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Áreas de Superfícies de Revolução.
Professor Joseilson R. de Lima.
Aulas de Cálculo II
8 de março de 2021
Professor Joseilson R. de Lima. Áreas de Superfícies de Revolução.
Sumário
1 Definição de área de superfície.
2 Revolução em torno do eixo y.
3 Curvas parametrizadas.
Professor Joseilson R. de Lima. Áreas de Superfícies de Revolução.
Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Definição de área de superfície.
Quando rotacionamos uma curva plana em torno de um eixo contido no
mesmo plano da curva geramos uma superfície chamada superfície de
revolução.
Queremos que nossa definição da área de uma superfície de revolução seja
coerente com os resultados apresentados na geometria clássica para áreas
de esferas, cilindros circulares e cones.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Assim, se consideramos o semicírculo de raio a, y =
√
a2 − x2 e giramos em
torno do eixo x, ele gera uma esfera de raio a com área de superfície 4πa2.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Antes de considerar curvas gerais, vamos começar girando em torno do eixo
x seguimentos de reta horizontais e inclinados. Se girarmos em torno desse
eixo o seguimento de reta horizontal AB, cujo o comprimento é ∆x ,
geraremos um cilindro.
A área desse cilindro é igual a de um retângulo com lados de comprimento
∆x e 2πy . Assim, o cilindro possui área de superfície igual a 2πy∆x .
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Agora, suponha que o segmento de reta AB tenha comprimento ∆s e, em
vez de horizontal, seja inclinado. Quando girado em torno do eixo x, AB gera
um tronco de cone.
Segundo a geometria clássica, a área de superfície desse tronco é 2πy∗∆s,
onde y∗ = (y1 + y2) /2 é a altura média do segmento inclinado AB acima do
eixo x. Essa área de superfície é igual à área de um retângulo com lados de
comprimento ∆s e 2πy∗.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Partindo desses princípios geométricos, vamos definir a área de uma
superfície gerada pela rotação de curvas mais gerais em torno do eixo x.
Suponha que queiramos definir a área da superfície gerada pela rotação, em
torno do eixo x, da curva (gráfico) de uma função contínua não negativa
y = f (x), a ≤ x ≤ b.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Dividimos o intervalo fechado [a, b] de maneira usual e usamos os pontos da
partição para subdividir o gráfico em arcos curtos. A figura a anterir mostra
um arco típico PQ e a faixa gerada por ele como parte do gráfico de f .
Quando o arco PQ gira em torno do eixo x, o segmento de reta que une P e
Q gera um tronco de cone cujo eixo coincide com o eixo x
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
A área de superfície desse tronco serve para aproximar a área da superfície
da faixa gerada pelo arco PQ. A área de superfície do tronco de cone
mostrado na figura anterior é 2πy∗L, onde y∗ é a altuma média do segmento
que une P e Q, e L é seu comprimento. Como f ≥ 0, a altura média do
segmento de reta é y∗ = (f (xk−1) + f (xk )) /2 e o seu comprimento é
L =
√
(∆xk )2 + (∆yk )2. Portanto, a área de superfície do tronco é
Sk = 2π ·
f (xk−1) + f (xk )
2
·
√
(∆xk )2 + (∆yk )2
= π [f (xk−1) + f (xk )]
√
(∆xk )2 + (∆yk )2.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
A área S da superfície original é
S ≈
n∑
1
Sk =
n∑
1
π [f (xk−1) + f (xk )]
√
(∆xk )2 + (∆yk )2. (1)
Da mesma forma que fizemos para comprimento de curvas, temos
S ≈
n∑
1
π [f (xk−1) + f (xk )]
√(
∆xk
∆xk
)2
+
(
∆yk
∆xk
)2
∆xk .
Ou seja,
S ≈
n∑
1
π [f (xk−1) + f (xk )]
√
1 +
(
∆yk
∆xk
)2
∆xk .
Que é uma soma de Riemann em x. Além disso, quando n→∞, temos
∆xk → 0 e
lim
∆xk→0
∆yk
∆xk
=
dy
dx
= f ′(x).
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Concluímos então que
S =
∫ b
a
2πf (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Temos então a definição:
Definição (Áre de superfície de revolução em torno do eixo x)
Se a função f (x) ≥ 0 é continuamente derivável em [a, b], a área da
superfície gerada pela rotação da curva y = f (x) em torno do eixo x é
S =
∫ b
a
2πf (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx =
∫ b
a
2πy
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx . (2)
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Exemplo 1
Determine a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, da
curva y = 2
√
x , 1 ≤ x ≤ 2.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Solução.
Calculamos a fórmula
S =
∫ b
a
2πy
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
com
a = 1, b = 2, y = 2
√
x ,
dy
dx
=
1√
x
.
Temos
√
1 +
(
dy
dx
)2
=
√
1 +
(
1√
x
)2
=
√
1 +
1
x
=
√
x + 1
x
=
√
x + 1√
x
.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Portanto,
S =
∫ 2
1
2π · 2
√
x ·
√
x + 1√
x
dx
= 4π
∫ 2
1
√
x + 1 dx
= 4π
[
2
3
(x + 1)3/2
]2
1
=
8π
3
(
3
√
3− 2
√
2
)
.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Revolução em torno do eixo y.
No caso de revolução em torno do eixo y, permutamos x e y na Equação (2).
Definição (Área de superfície de revolução em torno do eixo y)
Se a função g(y) ≥ 0 é continuamente derivável em [c, d ], a área da
superfície gerada pela rotação da curva x = g(y) em torno do eixo y é
S =
∫ d
c
2πx
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy =
∫ d
c
2πg(y)
√
1 + [g′(y)]2 dy . (3)
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Exemplo 2
O segmento de reta x = 1− y , 0 ≤ y ≤ 1, é girado em torno do eixo y,
gerando um cone. Determine sua área de superfície lateral.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Solução.
Calculamos a fórmula
S =
∫ d
c
2πx
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy
com
c = 0, d = 1, x = 1− y , dx
dy
= −1.
Temos √
1 +
(
dx
dy
)2
=
√
1 + (−1)2 =
√
2
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Portanto,
S =
∫ 1
0
2π · (1− y) ·
√
2 dy
= 2π
√
2
∫ 1
0
1− y dy
= 2π
√
2
[
y − y
2
2
]1
0
= 2π
√
2
(
1− 1
2
)
= π
√
2.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Curvas parametrizadas.
Independentemente de qual seja o eixo de revolução, x ou y, a raíz quadrada
que aparece na Equação (1) é a mesma que aparece na fórmula para o
comprimento de arco. Se a curva é parametrizada pelas equações x = f (t),
y = g(t), a ≤ t ≤ b, onde f e g são continuamente deriváveis em [a, b],
então a raíz quadrada correspondente que aparece na fórmula do
comprimento de arco é √(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
.
Essa observação nos leva às fórmulasa seguir.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Área de superfície de revolução para curvas parametrizadas
Se uma curva lisa x = f (t) e y = g(t), a ≤ t ≤ b, é percorrida exatamente
uma vez quando t aumenta de a para b, então a área das superfícies
geradas pela rotação da curva em torno dos eixos coordenados é calculada
como se segue.
1 Rotação em torno do eixo x (y ≥ 0):
S =
∫ b
a
2πy
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt (4)
2 Rotação em torno do eixo y (x ≥ 0):
S =
∫ b
a
2πx
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt (5)
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Exemplo 3
A parametrização padrão do círculo de raio 1 centrado no ponto (0, 1) no
plano xy é
x = cos t , y = 1 + sent , 0 ≤ t ≤ 2π.
Use esspa parametrização para determinar a área da superfície gerada pela
rotação do círculo em torno do eixo x.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Solução.
Calculamos a fórmula
S =
∫ b
a
2πy
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
com
a = 0, b = 2π, x = cos t , y = 1 + sen t ,
dx
dt
= − sen t , dy
dt
= cos t .
Temos √(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
=
√
(− sen t)2 + (cos t)2 =
√
1 = 1
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Portanto,
S =
∫ 2π
0
2π(1 + sen t) dt
= 2π [t − cos t ]2π0
= 2π [2π − 1− (−1)]
= 4π2.
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Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Exemplo 4
Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva y = x3,
0 ≤ x ≤ 1/2, em torno do eixo x.
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Definição de área de superfície.
Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Solução.
Calculamos a fórmula
S =
∫ b
a
2πy
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
com
a = 0, b = 1/2, y = x3,
dy
dx
= 3x2.
Temos
S =
∫ 1/2
0
2πx3
√
1 + 9x4 dx .
Fazendo u = 1 + 9x4, temos du = 36x3 dx . Além disso, x = 0⇒ u = 1 e
x =
1
2
⇒ u = 1 + 9
16
=
25
16
.
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Revolução em torno do eixo y.
Curvas parametrizadas.
Logo,
S = 2π
(
1
36
)∫ 25/16
1
√
u du
=
π
18
[(
2
3
)
u3/2
]25/16
1
=
π
27
[(
25
16
)3/2
− 1
]
=
π
27
(
125
64
− 1
)
=
61π
1.728
.
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	Definição de área de superfície.
	Revolução em torno do eixo y.
	Curvas parametrizadas.