MecanicaI_TrabalhoVirtual_13Ago2021

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13/08/2021
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Mecânica para Engenharia Civil I
Trabalho Virtual
Prof: Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
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Mecânica Lagrangiana
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§ AMecânica Newtoniana é baseada em grandezas vetoriais:
• Forças, momentos, deslocamentos, acelerações etc.
§ AMecânica Lagrangiana é baseada em grandezas escalares:
• Trabalho e energia.
• Princípios Variacionais da Mecânica.
• Solução de problemas complexos.
§ As técnicas baseadas em trabalho ou energia são fundamentais na
solução de problemas da mecânica:
• Corpos rígidos e sistemas discretos: equações algébricas.
• Corpos deformáveis: equações diferenciais.
• Métodos aproximados: Rayleigh-Ritz e Elementos Finitos.
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Trabalho de uma força
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𝑑𝑊 = 𝐅 % 𝑑𝐫 𝑑𝑊 = 𝐹 𝑑𝑟 cos 𝛼⟹
0 ≤ 𝛼 < 90° ⟹ 𝑑𝑊 > 0
𝛼 = 90° ⟹ 𝑑𝑊 = 0
90 < 𝛼 ≤ 180° ⟹ 𝑑𝑊 < 0
O trabalho pode ser calculado como o produto
da força pela projeção do deslocamento na
direção da força (e vice-versa).
3
Trabalho de um binário (momento)
4
𝑑𝑊 = 𝐅 % 𝑑𝐫! + 𝑑𝐫" − 𝐅 % 𝑑𝐫!
𝑑𝑊 = 𝑀 𝑑𝜃
𝑑𝑊 = 𝐅 % 𝑑𝐫" = 𝐹 𝑟 𝑑𝜃
Pares energeticamente conjugados:
• Força e translação.
• Momento e rotação.
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
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§ Considere uma partícula em equilíbrio submetida a um
deslocamento virtual arbitrário dr:
𝛿𝑊 = 𝐅! % 𝛿𝐫 + 𝐅" % 𝛿𝐫 + ⋯+ 𝐅# % 𝛿𝐫
𝛿𝑊 = 𝐅! + 𝐅"+ ⋯ % + 𝐅# % 𝛿𝐫
𝛿𝑊 = 𝐅$ % 𝛿𝐫 = 0
O trabalho virtual é nulo porque a partícula
está em equilíbrio FR = 0.
A inversa é verdadeira?
dW = 0 implica em equilíbrio?
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
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§ De acordo com o Princípio dos Trabalhos Virtuais, se o trabalho
virtual é nulo para qualquer deslocamento virtual admissível,
então o sistema está em equilíbrio:
𝛿𝑊 = 0, ∀𝛿𝐫 ⟹ Equilíbrio
Deslocamentos virtuais admissíveis:
• Pequenos (diferenciais).
• Devem respeitar os vínculos (apoios e ligações) do
sistema.
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
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§ No caso de corpos rígidos é necessário incluir o trabalho dos
momentos:
a b
M
VA
HA
VB = ?
P
dq
a b
M
VA
HA
VB
P
dy1 dy2
𝛿𝑊 = 𝑀 𝛿𝜃 − 𝑃 𝛿𝑦! + 𝑉% 𝛿𝑦" = 0
𝛿𝑊 = 𝑀 𝛿𝜃 − 𝑃 𝑎𝛿𝜃 + 𝑉% 𝐿𝛿𝜃 = 0
L = a + b
𝑉% =
𝑃𝑎 − 𝑀
𝐿
=
𝑃𝑎
𝐿
−
𝑀
𝐿
Mesma solução poderia ser
obtida usando:
C𝑀& = 𝑀 − 𝑃𝑎 + 𝑉% 𝐿 = 0
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
8
§ A grande vantagem do PTV ocorre no caso de sistemas de corpos
rígidos articulados (estruturas e máquinas):
𝛿𝑊 = 𝐅 % 𝛿𝐫 − 𝐅 % 𝛿𝐫 = 0, ∀𝛿𝐫
Forças internas não realizam trabalho:
Reações de apoio não realizam trabalho:
8
Exemplo 1
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§ Determine o valor de q para o equilíbrio do sistema abaixo onde
cada barra temmassam = 10 kg e comprimento L = 1 m:
Configuração virtual
Trabalho Virtual
𝛿𝑊 = 0 ⟹ 𝐹 𝛿𝑥% + 2𝑃 𝛿𝑦' = 0
𝑥% = 2𝐿 cos 𝜃 ⟹ 𝛿𝑥% = −2𝐿 sin 𝜃 𝛿𝜃
Considerando a origem em D
𝑦' =
𝐿
2
sin 𝜃 ⟹ 𝛿𝑦' =
𝐿
2
cos 𝜃 𝛿𝜃
9
Exemplo 1
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Configuração virtual Trabalho Virtual
𝛿𝑊 = 𝐹 𝛿𝑥% + 2𝑃 𝛿𝑦' = 0
𝛿𝑥% = −2𝐿 sin 𝜃 𝛿𝜃
𝛿𝑦' =
𝐿
2
cos 𝜃 𝛿𝜃
𝛿𝑊 = 𝐹 (−2𝐿 sin 𝜃 𝛿𝜃) + 2𝑃
𝐿
2
cos 𝜃 𝛿𝜃 = 0 ⟹ 2𝐹 sin 𝜃 = 𝑃 cos 𝜃
tan 𝜃 =
𝑃
2𝐹
𝜃 = arctan
𝑃
2𝐹
⟹ 𝜃 = arctan
10 % 9.81
2 % 25
= 63°⟹
Importante: as reações de apoio e as forças internas não realizam trabalho.
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Exemplo 2
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§ Determine o valor deM para manter o equilíbrio do sistema abaixo
sendo a massa da caixa igual a 10 kg e q = 60o:
Configuração virtual
Trabalho Virtual
𝛿𝑊 = 0 ⟹ 𝑀 𝛿𝜃 − 𝑃 𝛿𝑦( = 0
Obs: origem no ponto B. 𝑦( = 0.45 sin 𝜃 + 𝑏 ⟹ 𝛿𝑦( = 0.45 cos 𝜃 𝛿𝜃
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Exemplo 2
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Configuração virtual Trabalho Virtual
𝑀 𝛿𝜃 = 𝑃 𝛿𝑦(
Obs: Resolver este problema por decomposição.
𝛿𝑦( = 0.45 cos 𝜃 𝛿𝜃
𝑀 𝛿𝜃 = 𝑃 0.45 cos 𝜃 𝛿𝜃
𝑀 = 0.45𝑃 cos 𝜃
𝑀 = 0.45 % 98.1 cos 60° = 22.07 Nm
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Exemplo 3
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§ Determine a força vertical P que deve ser aplicada no ponto C para
manter o mecanismo abaixo em equilíbrio:
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Exemplo 3
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§ Determine a força vertical P que deve ser aplicada no ponto C para
manter o mecanismo abaixo em equilíbrio:
Trabalho Virtual
𝑃 𝛿𝑦) − 100 𝛿𝑦& − 60 𝛿𝑦* − 50 𝛿𝑦( + 40 𝛿𝑦+ = 0
100 N
P
𝛿𝑦)
60 N 50 N 40 N
𝛿𝑦&
𝛿𝑦* 𝛿𝑦(
𝛿𝑦+
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Exemplo 3
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Trabalho Virtual
𝑃 𝛿𝑦) − 100 𝛿𝑦& − 60 𝛿𝑦* − 50 𝛿𝑦(
+ 40 𝛿𝑦+ = 0
100 N
P
𝛿𝑦)
60 N 50 N 40 N
𝛿𝑦&
𝛿𝑦*
𝛿𝑦(
𝛿𝑦+ 𝛿𝑦&
0.3
=
𝛿𝑦)
0.6
⟹ 𝛿𝑦& =
𝛿𝑦)
2
𝛿𝑦* = 𝛿𝑦& ⟹ 𝛿𝑦* =
𝛿𝑦)
2
𝛿𝑦(
0.3
=
𝛿𝑦*
0.6
⟹ 𝛿𝑦( =
𝛿𝑦*
2
=
𝛿𝑦)
4
𝛿𝑦+
0.3
=
𝛿𝑦(
0.3
⟹ 𝛿𝑦+ = 𝛿𝑦( =
𝛿𝑦)
4
𝑃 𝛿𝑦) − 100
𝛿𝑦)
2
− 60
𝛿𝑦)
2
− 50
𝛿𝑦)
4
+ 40
𝛿𝑦)
4
= 0 𝑃 = 82.5 N⟹
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
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§ Molas são elementos deformáveis que exercem força contrária à
sua deformações (Fe = k s):
𝛿𝑊 = 𝐹 𝛿s − 𝐹, 𝛿𝑠 = 0
Trabalho Virtual:
Separando forças internas e externas:
F
F
𝛿𝑊 = (𝐹 − 𝐹,) 𝛿𝑠 = 0 ⟹ 𝐹, = 𝐹
𝛿𝑊 = 𝛿𝑊, + 𝛿𝑊- = 0
𝛿𝑈 = 𝐹,𝛿𝑠 = −𝛿𝑊-
𝛿𝑈 = 𝛿𝑊,Forma mais usada do PTV para
corpos deformáveis.
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Exemplo 4
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§ Determine o valor de P para manter o equilíbrio do sistema abaixo
para q = 60o considerando que a mola está indeformada em q = 30o:
Configuração virtual
Trabalho Virtual
𝛿𝑊 = 0 ⟹ 𝑃 𝛿𝑥* − 𝐹, 𝛿𝑥% = 0 Obs: origem no ponto A.
𝑥% = 0.3 sin 𝜃 𝑥* = 0.9 sin 𝜃 = 3 𝑥% Todas as barras são iguais
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Exemplo 4
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Configuração virtual Trabalho Virtual
𝑃 𝛿𝑥* − 𝐹, 𝛿𝑥% = 0
𝑥* = 3 𝑥% ⟹ 𝛿𝑥* = 3 𝛿𝑥%
𝑃 3 𝛿𝑥% − 𝐹, 𝛿𝑥% = 0
𝑃 =
𝐹,
3
=
𝑘𝑠
3
𝑠 = 𝑥% ’− 𝑥%= 0.3 (sin 𝜃 − sin 𝜃.) 𝑃 = 0.1𝑘 (sin 𝜃 − sin 𝜃.)⟹
𝑃 = 0.1 % 5 % sin 60° − sin 30° = 0.1830 kN =	183	N
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Exemplo 4
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Trabalho Virtual
𝛿𝑈 = 𝛿𝑊, ⟹ 𝐹,𝛿𝑠 = 𝑃 𝛿𝑥*
𝑥* = 0.9 sin 𝜃 ⟹ 𝛿𝑥* = 0.9 cos 𝜃 𝛿𝜃
𝑃 0.9 cos 𝜃 𝛿𝜃 = 𝐹, 0.3 cos 𝜃 𝛿𝜃
𝑃 =
𝐹,
3
=
𝑘𝑠
3
𝑠 = 𝑥% ’− 𝑥%= 0.3 (sin 𝜃 − sin 𝜃.)
𝛿𝑠 = 0.3 cos 𝜃 𝛿𝜃
Mesma solução obtida
anteriormente.
𝑃 = 0.1𝑘 (sin 𝜃 − sin 𝜃.)
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Exemplo 5
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§ Cada barra do sistema abaixo tem peso P. Considerando que a
mola não está deformada quando q = 0, determine o valor de q
para o equilíbrio:
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