MecanicaI_EquilibriodeCorposRigidos_30Jun2021

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30/06/2021
1
Mecânica para Engenharia Civil I
Equilíbrio de Corpos Rígidos
Prof: Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
1
Condições de equilíbrio
2
§ Um corpo está em equilíbrio quando as forças e momentos
resultantes em um ponto qualquer são nulas:
𝐅! = #𝐅" = 𝟎 𝐌!! = # 𝐫𝑖 × 𝐅" +#𝐌" = 𝟎
𝐌$ = 𝐌!𝑶 + 𝐫 × 𝐅! = 𝟎Condições necessárias e suficientes:
2
Equilíbrio em 2D
3
§ Sistemas de forças coplanares:
#𝐹% = 0
#𝐹& = 0
#𝑀$ = 0
3
Equilíbrio em 2D
4
§ Alternativa:
#𝐹% = 0
#𝑀$ = 0
#𝑀' = 0
𝑀' = 𝑀$ + 𝐹& , 𝑑% − 𝐹% , 𝑑&
Fx
Fy
dx
dy
MA
∴ 𝑀' = 0 ⟹ 𝐹& = 0
Se 𝑑% ≠ 0:
4
Equilíbrio em 2D
5
§ Alternativa (A, B, C são pontos não colineares):
#𝑀$ = 0
#𝑀' = 0
#𝑀( = 0
𝑀( = 𝑀$ − 𝐹% , 𝑑&
Fx
Fy
dx
dy
MA
∴ 𝑀( = 0 ⟹ 𝐹% = 0 Se 𝑑& ≠ 0
𝑀' = 𝑀$ + 𝐹& , 𝑑% − 𝐹% , 𝑑& ∴ 𝑀' = 0 ⟹ 𝐹& = 0 Se 𝑑% ≠ 0
5
Diagrama de Corpo Livre
6
§ Antes de aplicar as equações de equilíbrio é necessário desenhar o
Diagrama de Corpo Livre (DCL):
• Isolar o corpo rígido do meio externo.
• Desenhar todas as forças e momentos aplicados sobre o corpo
(ações externas e reações de apoio).
• Indicar as forças e momentos conhecidos e desconhecidos.
§ Calcular as incógnitas utilizando as equações de equilíbrio.
§ Apoios são elementos utilizados para impedir os deslocamentos do
corpo rígido.
6
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Apoios
7
Apoio do 1º gênero:
R
Apoio do 2º gênero:
V
H
Apoio do 3º gênero (ou engaste):
V
H
M
7
Apoios
8
8
Apoios
9
9
Apoios
10
10
Apoios
11
Situação real
Idealização
(modelagem)
11
Diagrama de Corpo Livre
12
Situação real DCL
§ Viga uniforme de massa igual a 100 kg:
12
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Diagrama de Corpo Livre
13
Situação real
DCL
§ Plataforma com massa igual a 200 kg:
13
Diagrama de Corpo Livre
14
Situação real DCL A
DCL B
Obs: O atrito pode ser desprezado.
§ Tubos lisos com massa igual a 300 kg:
14
Exemplo 1.1
15
§ Determine as reações de apoio da viga abaixo:
DCL
#𝐹% = 600 cos 45o − 𝐵% = 0 𝐵% = 600 cos 45o = 424.3 N⟹
#𝑀' = 100 , 2 + 600 sin 45o , 5 − 600 cos 45o , 0.2 − 𝐴& , 7 = 0
𝐴& =
2236.5
7
= 319.5 N
15
Exemplo 1.1
16
DCL
#𝐹& = 𝐴& + 𝐵& − 100 − 200 − 600 sin 45o = 0
#𝑀$ = 𝐵& , 7 − 200 , 7 − 100 , 5 − 600 sin 45o , 2 − 600 cos 45o , 0.2
𝐴& = 319.5 N
𝐵% = 424.3 N
𝐵& = 404.8 N⟹
Verificação:
#𝑀$ = 0.22 ≈ 0 Ok!
16
Exemplo 1.2
17
§ Determine as reações nos apoios A e B da barra abaixo:
17
Exemplo 1.2
18
§ Determine as reações nos apoios A e B da barra abaixo:
DCL
#𝑀$ = 𝑁' , 0.75 − 60 , 1 − 90 = 0 𝑁' = 200 N⟹
#𝐹% = 𝐴% − 𝑁' sin(30o) = 0 𝐴% = 100 N⟹
100 N
173.2 N
#𝐹& = 𝐴& − 𝑁' cos 30o − 60 = 0 𝐴& = 233.2 N⟹
18
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4
Exemplo 1.3
19
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo considerando que a colar A
pode deslizar sem atrito na vertical:
19
Exemplo 1.3
20
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo considerando que a colar A
pode deslizar sem atrito na vertical:
DCL
#𝐹% = 𝐴% = 0 𝐴% = 0⟹
#𝐹& = 𝑁' − 900 = 0 𝑁' = 900 N⟹
#𝑀$ = 𝑀$ + 𝑁' 3 + 1 cos 45o − 900 , 1.5 − 500 = 0 𝑀$ = −1486 Nm⟹
20
Exemplo 1.4
21
§ Considerando que F1 = 2F2 e que a tração admissível do cabo BC é 1500 N,
determine a carga de falha da estrutura abaixo e a magnitude da reação
correspondente em A:
DCL ABD
F
VA
HA
T
2F
C
0.8 T
0.6 T
21
Exemplo 1.4
22
DCL ABD
F
VA
HA
T
2F
C
0.8 T
0.6 T
#𝑀$ = 0
𝑇 =
5.5 𝐹 cos 30o
2 sin 30o + 1.5 cos 30o
= 2.0718 𝐹
1.5 m
1 m
30o
0.8 𝑇 , 2.5 sin 30o + 0.6 𝑇 , 2.5 cos 30o −
𝐹 , 2.5 cos 30o − 2𝐹 , 1.5 cos 30o = 0
𝑇 = 2.072 𝐹 = 1500 N
#𝐹% = 𝐻$ − 0.8 𝑇 = 0 𝐻$ = 1200 N⟹
𝐹 = 724 N⟹
#𝐹& = 𝑉$ − 2 𝐹 − 𝐹 + 0.6 𝑇 = 0 𝑉$ = 1272 N⟹
Tadm = 1500 N
22
Cabos e polias
23
DCL da Polia
§ A tração em um cabo não se altera quando ele passa por uma
polia sem atrito:
1
2
VO
HO
T2
T1
O
R
R
#𝑀* = 𝑇+ , 𝑅 − 𝑇, , 𝑅 = 0 𝑇+ = 𝑇, = 𝑇⟹
23
Exemplo 1.5
24
§ Determine a tração da corda e as reações de apoio em A considerando que o peso
do cilindro é igual a 800 N:
5 m 5 m 3 m
Obs: O raio da polia pode
ser desprezado. ∑𝑀$ = 𝑇 , 5 + 𝑇 sin 𝜃 , 10 − 800 , 13 =	0
DCL ABC
800NVA
HA
D
q
5 m 5 m 3 m
q = 63.43o
T T
𝑇 =
10400
5 + 10 sin 𝜃
= 745.8 N
24
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5
Exemplo 1.5
25
∑ 𝐹% = 𝐻$ − 𝑇 cos 𝜃 =	0
DCL ABC
800NVA
HA
D
q
5 m 5 m 3 m
q = 63.43o
T T
𝑇 = 745.8 N
𝐻$ = 333.5 N
∑ 𝐹& = 𝑉$ + 𝑇 + 𝑇 sin 𝜃 =	800
𝑉$ = −612.9 N
#𝑀- = −800 , 3 − 𝑇 , 5 − 𝑉$ , 10 = 0
Verificação:
E
Ok!
25
Elementos de 2 forças
26
§ As forças atuantes em um elemento de 2 forças são sempre
colineares, com a mesma magnitude e sentidos opostos:
#𝐹%’ = 𝐹 − 𝐹 = 0
FB
FA
A
B F
Fp
F
Fp
#𝑀$ = 𝐹/ , 𝑑 = 0#𝐹&’ = 𝐹/ − 𝐹/ = 0
A
B F
F
26
Exemplo 1.6
27
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo:
Elemento de 2 forças
DCL da viga
4 kN
VA
HA
FDC
q
#𝑀( = −4 , 1.5 − 𝑉$ , 1.5 = 0 𝑉$ = −4 kN⟹
#𝐹& = 𝑉$ + 𝐹0( sin 45o − 4 = 0 𝐹0( =
8
sin 45o
= 11.31 kN⟹
#𝐹% = 𝐻$ + 𝐹0( cos 45o = 0 𝐻$ = −8 kN⟹
27
Exemplo 1.7
28
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo:
28
Exemplo 1.7
29
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo:
Elemento de 2 forças
#𝑀( = 800 + 400 , 2 + 𝐹$' cos 45o , 1 − 𝐹$' sin 45o , 3 = 0 𝐹$' = 1131.4N
#𝐹& = 𝑉( + 𝐹$' sin 45o − 400 = 0 𝑉( = 400 kN⟹
#𝐹% = 𝐹$' cos 45o − 𝐻( = 0 𝐻( = 800 N⟹
DCL da barra
400 N
VC
HC
FAB
q
800 Nm
29
Exemplo 1.8
30
§ Determine as reações de apoio em A e C para um peso do cilindro igual a 500 N:
30
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6
Exemplo 1.8
31
§ Determine as reações de apoio em A e C para um peso do cilindro igual a 500 N:
DCL ABD
500 N
VA
HA
FBC
500 N
#𝑀$ = 500 , 1 − 500 , 1.3 + 𝐹'( , 0.6 = 0 𝐹'( = 250 N⟹
Elemento de
2 forças
31
Exemplo 1.8
32
DCL ABD
500 N
VA
HA
FBC
500 N#𝐹% = 𝐻$ − 500 − 𝐹'(= 0
𝐹'( = 250 N
𝐻$ = 750 N
#𝐹& = 𝑉$ − 500 = 0
𝑉$ = 500 N
32
Equilíbrio em 3D
33
§ Um corpo está em equilíbrio quando as forças e momentos
resultantes em um ponto qualquer são nulas:
#𝐅" = 𝟎
#𝐌1 # = 𝟎
33
Equilíbrio em 3D
34
#𝐹% = 0
#𝐹& = 0
#𝐹2 = 0
#𝑀% = 0
#𝑀& = 0
#𝑀2 = 0
Forças Momentos
34
Apoios
35
35
Apoios
36
36
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Apoios
37
37
Apoios
38
38
Determinação estática
39
§ Os problemas de estática podem ser classificados de acordo com os
apoios do sistema:
• Estaticamente determinados (isostáticos): os apoios são na
quantidade exata para impedir todos deslocamentos de corpo
rígido.
ü Número de incógnitas = número de equações de equilíbrio.
• Estaticamente indeterminados (hiperestáticos): existem mais
apoios que os necessários para impedir os deslocamentos de
corpo rígido.
ü Número de incógnitas > número de equações de equilíbrio.
• Impróprios (hipostáticos): os apoios não são suficientes para
impedir os deslocamentos de corpo rígido.
39
Sistemas hiperestáticos
40
𝑛3 = 5
𝑛45 = 3
𝑛3 > 𝑛45⟹
40
Sistemas hiperestáticos
41
𝑛3 = 8𝑛45 = 6 𝑛3 > 𝑛45⟹
41
Sistemas hipostáticos
42
Rotação em torno de A não é impedida!
Rotação em torno de AB não é impedida!
42
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Exemplo 2.1
43
§ Determine as reações de apoio e a tração do cabo C da chapa de 100 kg abaixo:
DCL
#𝐹% = 𝐵% = 0 #𝐹& = 𝐵& = 0
#𝑀%’ = 981 , 1 + 300 , 2 − 𝐴2 , 2 = 0
#𝑀2 ≡ 0
𝐴2 =
1581
2
= 790.5 N⟹
43
Exemplo 2.1
44
DCL
𝑇( =
2121.5
3
= 707.2 N
#𝑀&’ = 𝑇( , 3 − 200 − 300 + 981 , 1.5 = 0
#𝐹2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝑇( − 300 − 981 = 0
𝐵2 = 300 + 981 − 790.5 − 707.2 = −216.7 N
#𝑀% = 𝐵2 , 2 + 𝑇( , 2 − 981 , 1 = −2 , 216.7 + 2 , 707.2 − 981 = 0
Verificação:
Ok!
Importante: O uso de um sistema de eixos adequado simplifica a solução de
problemas de equilíbrio 3D.
44
Exemplo 2.2
45
§ Determine as reações de apoio na junta esférica A, no mancal liso B e na esfera C:
DCL
#𝐹& = 𝐴& = 0 #𝑀& = 𝐹( , 0.6 − 900 , 0.4 = 0
#𝑀% = 𝐹( , 1.2 + 𝐵2 , 0.8 − 900 , 0.4 = 0 𝐵2 =
900 − 600 , 3
2
= −450 N⟹
𝐹(= 600 N⟹
45
Exemplo 2.2
46
DCL
#𝐹% = 𝐴% + 𝐵% = 0
#𝑀2 = − 𝐵% , 0.8 = 0 𝐵% = 0⟹
𝐴% = 0⟹
#𝐹2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐹( − 900 = 0 𝐴2 = 900 − 600 + 450 = 750	N⟹
z’
x’
#𝑀%’ = 𝐹( , 0.4 + 900 , 0.4 − 𝐴2 , 0.8 = 600 , 0.4 + 900 , 0.4 − 750 , 0.8 = 0
Verificação:
Ok!
46
Exemplo 2.3
47
§ Determine as reações de apoio na junta esférica A e a tração nos cabo BD e BE:
DCL ACB
𝐫' = 1 𝐢 + 2 𝐣 − 2 𝐤
(1, 2, -2)
(0.5, 1, -1)
𝐫( = 0.5 𝐢 + 1 𝐣 − 1 𝐤
#𝐌$ = 𝐌$6 + 𝐌$0 + 𝐌$- = 𝟎
47
Exemplo 2.3
48
DCL ACB
𝐌$- = 𝐫' ×𝐓- =
𝐢 𝐣 𝐤
1 2 −2
𝑇- 0 0
= −2 𝑇- 𝐣 − 2 𝑇- 𝐤
𝐌$0 = 𝐫' × 𝐓0 =
𝐢 𝐣 𝐤
1 2 −2
0 𝑇0 0
= 2 𝑇0 𝐢 + 𝑇0 𝐤
#𝑀% = −200 + 2 𝑇0 = 0 𝑇0 = 100 N⟹
#𝑀& = 100 − 2 𝑇- = 0 𝑇- = 50 N⟹
#𝑀2 = 𝑇0 −2 𝑇- = 0 Ok!
𝐌$6 = 𝐫( × 𝐅 =
𝐢 𝐣 𝐤
0.5 1 −1
0 0 −200
= −200 𝐢 + 100 𝐣
48
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Exemplo 2.3
49
DCL ACB #𝐹% = 𝐴𝒙 + 𝑇- = 0 𝐴% = −50 N⟹
#𝐹& = 𝐴𝒚 + 𝑇0 = 0 𝐴& = −100 N⟹
#𝐹2 = 𝐴2 − 200 = 0 𝐴2 = 200 N⟹
49
Exemplo 2.4
50
§ Determine as reações de apoio na junta esférica A, na esfera B e a tração no cabo D:
50
Exemplo 2.4
51
§ Determine as reações de apoio na junta esférica A, na esfera B e a tração no cabo D:
DCL da Placa
Az
Ax
Ay
TD
Bz
#𝐹% = 𝐴% = 0 #𝐹& = 𝐴& = 0
#𝑀% = 𝐵2 , 3 − 200 , 3 − 200 , 3 sen(60o) = 0
#𝑀2 ≡ 0
𝐵2 = 373.2 N⟹
51
Exemplo 2.4
52
DCL da Placa
Az
Ax
Ay
TD
Bz
#𝑀& = 350 , 2 + 200 , 3 cos 60o − 𝐴2 , 3 = 0 𝐴2 =
1000
3
= 333.3 N⟹
#𝐹2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝑇0 − 200 − 200 − 350 = 0 𝑇0 = 43.5 N⟹
𝐵2 = 373.2 N
𝐴% = 0
𝐴& = 0
O problema corresponde a um sistema de forças paralelas!
52
Exemplo 2.5
53
§ Determine as reações de apoio nos mancais simples abaixo:
53
Exemplo 2.5
54
§ Determine as reações de apoio nos mancais simples abaixo:
DCL ABDCAz
Ax
600 N
D 400 N
Bz
Bx
Cx
Cy
0.6 m
0.6 m
0.6 m
0.4 m
#𝐹& = 𝐶& +400 = 0 𝐶& = −400 N⟹
#𝑀& = −𝐶% , 0.4 − 600 , 0.6 = 0 𝐶% = −900 N⟹
54
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Exemplo 2.5
55
DCL ABDCAz
Ax
600 N
D 400 N
Bz
Bx
Cx
Cy
0.6 m
0.6 m
0.6 m
0.4 m
#𝑀% = 𝐵2 , 0.6 + 𝐶& , 0.4 + 600 , 1.2 = 0
𝐵2 = −933.3 N
#𝑀2 = 𝐶& , 0.6 − 𝐵% , 0.6 − 𝐶% , 1.2 = 0
𝐵% = 1400 N
#𝐹2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 600 = 0 𝐴2 = 333.3 N⟹
#𝐹% = 𝐴% + 𝐵%+ 𝐶% = 0 𝐴% = −500 N⟹
55
Exemplo 2.6
56
§ Determine as reações de apoio na junta esférica A e a tração nos cabos
considerando que a chapa tem massa de 100 kg:
56
Exemplo 2.6
57
§ Determine as reações de apoio na junta esférica A e a tração nos cabos
considerando que a chapa tem massa de 100 kg:
𝐁𝐃 = −2 𝐢 − 2 𝐣 + 1 𝐤 ⇒ | 𝐁𝐃 |	=	3	m
𝐁𝐂 = 1 𝐢 − 2 𝐣 + 2 𝐤 ⇒ | 𝐁𝐂 |	=	3	m
𝐓( = 𝑇(
𝐁𝐂
|𝐁𝐂|
=
𝑇(
3
1 𝐢 − 2 𝐣 + 2 𝐤
z’
x’
DCL AB
P
Az
Ax
C
Ay
y’
D
TC
TD
B
z
x
𝐓0 = 𝑇0
𝐁𝐃
|𝐁𝐃|
=
𝑇0
3
−2 𝐢 − 2 𝐣 + 1 𝐤
57
Exemplo 2.6
58
z’
x’
DCL AB
P
Az
Ax
C
Ay
y’
D
TC
TD
#𝑀& ≡ 0
#𝑀2’ = 𝐴% , 2 = 0 ⟹ 𝐴% = 0
#𝑀%’ = 981 , 1 − 𝐴2 , 2 = 0 𝐴2 = 490.5 N
B
#𝐹% =
1
3
𝑇( −
2
3
𝑇0 = 0 ⟹ 𝑇( = 2 𝑇0
#𝐹2 =
2
3
𝑇( +
1
3
𝑇0 + 𝐴2 − 981 = 0 ⟹ 𝑇0 =
3 , 490.5
5
= 294.3 N
⟹ 𝑇( = 588.6 N
#𝐹& = −
2
3
𝑇( −
2
3
𝑇0 + 𝐴& = 0 ⟹ 𝐴& =
2 , (588.6 + 294.3)
3
= 588.6 N
58
Exemplo 2.7
59
§ Determine as reações de apoio em A e a tração nos cabos BC e ED considerando
que o apoio A exerce apenas forças:
59
Exemplo 2.7
60
§ Determine as reações de apoio em A e a tração nos cabos BC e ED considerando
que o apoio A exerce apenas forças:
𝐄𝐃 = −𝟔 𝐢 − 3 𝐣 − 6 𝐤 ⇒ | 𝐁𝐃 |	=	9	m
𝐁𝐂 = 6 𝐢 − 4.5 𝐣 − 4 𝐤 ⇒ | 𝐁𝐂 |	=	8.5	m
DCL Poste
F
AzAx
Ay
TC
TD
4	m
2	m
2	m
B
E
#𝑀2 ≡ 0
𝐅 = 𝐅++ 𝐅,
60
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11
Exemplo 2.7
61
𝐅+ = 860 cos 45° 𝐢 − sin 45°𝐤
𝐅, = 450(−cos 20° , cos 30° 𝐢
+cos 20° , sin 30° 𝐣 − sin 20° 𝐤)
𝐅 = 𝐅++ 𝐅,
𝐅 = 241.9 𝐢 + 211.4 𝐣 − 762.0 𝐤
Forças externas:
61
Exemplo 2.7
62
𝐄𝐃 = −𝟔 𝐢 − 3 𝐣 − 6 𝐤 ⇒ | 𝐁𝐃 |	=	9	m
𝐁𝐂 = 6 𝐢 − 4.5 𝐣 − 4 𝐤 ⇒ | 𝐁𝐂 |	=	8.5	m
𝐓( = 𝑇(
𝐁𝐂
|𝐁𝐂|
=
𝑇(
8.5
6 𝐢 − 4.5 𝐣 − 4 𝐤
𝐓0 = 𝑇0
𝐄𝐃
|𝐄𝐃|
=
𝑇0
9
−6 𝐢 − 3 𝐣 − 6 𝐤
Trações:DCL Poste
F
AzAx
Ay
TC
TD
4	m
2	m
2	m
B
E
𝐀𝐁 = 4 𝐤 𝐀𝐄 = 6 𝐤 𝐀𝐅 = 8 𝐤
Vetores r (momentos):
62
Exemplo 2.7
63
𝐌$6 = 𝐀𝐅 × 𝐅 =
𝐢 𝐣 𝐤
0 0 8
241.9 211.4 −762.0
𝐌$( = 𝐀𝐁 × 𝐓( =
𝑇(
8.5
𝐢 𝐣 𝐤
0 0 4
6 −4.5 −4
=
𝑇(
8.5
(18 𝐢 + 24 𝐣)
DCL Poste
F
AzAx
Ay
TC
TD
4	m
2	m
2	m
B
E
Momentos:
𝐌$6 = −1691.4 𝐢 + 1935.2 𝐣
𝐌$0 = 𝐀𝐄 × 𝐓0 =
𝑇0
9
𝐢 𝐣 𝐤
0 0 6
−6 −3 −6
=
𝑇0
9
(18 𝐢 − 36 𝐣)
#𝑀% =
18 𝑇(
8.5
+
18 𝑇0
9
− 1691.4 = 0 #𝑀& =
24 𝑇(
8.5
−
36 𝑇0
9
+ 1935.2 = 0
63
Exemplo 2.7
64
DCL Poste
F
AzAx
Ay
TC
TD
4	m
2	m
2	m
B
E
Resolvendo o sistema:
𝑇( = 205.1 N 𝑇0 = 628.6 N
#𝐹% = 𝐴% +
6 𝑇(
8.5
−
6 𝑇0
9
+ 241.9 = 0
𝐴% = 32.38 N
Reações de Apoio:
#𝐹& = 𝐴& −
4.5 𝑇(
8.5
−
3 𝑇0
9
+ 211.4 = 0
𝐴& = 106.7 N
#𝐹2 = 𝐴2 −
4 𝑇(
8.5
−
6 𝑇0
9
− 762 = 0 ⟹ 𝐴2 = 1277.6 N
64