como ∃x~A(x).