Primitivas e Integrais Indefinidas

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Primitivas 
1 
 Definição 
 Uma função F é uma primitiva de f em um intervalo I se 
 para qualquer x em I. 
 O processo de recuperar a função F(x) a partir de sua derivada f (x) 
 se chama antiderivação (primitivação). 
)()( xfxF 
 Exemplo 1: Determine uma primitiva para cada uma das funções: 
xxf 2)( a) b) 
 
 
 
xxg cos)( 
É importante notar que as soluções obtidas não são as únicas primitivas 
possíveis para os exemplos apresentados. 
Primitivas 
2 
 Baseado no Corolário 2 do Teorema do Valor Médio, pode-se dizer que 
duas primitivas quaisquer de uma função diferem por uma constante. 
 De uma forma mais geral, pode-se dizer que: 
CxF )(
 Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral 
de f em I é: 
 onde C é uma constante arbitrária 
 Assim, a primitiva mais geral é uma família de funções F(x) + C, 
 cujos gráficos são translações verticais uns dos outros. 
 Uma primitiva específica pode ser selecionada atribuindo um valor à 
 constante C. 
Primitivas 
3 
 Exemplo 2: Determine uma primitiva de f (x) = sen x que satisfaça 
 F(0) = 3. 
Função Primitiva Geral 
kxy sen
kxy cos
nxy 
kxey 
xy /1
kxay 
Ckx
k
 cos
1
Ckx
k
sen
1
1,
1
1 1 

 nCx
n
n
Ce
k
kx 
1
0,ln  xCx
Ca
ak
kx 
ln
1
Primitivas gerais 
para algumas funções 
(com k  0). 
Primitivas 
4 
Função Primitiva Geral 
kxy 2sec
kxy 2cosec
kxkxy tgsec
kxkxy cotgcosec
221
1
xk
y


221
1
xk
y


Ckxg
k
t
1
Ckx
k
 cotg
1
Ckx
k
sec
1
Ckx
k
 cosec
1
Ckx
k
)(arcsen
1
Ckx
k
)(arctg
1
Mais primitivas gerais 
para algumas funções 
(com k  0). 
1
1
22 

xkx
y 1,)(arcsec  kxCkx
Primitivas 
5 
 As primitivas podem ser adicionadas, subtraídas ou ainda multiplicadas 
por constantes. A tabela a seguir apresenta regras de linearidade para 
primitivas: 
Regra Função Primitiva Geral 
Multiplicação por 
Constante 
Oposta 
Soma ou Diferença 
cte;)(  kCxFk
CxF  )(
CxGxF  )()(
)(xfk
)(xf
)()( xgxf 
 Exemplo 3: Determine a primitiva geral de cada uma das funções: 







2
cos)(
x
xfa) b) c) 
 
 
xexf 5)(  xxf 52)( 
Primitivas 
6 
 Exercício: Determine a primitiva geral das funções a seguir: 
1. x
x
xf 2sen
3
)(  2. 
x
xexf 






3
5
)( 3 3. 241
1
)(
x
xf


Problema de Valor Inicial e Equações Diferenciais 
 Achar uma primitiva para uma função f (x) é o mesmo problema de 
 obter uma função y(x) que satisfaz a equação: 
)(xf
dx
dy

Equação diferencial 
00 )( yxy 
CxFy  )(
Para fixar a constante C acima, especifica-se uma condição inicial. 
Primitiva de f (x) 
Equação diferencial + Condição inicial = Problema de Valor Inicial 
 
Primitivas 
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Sol: Equação diferencial 
 Exemplo 4: Determine a curva cuja derivada no ponto (x, y) é 3x2 se 
 a curva passa pelo ponto (1, -1). 
23x
dx
dy
 Condição inicial: 1)1( y
A função y é a primitiva da função: 
23)( xxf 
Assim: Cxy 
3
A determinação da constante é feita a partir da condição inicial: 
C 3)1(1 2C
Finalmente: 2
3  xy
Solução Geral 
Solução Particular 
Primitivas e Movimento 
8 
 Exemplo 5: Uma partícula se desloca ao longo de um eixo coordenado 
t
t
dt
sd
a
3
15
2
2
 0scom aceleração sujeito a e 4
dt
ds
quando t = 1. Determine v(t) e s(t). 
 Exercícios 
 
1. Resolva o valor de r(t) do problema de valor inicial a seguir: 
 
 
 
 
2. Um foguete decola da superfície terrestre com aceleração constante 
 a = 20 m/s2. Qual será sua velocidade 1 minuto depois? 
 
 
1)1(e1;
2
1
32
2


r
dt
dr
tdt
rd
t
Integrais Indefinidas 
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 Definição 
 O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em 
 relação a x, denotada por: 
 dxxf )(
 Usando esta notação, as soluções do Ex.1 podem ser escritas como: 
Cxdxx 
22a) b) 
 
 
 
Cxdxx  sencos
Esta notação diz respeito à principal aplicação das primitivas que será 
estudada no capítulo posterior: integração. 
 onde  é o símbolo da integral. A função f é o integrando da integral e x 
 é a variável de integração. 
Integrais Indefinidas 
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 Exemplo 6: Calcule   dxxx )52(
2
 Exercícios 
 
1. Determine as integrais indefinidas a seguir: 
 
a. 
 
 
b. 
 
 
c. 
 


dt
t
ttt
2

 dxee xx )5( 3
 
 dxe xx )4(