Vetor Tangente e Quadri-velocidade

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Aula 6: 3 de abril 6-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 6: 3 de abril
Profa. Raissa F. P. Mendes
6.18 Vetor tangente
Geralmente pensamos em um vetor como um segmento de reta orientado no espaço (uma noção
bilocal, ou seja, que depende de dois pontos no espaço) e aqui começamos também com essa visão
intuitiva. Mas essa noção não é tão útil em espaços com curvatura, onde uma definição local é mais
apropriada. De fato, mais à frente será útil pensar em vetores como objetos que vivem num espaço
tangente a um ponto no espaço-tempo, como ilustra a figura abaixo.
Uma noção útil é associar vetores a derivadas direcionais. Considere o caso do vetor tangente a
uma curva. Uma curva é especificada dando as coordenadas como funções de um parâmetro real,
ou seja, xµ(λ), λ ∈ R. O vetor tangente tem componentes V µ = dxµ(λ)/dλ. Para verificar que de
fato V µ representa as componentes de um vetor, é necessário considerar como essas componentes
se transformam por uma mudança de referencial inercial. Num referencial Ō, temos que a curva é
descrita por xµ̄(λ) e as componentes do vetor tangente são
V µ̄ =
dxµ̄
dλ
=
∂xµ̄
∂xν
dxν
dλ
= Λµ̄ν
dxν
dλ
= Λµ̄νV
ν ,
onde a terceira igualdade vem do fato que xµ̄ = Λµ̄νxν . Ou seja, o vetor tangente a uma curva
satisfaz a lei de transformação esperada para vetores. De fato, qualquer vetor pode ser expresso
como o vetor tangente a alguma curva12.
12 Mais explicitamente, como a noção de vetores como derivadas se relaciona com a noção intuitiva do segmento de
reta orientado? A noção intuitiva de vetores pode ser expressa como: ~vAB = B−A (ou AB). Podemos representar o
vetor como uma linha reta parametrizada da forma: P (λ) = A+ λ(B −A), com λ = 0 sendo a base da seta e λ = 1
sendo a ponta. Derivando, temos: (d/dλ)[A+ λ(B − A)] = B − A = ~vAB . Isso nos permite substituir a ideia de um
vetor como um objeto bilocal para uma noção local (“vetor tangente”): ~vAB = (dP/dλ)λ=0.
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6.19 Quadri-velocidade e quadri-momento
6.19.1 Quadri-velocidade
Um vetor muito importante é a quadri-velocidade de uma part́ıcula que segue uma certa linha de
mundo. Em mecânica Newtoniana, dada a função horária da trajetória, ~x(t), o vetor velocidade
é simplesmente ~v = d~x(t)/dt, que tem também a interpretação de vetor tangente à trajetória da
part́ıcula.
Considere agora a linha de mundo de uma part́ıcula (ou seja, a curva que ela descreve no espaço-
tempo), parametrizada da forma xµ(λ), em função de um certo parâmetro λ.
Quadri-velocidade: Definimos a quadri-velocidade como o vetor tangente à linha de mundo
da part́ıcula, e com módulo unitário, ou seja, ~U · ~U = −1.
Da definição acima, temos que Uµ = dxµ(λ)/dλ. O papel da condição de normalização é fixar quem
é o parâmetro λ: note que quando λ → Cλ, Uµ → CUµ. Escrevendo a condição de normalização
explicitamente, temos:
−
(
dx0
dλ
)2
+
(
dx1
dλ
)2
+
(
dx2
dλ
)2
+
(
dx3
dλ
)2
= −1→ −(dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 = −dλ2
A expressão acima é justamente a que define o tempo próprio ao longo da trajetória! Logo, con-
clúımos que λ = τ e a quadri-velocidade pode ser definida alternativamente como
Uµ =
dxµ(τ)
dτ
. (6.12)
Voltemos à definição mais geométrica, da quadri-velocidade como o vetor tangente à linha de
mundo de comprimento unitário. Se pensamos em uma part́ıcula em movimento uniforme, temos
que o vetor velocidade será simplesmente ~e0
13, no referencial em que a part́ıcula está em repouso.
13Ou ~U = c~e0, de modo que ~U · ~U = −c2.
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Por outro lado, não existe um referencial inercial em que uma part́ıcula acelerada esteja sempre em
repouso. Existe, no entanto, um referencial inercial que momentaneamente tem a mesma velocidade
da part́ıcula (mas que num instante depois não terá mais). Como vimos, esse referencial é chamado
de referencial inercial momentaneamente comóvel (RIMC). A quadrivelocidade de uma part́ıcula
acelerada pode ser identificada com o vetor de base ~e0 do seu RIMC naquele evento
14.
Como essa definição se relaciona com a definição comum de velocidade, v = dx/dt? Imagine uma
part́ıcula que se move com velocidade v na direção x. No seu referencial de repouso Ō, ela possui
um vetor de base ~e0̄, que determina sua quadrivelocidade. Quais são as componentes desse vetor
no referencial O? Serão
Uα = Λαβ̄U
β̄ = Λαβ̄(~e0̄)
β̄ = Λαβ̄δ
β̄
0̄
= Λα0̄.
Logo, U0 = 1/
√
1− v2, U1 = v/
√
1− v2, U2 = U3 = 0. Ou ~U →O γ(1, v, 0, 0). Em geral,
~U →O γ(1, vx, vy, vz). Para velocidades pequenas, temos que γ ≈ 1, e a componente espacial da
quadrivelocidade se reduz a v.
Uma forma alternativa de chegar a ~U →O γ(1, vx, vy, vz) é primeiro notar que vx = dx/dt =
(dx/dτ)/(dt/dτ) = U1/U0. Da mesma forma, vy = U
2/U0 e vz = U
3/U0. Logo, podemos escrever
Uµ = U0(1, vx, vy, vz). Para determinar U
0, usamos a condição de normalização: −(U0)2(1− v2x −
v2y − v2z) = −1. Logo U0 = 1/
√
1− v2 = γ.
6.19.2 Quadri-aceleração
Vamos começar com um exemplo. Uma part́ıcula se move ao longo do eixo-x ao longo de uma linha
de mundo descrita parametricamente da forma:
t(λ) = a−1 sinhλ, x(λ) = a−1 coshλ,
14Note que, no RIMC, o tempo próprio é a própria coordenada temporal t, e d~x/dτ →RIMC (1, 0, 0, 0) = (~e0)RMC.
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onde a é uma constante com dimensão de inverso de distância e λ ∈ (−∞,∞). Qual é a linha
de mundo traçada por essa part́ıcula? É uma hipérbole! Note que x2 − t2 = a−2. Qual é a
quadri-velocidade dessa part́ıcula como função de λ? Basta calcular o vetor tangente, que tem
componentes
~U →O C
dxµ
dλ
= Ca−1 (coshλ, sinhλ)
onde C é uma constante. Mas ~U · ~U = C2/a2(− cosh2 λ + sinh2 λ) = −C2/a2 = −1. Logo,
C = a. Outro jeito seria calcular o tempo próprio: dτ2 = (a−1dλ)2, escrever t(τ) = a−1 sinh(aτ),
x(τ) = a−1 cosh(aτ) e derivar em relação ao tempo próprio. Temos: ~U →O (cosh(aτ), sinh(aτ)).
Qual é a tri-velocidade da part́ıcula? É
V x =
dx
dt
=
dx/dτ
dt/dτ
= tanh(aτ).
A velocidade nunca excede a velocidade da luz, mas se aproxima dela à medida que τ → ±∞.
O que seria a aceleração da part́ıcula? Podemos definir, analogamente ao caso Newtoniano, ~a =
d~U/dτ . Teŕıamos, no exemplo: ~a→O a(sinh(aτ), cosh(aτ)). Note que ~a ·~a = a2. O exemplo acima
é a descrição relativ́ıstica de um movimento uniformemente acelerado.
Note que, como d/dτ(~U · ~U) = 2~U ·d~U/dτ , temos ~U ·~a = 0. Portanto, no RMC, em que ~U →RIMC=
(1, 0, 0, 0), temos ~a→RIMC (0, a1, a2, a3). No referencial de repouso da part́ıcula, a quadri-aceleração
é um vetor puramente espacial.
6.19.2.1 Reflexão
Já vimos que a Relatividade Especial não tem nenhuma dificuldade em descrever o movimento
acelerado, mas que a noção de “referencial acelerado”, ou “sistema de coordenadas de um observador
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acelerado” apresenta algumas sutilezas e nem sempre faz sentido. O exemplo acima ilustra esse
ponto. Se existisse um sistema de coordenadas natural associado a um observador acelerado, seria
de se esperar que as coordenadas de qualquer evento pudessem ser determinadas pelo observador
mandando e recebendo sinais de luz. Mas da figura acima vemos que eventos em 1/4 do espaço-
tempo (Zona III) não podem nem enviar sinais de luz nem receber sinais de luz do observador
representado. Além disso, a Zona II não pode mandar sinais ao observador e a Zona III não pode
receber sinais do observador. Então é dif́ıcil imaginar como um observador acelerado pode definir
de forma natural um sistema de coordenadas que cubra eventos sem nenhuma conexão causal com
ele. Problemas semelhantes acontecem para um observador inercial que acelera por um peŕıodo
curto de tempo até chegar a uma certa velocidade, e com ela permanece dali pra frente (ver figura
abaixo). O sistema de coordenadas “natural” para esse observador não cobre certas regiões do
espaço-tempo, ao passo que cobre redundantemente outras.
A conclusão é que, emborapossamos definir um sistema de coordenadas perfeitamente bom nas
vizinhanças de uma linha de mundo qualquer, em geral esse sistema de coordenadas não pode ser
estendido de forma natural para cobrir todo o espaço-tempo. Vamos discutir mais sobre isso mais
à frente!
Para se aprofundar: Muito mais sobre observadores acelerados no caṕıtulo 6 do Gravitation!
6.19.3 Quadri-momento
Vamos definir o quadri-momento como
~p = m~U, (6.13)
onde m é a massa, ou “massa de repouso”, da part́ıcula. Da discussão anterior, temos que ~p →O
γ(mc,mv) = (E/c, p1, p2, p3). A primeira componente do quadrimomento é a generalização da
noção de energia para RE:
E ≡ mc
2√
1− v2/c2
≈ mc2 + 1
2
mv2 + · · · .
É a soma da chamada “energia de repouso” (mc2) com a energia cinética Galileana mv2/2 e outras
correções. As componentes espaciais do quadrimomento equivalem à noção usual de momento.
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Por que a definição (6.13) é uma definição boa ou “correta” de energia e momento em Relatividade
Especial? Uma das principais virtudes da definição usual de momento e energia é que essas quanti-
dades são conservadas em certas condições. No entanto, a noção usual de momento, p = mv, não
é invariante por transformações de Lorentz. Em particular, isso significa que, se o momento total
é conservado num certo processo (digamos, uma colisão) num referencial O, ele não será conser-
vado em outro referencial inercial O′. Por outro lado, se o quadri-momento é conservado em um
referencial inercial, será conservado em qualquer outro. E de fato verifica-se experimentalmente
(e de forma rotineira, em aceleradores de part́ıculas) que a energia e momento assim definidos são
conservados em sistemas fechados (e não dissipativos).
Note que a condição ~U · ~U = −c2 implica que ~p · ~p = −E2/c2 + p2 = −m2c2, ou E2 − p2c2 = m2c4.
A massa de repouso está relacionada com a magnitude do vetor quadri-momento. Sendo assim, é
uma quantidade invariante, a mesma calculada por todos os observadores inerciais15.
6.19.4 Fótons
Para um fóton, ds2 = 0. O tempo próprio não pode ser definido! Consequentemente, não conse-
guimos definir uma quadrivelocidade. Fisicamente, isso está associado ao fato de não existir um
referencial inercial em que a luz esteja em repouso (ela se move com velocidade c em todos os
referenciais!). No entanto, ainda faz todo sentido falarmos em um vetor tangente à linha de mundo
do fóton, só não conseguimos exigir que esse vetor seja normalizado.
Note que a definição de momento ainda faz sentido e o fato de que ~p · ~p = 0 só reflete o fato de
fótons terem massa nula. Para um fóton, E = pc. (Da Mecânica Quântica, E = hν.)
6.20 Mecânica relativ́ıstica
Vale a pena parar um pouco para lembrar o nosso objetivo. Nós partimos do postulado da relativi-
dade, que diz que as leis da f́ısica são as mesmas em todos os referenciais inerciais, e do postulado
da invariância da velocidade da luz. Como consequência, descobrimos que a lei de transformação
entre referenciais inerciais não é a transformação de Galileu, mas a de Lorentz. Mas as leis da
Mecânica Newtoniana não são invariantes sob essas transformações, e precisam ser alteradas!
Em particular, a primeira Lei de Newton será que, na ausência de forças, um corpo permanece em
repouso ou se move com velocidade constante: para ele, d~p/dτ = 0. Uma outra forma de formular
essa lei é que, na ausência de forças, a part́ıcula se move ao longo de uma curva que extremiza
(maximiza) o tempo próprio (vimos que o tempo próprio entre dois eventos é maximizado para a
linha de mundo de um observador inercial que atravessa os dois eventos).
O objetivo da “mecânica relativ́ıstica” é introduzir a generalização da segunda lei de Newton,
F = ma. Essa nova lei deve: (a) satisfazer o prinćıpio da relatividade (ter a mesma forma em todos
os referenciais inerciais); (b) se reduzir a d~p/dτ = 0 quando a força é nula; (c) se reduzir a F = ma
15Repare a distinção entre quantidades invariantes e quantidades conservadas: a massa de repouso é invariante,
mas não é uma quantidade conservada; a energia é conservada mas não é uma quantidade invariante.
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em qualquer referencial inercial se a velocidade da part́ıcula é muito menor que a velocidade da
luz. A escolha natural é
~f =
d~p
dτ
.
Aqui, ~f é a quadri-força. A exigência (a) é satisfeita porque é uma equação vetorial; (b) é imedi-
atamente satisfeita e (c) depende de uma escolha apropriada de ~f . Essa expressão, assim como a
forma não-relativ́ıstica da segunda lei de Newton, não é derivável de hipóteses mais fundamentais,
mas postulada, e precisa ser testada experimentalmente.
Note que as quatro equações impĺıcitas na expressão acima (para as quatro componentes num dado
referencial) não são todas independentes, devido à condição de normalização da quadri-velocidade:
~f · ~p = 0. A componente temporal da quadri-força está relacionada à potência: f0 = (1/c)dE/dτ .
A condição de ortogonalidade entre ~f e ~p implica que dE/dτ = f · v, que generaliza a expressão
conhecida para a potência.
Exemplo: Limite de GZK: Um exemplo interessante é dado pelo limite GZK, que se relaciona
com a passagem de um raio cósmico de alt́ıssima energia pelo espaço interestelar. Como vamos
discutir mais à frente, o espaço interestelar é permeado por radiação na faixa de microondas, a
chamada radiação cósmica de fundo (CMB, em inglês). Uma das interações entre um raio cósmico
(digamos, um próton) e um fóton do CMB é
p+ γ → n+ π+.
A pergunta é: qual é a energia mı́nima que o próton precisa possuir (no referencial do CMB)
para que esse processo seja posśıvel? Essa pergunta é importante porque, se esse processo for
posśıvel, prótons com energia maior do que essa não poderão nos alcançar, pois a probabilidade
de interagirem com um fóton do CMB será alt́ıssima. O nosso input é a energia dos fótons no
referencial do CMB: ECMBγ ≈ 6× 10−4eV 16, além das massas de todas as part́ıculas envolvidas: .
O quadri-momento total é conservado: ~pγ +~pp = ~pn+~pπ. Vamos considerar a colisão no referencial
do centro de massa, ou centro de momento (RCM). Esse é o referencial no qual
∑
(i) ~p(i) →RCM
(Etotal, 0, 0, 0), ou seja, o tri-momento total é nulo. No referencial do CM, a energia mı́nima para
se criar essas part́ıculas é tal que Etotal = E
CM
n + E
CM
π = mn + mπ: a energia das part́ıculas
produzidas é puramente energia de repouso (elas estão em repouso no referencial do CM).
Aqui temos uma situação que ocorre frequentemente: temos uma condição válida para os produtos
no referencial do CM, e uma condição para as part́ıculas iniciais no referencial do CMB. A chave
para usar facilmente todas essas informações é basear o cálculo em quantidades invariantes. Temos
que:
(~pγ + ~pp)
2 = (~pn + ~pπ)
2
(~pγ)
2 + (~pp)
2 + 2~pγ · ~pp = −(mn +mπ)2c2
−m2pc2 + 2~pγ · ~pp = −(mn +mπ)2c2
Agora, ~pγ · ~pp = −EpEγ/c2 + pp · pγ ≈ −2EpEγ/c2, onde assumimos uma colisão frontal e que o
próton é ultrarrelativ́ıstico (eles terão um fator de Lorentz de γ ∼ 1011!), de modo que |pp| ≈ Ep/c.
16Essa energia é da ordem de kBT , onde a temperatura dos fótons do CMB é de aproximadamente 3K.
Inserindo na expressão acima, obtemos:
Ep =
(mnc
2 +mπc
2)2 − (mpc2)2
4Eγ
≈ 3× 1020eV.
Acima dessa energia, prótons vindo de galáxias mais distantes inevitavelmente colidirão com part́ıculas
do CMB. De fato, observa-se experimentalmente uma severa diminuição do fluxo de raios cósmicos
para energias mais altas que essa!
Para mais detalhes: Ver Box 5.1 na página 94 do Hartle ou http://www.hep.shef.ac.uk/edaw/
PHY206/Site/2012_course_files/phy206rlec5.pdf.
6.21 Observáveis e observadores
Uma boa teoria precisa (i) listar os observáveis, (ii) prescrever como medi-los e (iii) estabelecer
relações entre eles (as “leis da f́ısica”). Esses observáveis dependerão em geral do(a) estado do
sistema e (b) do observador que faz a medida. A Relatividade mostrou como (b) é importante. Hoje
sabemos que até mesmo o conceito de part́ıcula elementar depende do observador!
As leis da F́ısica não devem depender do observador, embora os observáveis possam. Ainda assim,
os “observáveis” devem ser quantidades que todos os observadores inerciais concordem. Se eu jogo
uma moeda e obtenho cara, todos os observadores vão concordar comigo. Vamos tomar o exemplo
do observável “energia”. É verdade que todos os observadores concordam em qual é a energia
medida por um dado observador? Sim! Eles não concordam com a “energia da part́ıcula”, mas
concordam em qual é a energia medida por um certo observador. Uma forma de ver isso claramente
é a seguinte. Seja uma part́ıcula com quadri-momento ~p e um observador com quadrivelocidade
~Uobs. Temos que ~p · ~Uobs = ~p · ~e0̄, onde ~e0̄ é um vetor de base no referencial do observador. Mas
nesse referencial o quadrimomento é dado por ~p = Ē~e0̄ + p
ī~eī. Portanto,
Ē = −~p · ~Uobs.
Qual é a vantagem de escrever dessa forma? O lado direito é uma quantidade invariante (por ser
formado por vetores e produto escalar). Logo, o lado esquerdo também!
Esse exemplo leva à interpretação da base ~eα como a base “carregada” por um observador, e
que define seu “laboratório”. Exemplo: calcular a base ortonormal associada ao observador com
aceleração constante (exemplo 5.7 do Hartle). A decomposição de vetores espaço-temporais em
seus conteúdos de tempo e espaço, energia e momento, carga e corrente, etc., é feita projetando os
quadri-vetores que representam essas quantidades na base ortonormal.
6-8
http://www.hep.shef.ac.uk/edaw/PHY206/Site/2012_course_files/phy206rlec5.pdf
http://www.hep.shef.ac.uk/edaw/PHY206/Site/2012_course_files/phy206rlec5.pdf
	Vetor tangente
	Quadri-velocidade e quadri-momento
	Quadri-velocidade
	Quadri-aceleração
	Reflexão
	Quadri-momento
	Fótons
	Mecânica relativística
	Observáveis e observadores