Aula 08 - Probabilidade

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Aula 08
• Prof. José Lucinaldo
Ferreira de Souza
Para iniciar o estudo da probabilidade é necessária a 
compreensão dos seguintes conceitos:
• Experimento
• Espaço amostral
• Evento
• Eventos dependentes
• Eventos independentes
• Probabilidade
• Distribuições de probabilidade
• Experimento e espaço amostral
Experimento.
Experimento é um procedimento claramente 
definido que conduz a um resultado. A realização de 
um experimento é chamada tentativa, e cada 
tentativa tem o seu resultado.
Experimentos aleatórias
Experimentos aleatórios são experimentos onde 
não é possível prever o resultado, embora 
sejam conhecidos todos os resultados possíveis.
Espaço amostral
Espaço amostral “S” é o conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento aleatório.
Ex. Lançamento de um dado: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Cada um dos elementos de “S” que correspondem a 
um resultado recebe o nome de PONTO AMOSTRAL, 
por exemplo, 2 a S => 2 é um ponto amostral de S (no 
caso do lançamento do dado).
Evento
Evento é o subconjunto do espaço amostral tal que todos 
os elementos a este pertencente satisfaçam a uma regra 
comum.
A especificação de um evento pode ser feita pela regra que 
os elementos satisfazem ou pela enumeração de todos os 
seus elementos. Seja, por exemplo, um lançamento de um 
dado. Tem-se:
• Espaço amostral - S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Evento - A={Número mostrado menor que quatro} ou 
A={1, 2, 3} (este é apenas um dos vários eventos possíveis)
Tipos de Eventos
Evento independente é o evento no qual a sua 
ocorrência não afeta a chance de ocorrência de outro. 
Ex.: Lançamentos de dados ou moedas honestos. Nestes 
eventos quaisquer que tenham sido os resultados 
anteriores, estes não afetarão o próximo resultado.
Evento dependente é o evento em que a sua ocorrência 
afeta a do outro. Ex.: Retirada, sem reposição, de uma 
carta de ouros de um baralho; os eventos ser homem e 
ser careca. Em tais eventos, os resultados anteriores 
afetarão o próximo resultado.
Probabilidade
Probabilidade de um evento é um número entre 
0 e 1 que indica a chance de ocorrência de um 
evento quando o experimento a este associado é 
executado.
A probabilidade de um evento A ocorrer é 
indicada na forma: P(A)
Se o evento A não pode ocorrer então se escreve: P(A) = 0
Se existe certeza na ocorrência de A então se escreve: P(A) = 1
Definições de Probabilidade
1 - Se um experimento pode ocorrer de N maneiras e 
se o evento “A” pode ocorrer em “n” destes testes 
então a probabilidade de “A” ocorrer é : P(A) = n / N. 
Probabilidade calculada pelo método de análise de 
experimento (Dado, moeda...)
Definições de Probabilidade
2 - Se um evento com atributo “A” ocorre n vezes 
em N experimentos, então para valores grandes de 
N, P(A) se aproxima de n / N. 
A Probabilidade é calculada pelo método de
frequência relativa (Confiabilidade e CQ)
Teoremas de probabilidade
O estudo da probabilidade é baseado em teoremas. 
Os teoremas devem organizar a forma de 
raciocinar e indicar a direção a seguir na solução 
de problemas. De maneira geral pode-se afirmar 
que a aplicação correta dos teoremas é a parte mais 
importante as solução.
Teoremas de probabilidade
Teorema é uma proposição que, para ser admitida 
ou se tornar evidente, necessita de demonstração. 
Algumas relações sobre a teoria dos 
conjuntos.
Um evento é essencialmente um conjunto, de 
forma que as relações e resultados da teoria 
elementar dos conjuntos podem ser usados para o 
estudo dos eventos. 
As operações a seguir serão usadas para construção 
de novos eventos, a partir de eventos conhecidos.
DEFINIÇÃO 1.
A união de dois eventos A e B, representada por A U B e 
lida “A união B”, é o evento que consiste em todos os 
resultados que estão no evento A ou no B ou em 
ambos (de forma que a união inclui resultados em que 
ocorram A e B, bem como aqueles em que exatamente 
um ocorre), isto é, todos os resultados em ao menos um 
dos eventos.
DEFINIÇÃO 2. A interseção dos dois eventos A e B, 
representada por A B e lida “A interseção B”,
é o evento que consiste de todos os resultados que 
estão em ambos A e B.
DEFINIÇÃO 3. O complemento de um evento A, 
representado por A’, é o conjunto de todos os 
resultados em S que não estão contidos em A.
U
Quando os conjuntos A e B não possuem 
resultados em comum, são chamados eventos 
mutuamente exclusivos ou disjuntos.
Quando dois eventos são tais que, eles nunca podem ocorrer 
simultaneamente, neste caso se tem que A ∩ B = ∅, eles são 
chamados eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente
excludentes, (em termos de conjunto, diríamos que são 
conjuntos disjuntos).
Teorema 1 de probabilidade : 
Soma de probabilidades .
Se A e B são eventos em um espaço amostral, então
P(A ou B)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P (A ∩ B)
Obs. 1 - Se A e B são mutuamente exclusivos, 
ou seja, P(A ∩ B)=0 tem-se:
P(A ou B)=P(A)+P(B)
Obs. 2 - Se A 1 , A2 ,...Ak são eventos 
mutuamente exclusivos então:
P(A1 ∪ A2 ∪...∪ A k)=P(A1 )+ P(A2 )+...+ P(Ak)
Teorema 2 de probabilidade : Eventos complementares
Se A e Ac são eventos complementares, isto é, são 
mutuamente exclusivos e juntos compõem o espaço 
amostral, então:
P(Ac )=1 - P(A)
Teorema 3 de probabilidade : Produto de probabilidades
Se A e B são eventos independentes então:
P(A ∩ B)=P(A).P(B)
Para três eventos independentes A,B e C, a regra especial 
da multiplicação usada para determinar a probabilidade 
de que todos os eventos ocorram é:
P(A e B e C) = P(A).P(B).P(C
Probabilidade Condicional
É a probabilidade de que um evento particular ocorra, 
dado que outro evento tenha ocorrido.
• Notação: A probabilidade do evento A dado que o 
evento B ocorreu é denotada por P(A/B)
Teorema 3 de probabilidade : Produto de probabilidades
Regra Geral da Multiplicação
• A Regra Geral da Multiplicação é usada para encontrar 
a probabilidade conjunta de que dois eventos ocorram.
• A regra estabelece que para dois eventos A e B, a 
probabilidade conjunta de que os dois eventos ocorram 
é obtida pela multiplicação da probabilidade de que o 
evento A ocorra pela probabilidade condicional de B 
dado que A ocorreu.
Regra Geral da Multiplicação
A probabilidade conjunta, P(A e B) é dada pela seguinte 
fórmula:
P(A e B) = P(A) . P(B/A)
Alternativamente, podemos também escrever:
P(A e B) = P(B) . P(A/B)
Análise Combinatória
A análise combinatória ou combinatória é a parte 
da Matemática que estuda métodos e técnicas que 
permitem resolver problemas relacionados com 
contagem.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, 
ela faz a análise das possibilidades e das 
combinações possíveis entre um conjunto de 
elementos. Definindo o espaço amostral.
Princípio Fundamental da Contagem
Também chamado de princípio multiplicativo, postula 
que:
“Quando um evento é composto por n etapas 
sucessivas e independentes, de tal modo que as 
possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades 
da segunda etapa é y, resulta no número total de 
possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto 
(x) . (y).”
Exemplo
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um 
preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, 
uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três 
opções de sanduíches: hambúrguer especial, 
sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. 
Como opção de bebida, pode-se escolher 2 tipos: suco 
de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem 
quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de 
chocolate, cupcake de morango e cupcake de 
baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de 
quantas maneiras um cliente pode escolher o seu 
lanche?
Árvore de possibilidades
24 tipos diferentes de lanches
Podemos ainda resolver o problema usando o 
princípio multiplicativo. Para determinar as 
diferentes possibilidades de lanches, basta 
multiplicar o número de opções de sanduíches, 
bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches
para escolherna promoção.
Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser 
usado na maioria dos problemas relacionados com 
contagem. 
Em algumas situações seu uso torna a resolução 
muito trabalhosa.
Basicamente há três tipos de agrupamentos: 
arranjos, permutações e combinações.
Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos 
dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, 
p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação 
para escolher um representante e um vice-representante 
de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado 
será o representante e o segundo mais votado o 
vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha 
poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem 
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, 
onde o número de elementos (n) do agrupamento é 
igual ao número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de 
arranjo, quando o número de elementos é igual ao 
número de agrupamentos. Desta maneira, o 
denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na 
permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo ( Permutação)
De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se 
sentar em um banco com 6 lugares?
Como a ordem em que irão se sentar é importante e 
o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação:
Combinações
As combinações são subconjuntos onde a ordem dos 
elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n
elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão:
Exemplo
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 
membros para formar uma comissão organizadora de 
um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser 
formada?
Observação: ao contrário dos arranjos, nas combinações 
a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer 
que escolher: Maria, João e José, são equivalentes a 
escolher: João, José e Maria.
Para encontrar o número de casos possíveis e 
favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer 
às fórmulas estudadas em análise combinatória, 
devido a quantidade de elementos que teremos 
de analisar.
Vinculo entre a análise combinatória e a probabilidade.
Exercícios de análise combinatória
Exercício 1
Uma pessoa mora na cidade A e deseja viajar para 
conhecer a cidade C. Para isso, é preciso passar 
primeiro pela cidade B. Existem 4 caminhos que 
levam até a cidade B e, a partir da cidade B, três 
caminhos que levam até a cidade C. Supondo que a 
única maneira de chegar até a cidade C seja 
passando por B, de quantas formas diferentes esta 
pessoa pode ir até à cidade C, e voltar para cidade A?
Exercícios de análise combinatória
Exercício 2
Gabriel, Maurício, Luiza, Paula e Raquel são um 
grupo de amigos que decidem ir ao cinema. Eles 
compram ingressos na mesma fileira, de forma que 
estejam sempre juntos, sem nenhuma cadeira vazia 
ou ocupada por outro espectador. Como Maurício e 
Luiza são namorados, eles irão sentar lado a lado. 
De quantas maneiras o grupo de amigos podem se 
sentar, de modo que o casal permaneça junto?
Exercícios de análise combinatória
Exercício 3
Um restaurante oferece oito opções para o prato 
principal, dentre as quais, o cliente pode escolher 4. 
Suponha que um cliente almoçará todos os dias 
neste restaurante, enquanto houver opções 
diferentes. Quantos dias este cliente poderá almoçar 
no restaurante, sem repetir uma refeição?
Exercícios de análise combinatória
Exercício 4
Uma faculdade coletou a seguinte informação sobre 
seus estudantes de graduação:
Um estudante é selecionado ao acaso. Qual é a 
probabilidade de que o(a) estudante seja mulher e 
que esteja cursando Contabilidade?
Seja A o evento: o(a) estudante está cursando Contabilidade 
e F o evento: o(a) estudante é mulher. Qual a probabilidade?
Qual é a probabilidade de selecionar uma mulher ?
Dado que o(a) estudante é mulher, qual é a probabilidade de 
que esteja cursando Contabilidade ?
Exercício 5
A Companhia C & W tem recebido recentemente diversas 
reclamações de que suas garrafas estão sendo preenchidas com 
conteúdo abaixo do especificado. Uma reclamação foi recebida 
hoje mas o administrador da produção não é capaz de identificar 
qual das duas plantas (A ou B) preencheu a garrafa. Qual é a 
probabilidade de que a garrafa com pouco preenchimento 
provenha da planta A? Seja S o evento: a garrafa foi preenchida 
com conteúdo abaixo do especificado.
Exercícios de análise combinatória
Exercício 6
Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio 
máximo da mega-sena, fazendo uma aposta mínima, 
ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Exercícios de análise combinatória
Exercício 7
Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; 
Uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; 
Uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. 
Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade 
de as 3 bolas retiradas da primeira, segunda e terceira 
urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
Exercícios de análise combinatória
Exercício 8
Um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada 
uma peça, calcule?
a- A probabilidade de essa peça ser defeituosa:
b- A probabilidade de essa peça não ser defeituosa:
Exercícios de análise combinatória
Exercício 9
De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, 
simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e 
uma carta do segundo baralho. 
Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho 
ser um rei e a do segundo baralho ser o 5 de paus?
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