AP3-ALII-2017-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Álgebra Linear II – 16/12/2017
Gabarito
Questão 1 (1,0 ponto) Determine os valores de a, b, c ∈ R para que seja autoadjunto o operador
linear L : R3 −→ R3 tal que L(1, 0, 0) = (41, 6a− 8, 2 + a), L(0, 1, 0) = (3b + 5c, 37, 17 + a) e
L(0, 0, 1) = (8c− 9, 3b+ 5c, 29).
Solução:
A matriz de L na base canônica (base ortonormal) é [L] =


41 3b+ 5c 8c− 9
6a− 8 37 3b+ 5c
2 + a 17 + a 29

.
L é autoadjunto ⇐⇒ [L] = [L]t ⇐⇒



6a− 8 = 3b+ 5c
17 + a = 3b+ 5c
8c− 9 = 2 + a
⇐⇒



6a− 8 = 17 + a
17 + a = 3b+ 5c
8c− 9 = 2 + a
⇐⇒



5a = 25
17 + a = 3b+ 5c
8c− 9 = 2 + a
⇐⇒



a = 5
22 = 3b+ 5c
8c− 9 = 7
⇐⇒



a = 5
3b = 22− 5c
c = 2
⇐⇒



a = 5
b = 4
c = 2
Questão 2 (1,2 pontos) Seja B ∈ M6(R) uma matriz simétrica cujo polinômio caracteŕıstico
é p(λ) = (λ− 2)2(λ4 + λ3 − 12λ2). Determine os autovalores e suas multiplicidades algébrica e
geométrica.
Solução:
Temos que p(λ) = (λ−2)2(λ4+λ3−12λ2) = (λ−2)2λ2(λ2+λ−12) = (λ−2)2λ2(λ−3)(λ+4).
Assim os autovalores de B são λ1 = 2, λ2 = 0, λ3 = 3 e λ4 = −4, com multiplicidade algébrica
dada respectivamente por 2, 2, 1, 1.
Por outro lado, a multiplicidade geométrica de cada autovalor é pelo menos 1 e menor ou igual
à multiplicidade algébrica, coincidindo no caso em que a matriz B é diagonalizável
Como B é simétrica temos que B é diagonalizável e desta forma
λ1 = 2 e λ2 = 0 têm multiplicidade geométrica = 2
λ3 = 3 e λ4 = −4 têm multiplicidade geométrica = 1
Questão 3 (1,0 ponto) Determine a matriz C que representa, na base canônica do R2, a
transformação linear obtida pela reflexão com respeito à reta y = x seguida de uma rotação de
π
6
radianos no sentido anti-horário.
Solução:
Sejam [T ] e [R], respectivamente, as matrizes de T e R na base canônica do R2, onde T
corresponde à reflexão com respeito à reta y = x e R à rotação de π
6
radianos no sentido
anti-horário.
Note que, geometricamente, a reta y = x é a bissetriz do ângulo formado pelo semieixo positivo
x e o semieixo positivo y. Faça um desenho e veja que T (1, 0) = (0, 1) e T (0, 1) = (1, 0). Logo,
1
[T ] =
[
0 1
1 0
]
e [R] =
[
cos π
6
− sen π
6
sen π
6
cos π
6
]
=
[ √
3
2
−1
2
1
2
√
3
2
]
Segue que
[C] = [R ◦ T ] = [R] [T ] =
[ √
3
2
−1
2
1
2
√
3
2
] [
0 1
1 0
]
=
[
−1
2
√
3
2√
3
2
1
2
]
.
Questão 4 (2,0 pontos) Seja A ∈ M3(R) com autovalores λ1 = 27 e λ2 = −14 tal que
E(λ1 = 27) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 8y + 9z = 0,−4x+ 33y − 30z = 0 e 6x− 55y + 12z = 0} e
E(λ2 = −14) = {(x, y, z) ∈ R3 ; −3x− 51y + 33z = 0}.
a) [1,6 pts] Determine bases para os autoespaços e dê as multiplicidades geométricas dos seus
autovalores.
b) [0,4 pt] A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
a) – Cálculo da base de E(λ1 = 27):
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema linear homogêneo que
define E(λ1 = 27), obtemos:


1 −8 9
−4 33 −30
6 −55 12


L2 ← L2 + 4L1
L3 ← L3 − 6L1∼


1 −8 9
0 1 6
0 −7 −42


L1 ← L1 + 8L2
L3 ← L3 + 7L2∼


1 0 57
0 1 6
0 0 0


Logo, x+ 57z = 0 e y + 6z = 0. Assim,
E(λ1 = 27) = {(x, y, z) ∈ R3; x− 8y + 9z = 0,−4x+ 33y − 30z = 0, 6x− 55y + 12z = 0}
= { (x, y, z) ∈ R3 ; x+ 57z = 0 e y + 6z = 0}
= { (x, y, z) ∈ R3 ; x = −57z e y = −6z}
= { (−57z,−6z, z) ; z ∈ R}
= { z(−57,−6, 1) ; z ∈ R} = [(−57,−6, 1)].
Portanto, {(−57,−6, 1)} é uma base de E(λ1 = 27) e a multiplicidade geométrica de λ1 = 27
é 1.
– Cálculo da base de E(λ2 = −14):
Temos que
E(λ2 = −14) = {(x, y, z) ∈ R3 ; −3x− 51y + 33z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; 3x = −51y + 33z}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x = −17y + 11z}
= {(−17y + 11z, y, z) ; y, z ∈ R}
= {(−17y, y, 0) + (11z, 0, z) ; y, z ∈ R}
= {y(−17, 1, 0) + z(11, 0, 1) ; y, z ∈ R} = [(−17, 1, 0), (11, 0, 1)]
Portanto, {(−17, 1, 0), (11, 0, 1)} é uma base de E(λ2 = −14) e a multiplicidade geométrica de
λ2 = −14 é 2.
2
b) Pelos cálculos do item (a), vemos que existe uma base do R3 formada por autovetores de
A, a saber {(−57,−6, 1), (−17, 1, 0), (11, 0, 1)}, equivalentemente, a soma das multiplicidades
geométricas dos autovalores é 1 + 2 = 3 = dimR3, logo A é diagonalizável.
Questão 5 (3,0 pontos) Seja A =
[
0 4
4 15
]
.
a) [1,8 pts] Determine uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) [1,2 pts] Usando os cálculos do item anterior, identifique a cônica dada pela forma matricial
abaixo, obtendo uma equação reduzida à forma canônica por meio de uma rotação.
(x, y)
[
0 4
4 15
] [
x
y
]
+ (8
√
17 , 6
√
17)
[
x
y
]
− 169 = 0.
Solução:
a) Seja A =
[
0 4
4 15
]
. Temos λI2 − A =
[
λ −4
−4 λ− 15
]
e
p(λ) = det(λI2 −A) = det
[
λ −4
−4 λ− 15
]
= λ(λ− 15)− 16 = λ2 − 15λ− 16 = (λ+ 1)(λ− 16).
Logo, os autovalores de A são 16 e −1.
– Cálculo dos autovetores associados a λ = 16:
Devemos resolver o sistema linear homogêneo cuja matriz associada é (16)I2 − A. Reduzindo
por linhas à forma em escada, obtemos:
(16)I2 − A =
[
16 −4
−4 1
]
L1← 116L1∼
[
1 −1
4
−4 1
]
L2←L2+4L1∼
[
1 −1
4
0 0
]
.
Assim, x− 1
4
y = 0 ⇔ x = 1
4
y ⇔ y = 4x e
E(λ = 16) = {(x, y) ∈ R2; y = 4x} = {(x, 4x) ; x ∈ R} = {x (1, 4) ; x ∈ R}.
Logo, fazendo x = 1, obtemos que v = (1, 4) é autovetor associado a λ = 16.
– Cálculo dos autovetores associados a λ = −1:
Devemos resolver o sistema linear homogêneo cuja matriz associada é (−1)I2 − A. Reduzindo
por linhas à forma em escada, obtemos:
(−1)I2 −A =
[
−1 −4
−4 −16
]
L1←(−1)L1∼
[
1 4
−4 −16
]
L2←L2+4L1∼
[
1 4
0 0
]
.
Assim, x+ 4y = 0 ⇔ x = −4y e
E(λ = −1) = {(x, y) ∈ R2; x = −4y} = {(−4y, y) ; y ∈ R} = {y (−4, 1) ; y ∈ R}.
Logo, fazendo y = 1 obtemos que w = (−4, 1) é autovetor associado a λ = −1.
Portanto, {v = (1, 4)
︸ ︷︷ ︸
λ1=16
, w = (−4, 1)
︸ ︷︷ ︸
λ2=−1
} é uma base do R2 formada por autovetores de A.
b) Usando os cálculos e notações do item anterior,
3
-
6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ
x
w
y
Z
Z
Z
Z}
�
�
�
�7
v
λ1 = 16λ2 = −1
Vemos que devemos girar v de π
2
no sentido anti-horário para fazê-lo coincidir com w.
Portanto, β =
{
u1 =
v
‖v‖ =
(
1√
17
, 4√
17
)
, u2 =
w
‖w‖ =
(
− 4√
17
, 1√
17
)}
é uma base ortonormal de
autovetores, associados aos autovalores λ1 = 16 e λ2 = −1, tal que a matriz de mudança de base,
da base β para a base canônica, é dada por P =
[
u1 u2
]
=
[
1√
17
− 4√
17
4√
17
1√
17
]
com det(P ) = 1
(é a rotação utilizada) e cuja correspondente matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
16 0
0 −1
]
.
Como
[
x
y
]
= P
[
x1
y1
]
e P tAP =
[
16 0
0 −1
]
, obtemos:
(x1, y1)
[
16 0
0 −1
] [
x1
y1
]
+ (8
√
17, 6
√
17)
[
1√
17
− 4√
17
4√
17
1√
17
]
︸ ︷︷ ︸
faça essa conta primeiro
[
x1
y1
]
− 169 = 0
⇐⇒ 16x21 − 1y21 + (32,−26)
[
x1
y1
]
− 169 = 0
⇐⇒ 16x21 − y21 + 32x1 − 26y1 − 169 = 0
⇐⇒
(
16x21 + 32x1
)
−
(
y21 + 26y1
)
− 169 = 0
⇐⇒ 16
(
x21 + 2.1x1 + 1
2
)
−
(
y21 + 2.13y1 + 13
2
)
− 169− 16 + 169 = 0
⇐⇒ 16(x1 + 1)2 − (y1 + 13)2 = 16 ⇐⇒ (x1+1)
2
1
− (y1+13)2
42
= 1,
que é uma equação reduzida na forma canônica de uma hipérbole.
Questão 6 (1,8 pontos) Seja T : R2 −→ R2 a reflexão com respeito à reta 6x−
√
3y = 0.
a) [0,6 pt] Dê exemplo de uma base doR2 formada por autovetores de T , indicando os respectivos
autovalores.
b) [1,2 pt] Determine uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T , sua correspondente matriz
diagonal D e a matriz A que representa T na base canônica do R2.
Solução:
a) Temos que
– u1 = (
√
3, 6) pertence à reta, então T (
√
3, 6) = (
√
3, 6), logo u1 = (
√
3, 6) é autovetor de T
associado ao autovalor λ1 = 1.
4
– u2 = (6,−
√
3) é ortogonal à reta, então T (6,−
√
3) = −(6,−
√
3), logo u2 = (6,−
√
3) é
autovetor de T associado ao autovalor λ2 = −1.
Portanto, β = {u1 = (
√
3, 6)
︸ ︷︷ ︸
λ1=1
, u2 =(6,−
√
3)
︸ ︷︷ ︸
λ2=−1
} é uma base do R2 formada por autovetores de T .
b) Uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T é a matriz de mudança de base, da base β (obtida
no item (a)) para a base canônica, dada por P =
[
u1 u2
]
=
[ √
3 6
6 −
√
3
]
.
A sua correspondente matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 0
0 −1
]
.
A inversa de P é P−1 = − 1
39
[
−
√
3 −6
−6
√
3
]
=
[ √
3
39
6
39
6
39
−
√
3
39
]
.
Temos que
A = PDP−1 =
[ √
3 6
6 −
√
3
] [
1 0
0 −1
][ √
3
39
6
39
6
39
−
√
3
39
]
=
[ √
3 6
6 −
√
3
][ √
3
39
6
39
− 6
39
√
3
39
]
=
[
−33
39
12
√
3
39
12
√
3
39
33
39
]
.
5