Cálculo Numérico: Newton, Romberg, Gauss-Seidel, Jacobi, Runge-Kutta

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1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Calcule o valor aproximado de x na equação √ x +√ x−1 =3x+x−1=3, utilizando o 
método de Newton com chute inicial igual a 6 e com 5 iterações. 
 
 
0,32000 
 
1.7777 
 
0,1777 
 2.7777 
 
0,2777 
Respondido em 20/10/2022 11:00:40 
 
Explicação: 
Gabarito: 2.7777 
Justificativa: 
Substituindo os dados da questão e fazendo a i=xi=x, temos a seguinte função, na qual 
desejamos encontrar a raiz: 
f(x)=√ x +√ x−1 −3f(x)=x+x−1−3 
Aplicando o método de Newton: 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
 
def f(x): 
return np.sqrt(x) + np.sqrt(x-1) -3 
 
def df(x): 
return 1/2*((1/np.sqrt(x)) + (1/np.sqrt(x-1))) 
 
x= np.linspace(1,10,1001) 
y= f(x) 
plt.plot(x,y) 
 
def newton(chute, iteracoes=10): 
raiz = chute 
 
for i in range(iteracoes): 
raiz = raiz - f(raiz)/df(raiz) 
return raiz 
 
print(`x=¿,newton(6,5)) 
 
x=2.777777777777777 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Qual é o formato principal de declarar e formatar string no Python 3? 
 
 
Hashtag e Parênteses 
 
Aspas simples e Parênteses 
 Aspas simples e Aspas duplas 
 
Aspas duplas e Hashtag 
 
Aspas duplas e Parênteses 
Respondido em 20/10/2022 11:01:50 
 
Explicação: 
Gabarito: Aspas simples e Aspas duplas 
Justificativa: os strings são sempre definidos com aspas simples ou duplas. 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Desejamos calcular √ 12 12 utilizando interpolação, para isso usamos os seguintes dados: 
 
O valor encontrado, utilizando Newton com 2 casas decimais é: 
 
 
3.23 
 3.49 
 
3.76 
 
3.94 
 
3.67 
Respondido em 20/10/2022 11:03:02 
 
Explicação: 
Executando o seguinte script: 
 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O método de Gauss-Seidel e Jacobi são conhecidos como: 
 
 Métodos Iterativos. 
 
Métodos de Newton. 
 
Métodos de Fatoração. 
 
Métodos Diretos. 
 
Métodos dos Gradientes. 
Respondido em 20/10/2022 11:15:30 
 
Explicação: 
Os métodos de Gauss-Seidel e Jacobi são conhecidos como métodos iterativos, pois 
necessitam de um "chute" inicial e dos processos iterativos xk+1=xk+pk 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de sen(x) no intervalo de 
0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 
0,49970 
 0,45970 
 0,41970 
 
0,55970 
 
0,65970 
Respondido em 20/10/2022 11:15:31 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = sen(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos ensinados na aula de hoje para o método de Romberg, temos 
o código em Python indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x:sp.sin(x) 
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True) 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - sen(x) no 
intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 
0,58355 
 
0,50355 
 0,52355 
 0,54355 
 
0,56355 
Respondido em 20/10/2022 11:15:32 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - sen(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 1; 
- O valor final do intervalo de integração é 2; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python 
indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.sin(x) 
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True) 
 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(2) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,20. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
0,83 
 0,75 
 0,77 
 
0,79 
 
0,81 
Respondido em 20/10/2022 11:15:34 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer 
que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 2; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,2; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.74 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da 
EDO de 1ª ordem y' = 2.cos(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de 
Euler: 
 
 
2,688 
 
2,488 
 2,588 
 
2,388 
 2,288 
Respondido em 20/10/2022 11:15:36 
 
Explicação: 
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos 
importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O 
ponto final; A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e O valor da 
função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 2.cos(y); O 
ponto inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da 
função no ponto inicial é 3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO 
de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método 
de Runge-Kutta: 
 
 
2,703 
 
2,603 
 2,403 
 2,303 
 
2,503 
Respondido em 20/10/2022 11:15:37 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.30. 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valorde y(3) em face da resolução da EDO 
de 1ª ordem y'= y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-
Kutta: 
 
 
2,785 
 2,985 
 2,585 
 
2,685 
 
2,885 
Respondido em 20/10/2022 11:15:38 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y'= y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.98. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
A velocidade v de um foguete Saturno V, em voo vertical perto da superfície da Terra, pode ser 
medida por: 
v=uln(MM−mt)−v=uln(MM−mt)− 
onde 
u=2510m/s=velocidade de exaustão em relação ao fogueteu=2510m/s=velocidade de 
exaustão em relação ao foguete 
M=2,8×106kg=massa do foguete na decolagemM=2,8×106kg=massa do foguete na 
decolagem 
m=13,3×103kg/s=taxa de consumo de combustívelm=13,3×103kg/s=taxa de consumo de 
combustível 
g=9,81m/s2=aceleração gravitacionalg=9,81m/s2=aceleração gravitacional 
t=tempo medido a partir da decolagemt=tempo medido a partir da decolagem 
Determine o tempo em que o foguete atinge a velocidade do som (355m/s)(355m/s). Utilize, 
para aproximação inicial, o intervalo [70,80][70,80]. 
 
 73.281758 
 73.8999999 
 
70.000000 
 
80.000000 
 
74.345781 
Respondido em 20/10/2022 11:36:37 
 
Explicação: 
Gabarito: 73.281758 
Justificativa: Substituindo os dados da questão e fazendo a t=xt=x, temos a seguinte função, na qual 
desejamos encontrar a raiz: 
f(x)=2510ln(2.8×1062.8×106−13.3×103x)−9.81x−355f(x)=2510ln(2.8×1062.8×106−13.3×103x)−9.81x
−355 
Aplicando o método da bisseção: 
import math 
 
from numpy import sign 
def biss(f,x1,x2,switch=1,tol=1.0e-9): 
f1 = f(x1) 
if f1 == 0.0: return x1 
f2 = f(x2) 
if f2 == 0.0: return x2 
if sign(f1) == sign(f2): 
print('Raiz não existe nesse intervalo') 
n = int(math.ceil(math.log(abs(x2 - x1)/tol)/math.log(2.0))) 
for i in range(n): 
x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = f(x3) 
if (switch == 1) and (abs(f3) > abs(f1)) \ 
and (abs(f3) > abs(f2)): 
return None 
if f3 == 0.0: return x3 
if sign(f2)!= sign(f3): x1 = x3; f1 = f3 
else: x2 = x3; f2 = f3 
return (x1 + x2)/2.0 
 
def f(x): return 2510*math.log(2.8e6/(2.8e6 - 13.3e3*x)) - 9.81*x -
355 
x = biss(f, 70, 80) 
print('x =', '{:6.6f}'.format(x)) 
x = 73.281758 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Suponha que um computador arredonde para 2 casas decimais os números escritos na 
notação de ponto flutuante e considere a função: 
f(x)=(cosx)21+senxf(x)=(cosx)21+senx 
Sabendo que o valor exato de f(1,5)=0,002505013f(1,5)=0,002505013, determine 
o erro relativo no cálculo de f(x)f(x), onde sen(1.5)sen(1.5) e cos(1.5)cos(1.5) são, 
aproximadamente, igual a 1 e 0,071. 
 
 0,002 
 
0,02 
 
0,003 
 
1 
 
0,03 
Respondido em 20/10/2022 11:23:45 
 
Explicação: 
Gabarito: 0,002 
Justificativa: Tem-
se: (cos(1,5))2=0,005(cos(1,5))2=0,005 e sen(1.5)+1=2sen(1.5)+1=2, 
logo g(1.5)=0,005/2=0,0025g(1.5)=0,005/2=0,0025 
e=0,002505013−0,00250,002505013=0,002e=0,002505013−0,00250,002505013=0,002 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
É dado um conjunto de pontos que possui 5 coordenadas (x,y), deseja-se usar uma 
base de monômios para obter um polinômio de grau 4 , a ordem da matriz utilizada 
para calcular os coeficientes desse polinômio interpolador é: 
 
 
7x7 
 
3x3 
 5x5 
 
4x4 
 
6x6 
Respondido em 20/10/2022 11:25:46 
 
Explicação: 
Como temos 5 pontos e o polinômio interpolador possui 5 coeficientes para determinar, 
necessitamos de uma matriz 5x5. 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
No método Gauss Seidel realizamos uma decomposição A=M-N, onde M é uma matriz 
triangular inferior de A. O comando em Python no módulo import numpy as np 
responsável por realizar esse procedimento é: 
 
 M=np.tril(A) 
 
M=np.triu(A) 
 
M=np.ones(A) 
 
M=np.eyes(A) 
 
M=np.diag(A) 
Respondido em 20/10/2022 11:27:06 
 
Explicação: 
Quando utilizamos o comando import numpy as np, podemos operar com as matrizes e 
funções pertencentes a biblioteca numpy, um exemplo são as que extraem a parte 
triangular de A, tril e triu, essas funções extraem respectivamente a parte triangular 
inferior e superior de A, no caso do Método de Gauss-Seidel precisamos da parte inferior, 
logo usaremos M= np.tril(A). 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) no 
intervalo de 0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 
-0,38147 
 -0,34147 
 
-0,30147 
 -0,32147 
 
-0,36147 
Respondido em 20/10/2022 11:36:40 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python 
indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.cos(x) 
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True) 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de -x2 no intervalo de 0 
a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método dos Retângulos: 
 
 
-0,433 
 -0,133 
 
-0,533 
 
-0,233 
 -0,333 
Respondido em 20/10/2022 11:36:41 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo). 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = -x2; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada 
intervalo é 0,1. 
Assim, aplicando os conceitos do método dos Retângulos, temos o seguinte código em 
Python: 
 
i mport numpy as np 
import math 
f = lambda x: -x**2 
a = 0; b = 1; N = 10 
x = np.linspace(a,b,N+1) 
y = f(x) 
dx = (b-a)/N 
x_medio = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N) 
soma_retangulo = np.sum(f(x_medio) * dx) 
print("Integral:",soma_retangulo) 
 
O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão. 
 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da 
EDO de 1ª ordem y' = y + 3, sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de 
Euler: 
 
 
5,985 
 5,785 
 
5,885 
 
6,085 
 6,185 
Respondido em 20/10/2022 11:36:43 
 
Explicação: 
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais 
ordináriasde primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos 
importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O 
ponto final; A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e O valor da 
função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y + 3; O ponto 
inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da função no 
ponto inicial é 3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de 
Runge-Kutta: 
 
 
2,409 
 
2,609 
 2,509 
 2,309 
 
2,709 
Respondido em 20/10/2022 11:36:44 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer 
que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.308 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 0,449 
 
0,509 
 0,429 
 
0,469 
 
0,489 
Respondido em 20/10/2022 11:36:46 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 1; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,1; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.428 . 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-
Kutta: 
 
 
2,52 
 
2,62 
 
2,32 
 2,42 
 2,22 
Respondido em 20/10/2022 11:36:47 
 
Explicação: 
Aa resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.22.