MecanicaI_ForDistrPropGeo_16Jul2021

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16/07/2021
1
Mecânica para Engenharia Civil I
Forças Distribuídas
Prof: Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
1
Forças distribuídas
2
§ Classificação quanto à origem:
• Forças de campo, volume ou massa (F/L3).
• Forças de superfície ou contato (F/L2).
§ Idealizações (modelos):
• Forças distribuídas em linhas (F/L).
• Forças concentradas (F).
2
Forças distribuídas
3
Força peso
q(x)
q
Pressão de fluidos
Cargas em vigas
dP
3
Forças distribuídas
4
§ Vários casos de forças distribuídas correspondem a sistemas de
forças paralelas, onde sempre é possível:
• Reduzir o sistema de forças a uma força resultante.
• Determinar sua linha de atuação.
§ Asubstituição das forças distribuídas pela sua resultante:
• Simplifica a solução de problemas de equilíbrio.
• Não altera os resultados obtidos no caso de corpos rígidos.
• Cuidado: altera os esforços internos em corpos deformáveis!
4
Centro de Gravidade
5
§ O Centro de Gravidadade (G) é o ponto onde a aplicação do peso
total (P) causa o mesmo efeito mecânico que a atuação da força
gravitacional sobre as partículas do corpo:
dP
P
𝑑𝐏 = 𝑑𝑚 𝐠
Forças paralelas, pois g é constante.
𝐏 = &
!
𝑑𝑷
5
Centro de Gravidade 
6
dP
P
𝑀" = &
!
𝑥 𝑑𝑃 = 𝑃 𝑥
𝑥 =
∫+ 𝑥 𝑑𝑃
∫+ 𝑑𝑃
=
∫+ 𝑥 𝑑𝑃
𝑃
𝑀𝒙 = −&
!
𝑦 𝑑𝑃 = −𝑃 𝑦
𝑦 =
∫! 𝑦 𝑑𝑃
∫! 𝑑𝑃
=
∫! 𝑦 𝑑𝑃
𝑃
6
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2
Centro de Gravidade
7
dP
P
𝑧 =
∫+ 𝑧 𝑑𝑃
∫+ 𝑑𝑃
=
∫+ 𝑧 𝑑𝑃
𝑃
Analogamente:
7
Centro de Massa
8
𝑥 =
∫! 𝑥 𝑑𝑃
∫! 𝑑𝑃
=
∫! 𝑥 𝑔 𝑑𝑚
∫! 𝑔 𝑑𝑚
§ O Centro de Massa (Cm) é importante para problemas dinâmicos
onde é necessário considerar os efeitos da aceleração do corpo:
⟹
𝑦 =
∫! 𝑦 𝑑𝑚
∫! 𝑑𝑚
𝑥 =
∫! 𝑥 𝑑𝑚
∫! 𝑑𝑚
Analogamente:
𝑧 =
∫! 𝑧 𝑑𝑚
∫! 𝑑𝑚
8
Centroide
9
𝑥 =
∫! 𝑥 𝑑𝑚
∫! 𝑑𝑚
=
∫! 𝑥 𝜌 𝑑𝑉
∫! 𝜌 𝑑𝑉
§ O Centroide (C) ou Centro Geométrico coincide com o centro de
gravidade e o centro de massa para corpos homogêneos (dm = r
dV):
⟹
𝑦 =
∫! 𝑦 𝑑𝑉
∫! 𝑑𝑉
𝑥 =
∫! 𝑥 𝑑𝑉
∫! 𝑑𝑉
Analogamente:
𝑧 =
∫! 𝑧 𝑑𝑉
∫! 𝑑𝑉
9
Centroides de Áreas
10
𝑥 =
∫! 𝑥 𝑑𝑉
∫! 𝑑𝑉
=
∫$ 𝑥 𝑡 𝑑𝐴
∫$ 𝑡 𝑑𝐴
§ No caso de placas ou chapas de espessura (t) constante (dV= t dA)
as integrais podem ser feitas apenas na área:
𝑦 =
∫$ 𝑦 𝑑𝐴
∫$ 𝑑𝐴
𝑥 =
∫$ 𝑥 𝑑𝐴
∫$ 𝑑𝐴
Analogamente:
10
Momentos Estáticos
11
§ Os momentos estáticos (Sx e Sy) ou momentos de área de primeira
ordem são importantes na determinação do centroide:
𝑥 =
𝑆"
𝐴
𝑆% = &
$
𝑦 𝑑𝐴
x
dA
y
𝑆" = &
$
𝑥 𝑑𝐴𝐴 = &
$
𝑑𝐴
𝑦 =
𝑆%
𝐴
11
Simetria
12
§ O centroide de um corpo simétrico está sempre sobre o eixo de
simetria:
y
x
x-x
dAdA
𝑆" = &
$
𝑥 𝑑𝐴 = 0 ⟹ 𝑥 = 0
12
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3
Simetria
13
§ O centroide de um corpo simétrico está sempre sobre o eixo de
simetria:
y
xC
y
xC x
y’
C
y
13
Exemplo 1.1 - Triângulo
14
§ A áreas (A) e momentos estáticos (Sx e Sy) podem ser calculados
por integração simples usando elementos diferenciais apropriados:
𝑆" = &
$
𝑥 𝑑𝐴 = &
&
'
𝑥 𝑦 𝑑𝑥
⟹
𝑥 =
𝑆"
𝐴
=
𝑏
3
y
x
x
dx
y
b
h
𝑦
𝑏 − 𝑥
=
ℎ
𝑏 𝑦 =
ℎ(𝑏 − 𝑥)
𝑏
⟹ 𝑆" =
ℎ
𝑏
&
&
'
𝑥(𝑏 − 𝑥)𝑑𝑥
𝑆" =
ℎ
𝑏
𝑏𝑥(
2
−
𝑥)
3
&
'
=
ℎ
𝑏
𝑏)
6
𝐴 =
𝑏 ℎ
2
𝑆" =
𝑏( ℎ
6
⟹
14
Exemplo 1.1 - Triângulo
15
§ A áreas (A) e momentos estáticos (Sx e Sy) podem ser calculados
por integração simples usando elementos diferenciais apropriados:
𝑆% = &
$
𝑦 𝑑𝐴 = &
&
*
𝑦 𝑥 𝑑𝑦
⟹
𝑦 =
𝑆%
𝐴
=
ℎ
3
y
x
x
dy
b
h
𝑥
ℎ − 𝑦
=
𝑏
ℎ 𝑥 =
𝑏(ℎ − 𝑦)
ℎ
⟹ 𝑆% =
𝑏
ℎ
&
&
*
𝑦(ℎ − 𝑦)𝑑𝑦
𝑆% =
𝑏
ℎ
ℎ𝑦(
2
−
𝑦)
3
&
*
=
𝑏
ℎ
ℎ)
6
𝐴 =
𝑏 ℎ
2
𝑆% =
𝑏 ℎ(
6
⟹
y
15
Exemplo 1.1 - Triângulo
16
§ O momento estático Sx pode ser calculado usando um elemento
diferencial de base dx e altura y:
𝑑𝑆% = 𝑦 𝑑𝐴 =
𝑦
2
𝑦 𝑑𝑥 =
𝑦(
2
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑆%
𝐴
=
ℎ
3
y
x
x
dx
y
b
h 𝑦 =
ℎ(𝑏 − 𝑥)
𝑏
⟹ 𝑆% =
ℎ(
2𝑏(
&
&
'
(𝑏 − 𝑥)(𝑑𝑥
𝑆% = −
ℎ(
2𝑏(
(𝑏 − 𝑥))
3
&
'
=
ℎ(
2𝑏(
𝑏)
3
𝐴 =
𝑏 ℎ
2
𝑆" =
𝑏 ℎ(
6
⟹
16
Exemplo 1.2 – Quarto de círculo
17
§ Devido à simetria o centroide está sobre a reta y = x:
𝑆" = &
$
𝑥 𝑑𝐴 = &
&
+
𝑥 𝑦 𝑑𝑥
𝑥 =
𝑆"
𝐴
=
4 𝑅
3𝜋
y
x
x
dx
y
R
R
𝑦 = 𝑅( − 𝑥(
𝑆" = −
1
2
𝑅( − 𝑥(
)
(
3
2 &
+
= −
1
3
0 − 𝑅) =
𝑅)
3
𝐴 =
𝜋𝑅(
4
𝑆" = &
&
+
𝑥 𝑅( − 𝑥( 𝑑𝑥 = −
1
2
&
&
+
𝑅( − 𝑥(
,
((−2𝑥𝑑𝑥)
𝑦 = 𝑥 =
4 𝑅
3𝜋
17
Exemplo 1.3
18
§ Determinar o centroide da região colorida abaixo:
a
𝑦 = 𝑏
𝑥
𝑎
(
b
𝐴 = &
$
𝑑𝐴 = &
&
-
𝑦 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎(
𝑥)
3
&
-
=
𝑎𝑏
3
𝑆" = &
$
𝑥 𝑑𝐴 = &
&
-
𝑥 𝑦 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎(
&
&
-
𝑥) 𝑑𝑥
𝑆" =
𝑏
𝑎(
𝑥.
4
&
-
=
𝑎(𝑏
4
𝑥 =
𝑆"
𝐴
=
𝑎(𝑏
4
3
𝑎𝑏
=
3𝑎
4
x
dx
y
18
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4
Exemplo 1.3
19
a
𝑦 = 𝑏
𝑥
𝑎
(
b
x
dx
y
𝑆% = &
&
- 𝑦(
2
𝑑𝑥 = &
&
- 1
2
𝑏
𝑥
𝑎
( (
𝑑𝑥 =
𝑏(
2𝑎.
&
&
-
𝑥. 𝑑𝑥
𝑆% =
𝑏(
2𝑎.
𝑥/
5
&
-
=
𝑏(
2𝑎.
𝑎/
5
=
𝑎 𝑏(
10
𝑦 =
𝑆%
𝐴
=
𝑎 𝑏(
10
3
𝑎𝑏
=
3𝑏
10
𝑑𝑆% = 𝑦 𝑑𝐴 =
𝑦
2
𝑦 𝑑𝑥 =
𝑦(
2
𝑑𝑥
19
Centroides de figuras planas
20
20
Centroides de figuras planas
21
21
Áreas compostas
22
§ O centroide de uma área composta pode ser calculado como a
média ponderada dos centroides de suas partes:
y
x
C(𝑥, 𝑦)
y
x
C1
C2
C3
𝑥 =
∑ 𝐴0 𝑥0
∑ 𝐴0
𝑦 =
∑ 𝐴0 𝑦0
∑ 𝐴0
22
Áreas compostas
23
Demonstração: 𝑥 = 𝑆"
𝐴
⇒ 𝑆" = 𝐴 𝑥
𝑆" = &
$
𝑥 𝑑𝐴 = H&
$1
𝑥 𝑑𝐴 =H𝐴0 𝑥0
𝐴 = &
$
𝑑𝐴 = H&
$1
𝑑𝐴 =H𝐴0
y
x
C1
C2
C3
𝑆% = &
$
𝑦 𝑑𝐴 = H&
$1
𝑦 𝑑𝐴 =H𝐴0 𝑦0
𝑦 =
𝑆%
𝐴
⇒ 𝑆% = 𝐴 𝑦
𝑥 =
𝑆"
𝐴
=
∑ 𝐴0 𝑥0
∑ 𝐴0
𝑦 =
𝑆%
𝐴
=
∑ 𝐴0 𝑦0
∑ 𝐴0
Importante: o mesmo sistema de coordenadas deve ser usado para todas as partes!
23
Exemplo 2.1
24
§ Determine o centroide da seção transversal do elemento abaixo:
𝐴, =
30 I 90
2 = 1350mm
2
𝑥, =
2
3 I 30 = 20mm
𝑦, =
1
3 I 90 = 30mm
𝐴( = 30 I 90 = 2700mm2
𝑥( = 30+15 = 45mm
𝑦( = 45mm
𝐴) = 100 I 50 = 5000mm2
𝑥) = 60+50 = 110mm
𝑦) = 25mm
y
xC1
C2
C3
3030 100
40
50
24
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5
Exemplo 2.1
25
y
xC1
C2
C3
3030 100
40
50
𝐴 = H𝐴0 = 1350 + 2700 + 5000 = 9050 mm2
𝑆" = ∑𝐴0 𝑥0 = 1350 I 20 + 2700 I 45 + 5000 I 110 = 698500 mm3
𝑥 =
𝑆"
𝐴
=
698500
9050
= 77.18 mm 𝑦 =
𝑆%
𝐴
=
287000
9050
= 31.71 mm
𝑆% = ∑𝐴0 𝑦0 = 1350 I 30 + 2700 I 45 + 5000 I 25 = 287000 mm3
25
Exemplo 2.1
26
y
xC1
C2
C3
3030 100
40
50
O cálculo do centroide pode ser
organizado em forma de tabela
(facilita o uso de planilhas eletrônicas):
Região A (mm2) xc (mm) yc (mm) Sy (mm3) Sx (mm3)
1 1350 20 30 27000 40500
2 2700 45 45 121500 121500
3 5000 110 25 550000 125000
Total 9050 77.18 31.71 698500 287000
26
Exemplo 2.2
27
§ Determine o centroide da seção transversal da viga abaixo:
40
y
x
C1
C2
50
50
200
50
200
200
C3 𝑥 = 0
Simetria:
𝐴, = 400 I 50 = 20000mm2
𝑦, = 200+25 = 225mm
𝐴( = 𝐴) = 50 I 200 = 10000mm2
𝑦( = 𝑦) = 100mm
𝑦 =
𝑆%
𝐴
=
20000 I 225 + 2 I 10000 I 100
20000 + 2 I 10000
=
6500000
40000
= 162.5 mm
C
27
Exemplo 2.2
28
§ Solução alternativa (corte ou furo = área negativa):
40
y
x
50
50
200
50
200
200
𝑥 = 0
Simetria: 𝐴, = 400 I 250 = 100000mm
2
𝑦, = 125mm
𝑦 =
𝑆%
𝐴
=
100000 I 125 − 60000 I 100
100000 − 60000
=
6500000
40000
= 162.5 mm
C2
C1
150 150
Retângulo externo:
Retângulo interno:
𝐴( = 300 I 200 = 60000mm2
𝑦( = 100mm
C
28
y
x
Exemplo 2.3
29
§ Determinar o centroide da seção transversal da viga abaixo:
C1
C2
C4C3
Parte b (mm) h (mm) A (mm2) yc (mm) Sx (mm3)
1 100 360 36000 180 6480000
2 900 80 72000 400 28800000
3 100 360 18000 240 4320000
4 100 360 18000 240 4320000
Total 144000.00 305.00 43920000
𝑥 = 0
Simetria:
29
Exemplo 2.4
30
𝑥, =
3𝑎
4
𝑦, =
3𝑏
10
a
𝑦 = 𝑏
𝑥
𝑎
(
b
C1
𝐴, =
𝑎𝑏
3
Dados:
§ Determinar o centroide da região colorida abaixo:
𝐴( = 𝑎𝑏
Solução:
𝑥( =
𝑎
2
𝑦( =
𝑏
2
𝐴 = 𝐴( − 𝐴,
𝑥 =
𝐴(𝑥( − 𝐴,𝑥,
𝐴
=
𝑎𝑏 I 𝑎2 −
𝑎𝑏
3 I
3𝑎
4
2𝑎𝑏3
=
𝑎(𝑏
4
3
2𝑎𝑏
𝐴 =
2𝑎𝑏
3
⟹
⟹ 𝑥 =
3𝑎
8
30
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6
Exemplo 2.4
31
𝑥, =
3𝑎
4
𝑦, =
3𝑏
10
a
𝑦 = 𝑏
𝑥
𝑎
(
b
C1
𝐴, =
𝑎𝑏
3
𝐴( = 𝑎𝑏 𝑥( =
𝑎
2
𝑦( =
𝑏
2
𝑦 =
𝐴(𝑦( − 𝐴,𝑦,
𝐴
=
𝑎𝑏 I 𝑏2 −
𝑎𝑏
3 I
3𝑏
10
2𝑎𝑏
3
=
4𝑎𝑏(
10
3
2𝑎𝑏
𝐴 =
2𝑎𝑏
3
⟹
𝑥 =
3𝑎
8
𝑦 =
3𝑏
5
31
Forças distribuídas ao longo de uma linha
32
§ Em muitas situações práticas as forças de volume (N/m3) e de
superfície (N/m2) podem consideradas como distribuídas ao longo
de uma linha (N/m):
• Peso próprio de vigas (b, h << L):
L
h
b
q = g bh = g A
L
32
Cargas distribuídas ao longo de uma linha
33
§ Peso de paredes sobre vigas:
L
hpar
b
Vista frontal:
Vista lateral:
h
bpar
q = qpp + qpar
L
qpp = gvig Avig
qpar = gpar Apar
33
34
§ Forças de superfície sobre vigas e placas retangulares longas:
Cargas distribuídas ao longo de uma linha
q = p b
q
q(x)
𝑑𝐹 = 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝐴
34
35
§ Resultante das forças distribuídas:
Cargas distribuídas ao longo de uma linha
q
q(x)
𝐹+ = & 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = & 𝑑𝐴 = 𝐴
𝐹+ 𝑥 = & 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = & 𝑥 𝑑𝐴
𝑥 =
∫ 𝑥 𝑑𝐴
𝐴
Área sob q(x) Centroide da área
sob q(x)
q
35
Exemplo 3.1
36
§ Calcule as reação de apoio da viga abaixo:
40
VA
HA
VB
P1P2
1.5m 1.5m
H𝑀$ = 4.5 I 𝑉4 − 1.5 I 𝑃( − 3 I 𝑃, = 0 𝑉4 =
1.5 I 6.75 + 3 I 18
4.5
= 14.25 kN⟹
𝑃, = 3 kN/m I 6	m	=	18	kN
𝑃( =
3 kN/m I 4.5 m
2
= 6.75 kN
H𝑉 = 𝑉$ + 𝑉4 − 𝑃, − 𝑃( = 0 𝑉$ = 18 + 6.75 − 14.25 = 10.5 kN⟹
H𝐻 = 𝐻$= 0
36
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7
Exemplo 3.2
37
§ Calcule as reação de apoio do pórtico abaixo:
40
37
Exemplo 3.2
38
§ Calcule as reação de apoio do pórtico abaixo:
40
VA
HA
VB
P1 P2
P3 𝐻$= 𝑃) = 1000 N
H𝑀$ = 6 I 𝑉4 + 2.5 I 𝑃) − 2 I 𝑃, − 4 I 𝑃( = 0
𝑉4 =
2 I 600 + 4 I 300 − 2.5 I 1000
6
= −16.67 N
𝑃) = 200 I 5	=	1000	N
𝑃, = 0.5 I 200 I 6	=	600	N
𝑃( = 0.5 I 100 I 6	=	300	N
H𝑉 = 𝑉$ + 𝑉4 − 𝑃, − 𝑃( = 0 𝑉$ = 916.67 N⟹
38
Exemplo 3.3
39
§ Determine os valores w1 e w2 correspondentes à reação do solo da
fundação abaixo:
40
F2 = 4w2F1 = 4w1
𝐿 = 1 + 2.5 + 3.5 + 1 =	8	m
𝑑 = 𝐿/3 =	2.667	m
d d
d
H𝑀, = 4 𝑤( I 2.667 + 60 I 1.667 −
80 I 0.833 − 50 I 4.333 = 0
𝑤( =
183.27
4 I 2.667
= 17.18 kN/m
H𝑉 = 4 𝑤, + 4 𝑤(− 60 − 80 − 50 = 0 ⟹ 𝑤, =
121.28
4
= 30.32 kN/m
39
Forças distribuídas em uma região plana
40
§ Sistema de forças paralelas (admite redução a uma força resultante):
𝐹+ = &
$
𝑝 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = & 𝑑𝑉 = 𝑉
Volume sob p(x, y)
𝐹+ 𝑥 = &
$
𝑥 𝑝 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = & 𝑥 𝑑𝑉 𝑥 =
∫ 𝑥 𝑑𝑉
𝑉
Centroide do volume sob p(x, y)
𝑦 =
∫ 𝑦 𝑑𝑉
𝑉
𝐹+ 𝑦 = &
$
𝑦 𝑝 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = & 𝑦 𝑑𝑉
40
Forças distribuídas em uma região plana
41
§ Pressão uniforme p(x,y) = p:
𝐹+ = &
$
𝑝 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑝&
$
𝑑𝐴
𝑥 =
∫ 𝑥 𝑑𝐴
𝐴
𝑦 =
∫ 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
𝐹+ 𝑦 = &
$
𝑦 𝑝 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑝&
$
𝑦 𝑑𝐴
𝐹+ = 𝑝 𝐴
𝐹+ 𝑥 = &
$
𝑥 𝑝 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑝&
$
𝑥 𝑑𝐴
⟹
⟹
⟹
Força resultante aplicada no centroide da placa:
(𝑥, 𝑦)
𝐹+
41
Estática dos Fluidos
§ Sólidos x fluidos:
• Sólidos em repouso são capazes de suportar tensões normais e
tangenciais:
ü Tem volume e forma definidas.
• Fluidos em repouso são incapazes de suportar tensões tangenciais:
ü Não tem forma definida.
ü Suportam apenas tensões normais de compressão (pressão
hidrostática).
ü Princípio de Pascal: a pressão hidrostática é a mesma em
qualquer direção.
ü Apressão hidrostática varia com a profundidade.
42
42
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8
Estática dos Fluidos
§ Princípio de Pascal:
43
H𝐹% = 𝑝,𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 𝑝)𝑑𝑠 𝑑𝑧 sin 𝜃 = 0
p2 dx dz
q
q
q
p3 ds dz
p1 dy dz
dy
dx
ds
𝑑𝑥 = 𝑑𝑠 cos 𝜃
𝑑𝑦 = 𝑑𝑠 sin 𝜃
𝑝, = 𝑝)⟹
H𝐹" = 𝑝(𝑑𝑥 𝑑𝑧 − 𝑝)𝑑𝑠 𝑑𝑧 cos 𝜃 = 0 𝑝( = 𝑝)⟹
A pressão p é a
mesma em qualquer
direção.
43
Estática dos Fluidos
Variação da pressão com a profundidade (g = r g):
44
H𝐹" = 𝑝 + 𝑑𝑝 𝑑𝐴 − 𝑝 𝑑𝐴 − 𝜌𝑔 𝑑𝐴 𝑑ℎ = 0
𝑝 = 𝑝& + 𝛾 ℎ
A pressão aumenta linearmente
com a profundidade.
𝑑𝑝 = 𝛾 𝑑ℎ ⟹
𝑝&
ℎ
𝑝
Pressão
atmosférica
Pressão
manométrica
44
Forças sobre superfícies submersas
§ As forças exercidas pelo fluido em superfícies submersas
correspondem às resultantes das pressões:
45
• A pressão é sempre perpendicular à 
superfície.
• O valor da pressão varia apenas 
com a profundidade.
• Decompor dF = p dA nas direções 
x, y, z.
• Forças e momentos resultantes 
calculados por integração.
• Em geral, não é um sistema de 
forças paralelas.
Superfície livre (SL)
45
Placas retangulares
§ Forças sobre placas retangulares podem ser tratadas transformando
as pressões em cargas distribuídas ao longo de uma linha:
46
Superfície livre (SL) Superfície livre (SL)
A pressão p varia apenas com a
profundidade h.
Sistema de forças paralelas
atuando normal à placa.
46
Exemplo 4.1
47
§ Calcule o momento de tombamento gerado pela água sobre a
barragem abaixo (ra = 1000 kg/m3) de largura b = 8 m:
40
𝐹5 =
𝑞ℎ
2
=
𝛾ℎ(𝑏
2
Superfície livre
Fp
2ℎ
3
ℎ
3
𝑞 = 𝑝𝑏 = 𝛾ℎ𝑏
𝑀5 =
𝑞ℎ
2
I
ℎ
3
=
𝛾ℎ)𝑏
6
47
Exemplo 4.1
48
40
𝐹5 =
𝑞ℎ
2
=
470.88 I 6
2
= 1412.6 kN
Superfície livre
Fp
4 m
2 m
𝑝 = 𝛾ℎ = 9.81 I 6 = 58.86 kN/m(
𝑀5 =
𝐹5 ℎ
3
= 1412.6 I 2 = 2825.2 kNm
𝑞 = 𝑝𝑏 = 58.86 I 8 = 470.88 kN/m
𝛾 = 𝜌𝑔 = 1000 kg/m) I 9.81 6
7
(
= 9810 N/m) = 9.81 kN/m)
48
16/07/2021
9
Exemplo 4.2
49
§ A comporta AB tem 8 m de largura. Determine as forças na rótula B
e a reação vertical em A. Despreze o atrito da comporta com o solo.
40
VA
HB
VB
DCL da comporta
𝑞4 = 𝛾ℎ4𝑏
𝑞$ = 𝛾ℎ$𝑏
FA
FB
ℎ4 = 5 m
ℎ$ = 9 m
49
𝜃
Exemplo 4.2
50
40
VA
HB
VB
DCL da comporta
𝑞4
𝑞$
FA
FB
H𝑀4 =
5
3
I 𝐹4 +
10
3
I 𝐹$ − 3 I 𝑉$ = 0
5m
𝑞4 = 𝛾ℎ4𝑏 = 9.81 I 5 I 8 = 392.4 kN/m
𝐹4 =
392.4 I 5
2
= 981 kN
𝑞$ = 𝛾ℎ$𝑏 = 9.81 I 9 I 8 = 706.32 kN/m
𝑉$ =
7521
3
= 2507 kN
𝐹$ =
706.32 I 5
2
= 1765.8 kN
H𝐻 = (𝐹4+𝐹$) sin 𝜃 − 𝐻4 = 0
𝐻4 = 2197.4 kN
H𝑉 = 𝑉$ + 𝑉4 − (𝐹4 + 𝐹$) cos 𝜃 = 0
𝑉4 = −858.92 kN
3m
50
Exemplo 4.3
51
§ Quando a maré em A baixa, a comporta abre para drenar o pântano
em B. Para a condição mostrada, determine as forças na rótula C e
no batenteD. Alargura da comporta é 6 m.
40
51