AVA 02 - Calculo Vetorial

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PÚBLICA 
 
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
Engenharia de Produção EAD 
 
 
 
 
Aluna: Camilla Cléres Vidal 
Matrícula: 1230107646 
Disciplina: Cálculo Vetorial e Geometria Analítica (IL10010) 
Tutor: Orlando Sodré Gomes 
 
 
 
 
TRABALHO DA DISCIPLINA [AVA 2] 
 
 
 
 
Rio de Janeiro/RJ 
 2023 
 
PÚBLICA 
1. ENUNCIADO E QUESTÕES: 
Reta 
A reta é o suporte geométrico de várias construções, como as trajetórias lineares, por exemplo, que 
podem então ser representadas por equações de retas. Reconhecendo estas aplicações, podemos 
utilizá-las para resolver um tipo de problema recorrente que trata do instante em que dois móveis se 
encontram. 
Um caminhão parte às 6 horas da manhã, da cidade A para a cidade B, viajando a uma velocidade 
média de 50km/h e ao meio-dia chega à cidade B. Um automóvel parte da cidade B às 8 horas da 
manhã desse dia e, viajando com velocidade constante pela mesma estrada, chega à cidade A também 
ao meio-dia. Em que momento o caminhão e o automóvel cruzaram-se na estrada? 
Represente no plano cartesiano, as trajetórias dos veículos, por meio de retas, posicionando a cidade 
A na origem dos eixos; e represente as retas por meio de algum dos tipos de equações estudadas, 
nesta unidade. Você pode usar um papel quadriculado para representar no eixo cartesiano, e os 
cálculos devem ser digitados. 
Determine algebricamente o ponto onde os veículos se encontram. 
Elabore a representação da resolução no GeoGebra, explicitando as trajetórias do carro e do caminhão, 
por meio de retas, seus vetores diretores e pelo ponto de encontro. Salve o arquivo. 
Copie uma imagem da sua tela de solução no GeoGebra,e cole no arquivo em que constam os cálculos 
necessários às questões 1 e 2, contendo as informações solicitadas, nesta questão. 
Faça todos os cálculos necessários para responder em que instante os veículos se encontram e redija 
a resposta final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÕES E MEMÓRIA DE CÁLCULOS: 
 
2.2. DISTÂNCIA ENTRE A CIDADE A E A CIDADE B: 
A Grandeza Vetorial responsável por medir a distância percorrida em um determinado espaço de tempo 
é a Velocidade. Portanto, para calcularmos a distância entre a Cidade A e a Cidade B, mediante dados 
apontados pelo enunciado da questão, deve-se utilizar a fórmula abaixo: 
 
Onde: 
Vm = velocidade média (k/h); 
∆S = deslocamento (km); 
∆T = intervalo de tempo (h); 
 
CAMINHÃO 
 
Saída de A = 6h 
Velocidade Média = 50km/h 
Chegada em B = 12h 
 
∆T = 12 – 6 = 6 
Vm = 50 
50 = ∆S/6 
∆S = 50*6 
∆S = 300 
 
Resultado: Distância entre a Cidade A e a Cidade B = 300km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3. VELOCIDADE DO AUTOMÓVEL COM PARTIDA PELA CIDADE B 
 
De acordo com os dados do Automóvel: 
AUTOMÓVEL 
 
Saída de B = 8h 
Chegada em A = 12h 
Velocidade = ? 
 
A fórmula abaixo representa a maneira de se calcular sua velocidade: 
 
Onde: 
V = velocidade (k/h) 
∆S = 300km (Calculado no Item 3.1) 
∆T = 12 – 8 = 4 
 
Deste modo, teremos: 
V = 300 / 4 
V = 75 
 
Resultado: Velocidade do automóvel = 75 km/h. 
 
2.4. LOCALIZAÇÃO DO CAMINHÃO AS 8 HORAS: 
Para que possamos calcular o momento de encontro dos veículos, precisamos saber onde está o 
Caminhão no instante em que o Automóvel parte da Cidade B. 
 
Sendo: 
V = 50km/h 
∆T = 8 – 6 = 2 (diferença de tempo do horário de partida dos veículos) 
∆S = Localização do Caminhão duas horas após sua partida. 
 
 
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Portanto, encontramos: 
50 = ∆S / 2 
∆S = 100 
 
Resultado: Às 8 horas da manhã, o Caminhão está a 100km de distância do seu ponto de partida 
(Cidade A). Ou seja, como a distância entre as cidades é de 300km, o Caminhão está a 200 km de 
distância do seu ponto de destino (Cidade B). 
 
2.5. MOMENTO EM QUE O CAMINHÃO E O AUTOMÓVEL SE CRUZAM NA ESTRADA 
Separando um intervalo de tempo, dadas as velocidades distintas utilizadas pelo Automóvel e pelo 
Caminhão, temos: 
 
Tempo Caminhão Tempo Automóvel 
Va = ∆Sa / ta 
50 = a / ta 
A = 50ta 
Vb = ∆Sb / tb 
75 = b / tb 
B = 75tb 
 
Onde: 
Va = Velocidade do Caminhão 
∆Sa = Deslocamento do Caminhão 
ta = Tempo do Caminhão 
 
Vb = Velocidade do Automóvel 
∆Sb = Deslocamento do Automóvel 
tb = Tempo do Automóvel 
 
Igualando as equações, podemos encontrar o momento em que se cruzam. 
Distância total a ser percorrida: A + B = 300km 
50ta + 75tb = 300 
Nota: Considerando que o Automóvel saiu da Cidade B duas horas após a saída do Caminhão da 
Cidade A, podemos concluir que: 
Tempo de A (ta) = Tempo de B (tb) + 2 
 
 
 
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Portanto: 
50 * (tb + 2) + 75tb = 300 
(50 * tb) + (50 * 2) + 75tb = 300 
50tb + 100 + 75tb = 300 
125tb = 300 -100 
125tb = 200 
tb = 200 / 125 
tb= 1,6 
 
Observação: Outra maneira de chegarmos a esta mesma conclusão é utilizando os dados do 
enunciado e os dados já calculados, igualando as equações da seguinte maneira: 
8 horas da manhã 
Caminhão Automóvel 
S = 100 + 50t S = 300 - 75t 
 
100 + 50t = 300 – 75t 
50t + 75t = 300 – 100 
125t = 200 
t = 200/125 
t = 1,6 
 
Convertendo os resultados encontrados (t = 1,6), para acharmos o valor em horas, temos: 
1h = 60 minutos 
0,6 = X minutos 
X = (60 * 0,6)/1 
X = 36 minutos. 
Ou seja: 
Tempo convertido = 1 horas e 36 minutos. 
 
Resposta: Como o Automóvel saiu às 8 horas, devemos considerar que ele cruzará com o caminhão 
na estrada às 9 horas e 36 minutos. Ou seja, uma hora e trinta e seis minutos após a sua saída da 
Cidade B para a Cidade A. 
 
 
 
 
 
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2.6. DISTÂNCIA QUE OS VEÍCULOS PERCORRERAM ATÉ O MOMENTO EM QUE SE CRUZARAM: 
 
Para calcularmos a distância percorrida por cada veículo até o momento de se cruzarem, utilizamos a 
fórmula para cálculo da Função Horária do Movimento Uniforme: 
 
S = So + Vt 
 
Onde: 
S = posição do veículo em um determinado tempo (km) 
So = posição inicial do movimento (km) 
V = velocidade (k/h) 
t = intervalo de tempo (h) 
 
Caminhão Automóvel 
S = 100 + 50 * 1,6 
S = 180 km 
S = 0 +75 * 1,6 
S = 120 km 
 
Resposta: No momento em que se cruzaram, às 9:36h, o caminhão havia percorrido 180km e o 
automóvel havia percorrido 120km. 
 
2.7. SOLUÇÃO NO GEOGEBRA: 
 
 
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Onde: 
PV1 = Partida do Caminhão da Cidade A para a Cidade B 
V1 = Localização do Caminhão quando o Automóvel parte da Cidade B para a Cidade A 
CV1 = Chegada do Caminhão na Cidade B 
PV2 = Partida do Automóvel da Cidade B para a Cidade A 
CV2 = Chegada do Automóvel na Cidade A 
PE = Ponto de Encontro dos Veículos 
 
3. CONCLUSÃO: 
 
A partir da elaboração dos cálculos realizados conclui-se que, os veículos se cruzam as 9 horas e 36 
minutos, aos 180km da estrada, em relação a Cidade A (Ponto Inicial). 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
GOUVEA, Rosimar. Velocidade Média. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: 
https://www.todamateria.com.br/velocidade-media/. Acesso em: 13 jun. 2023 
 
ELIAS, Kauane. Função Horária da Posição. Estratégia Vestibulares, [s.d.]. 
https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/fisica/funcao-horaria-da-posicao/. Acesso em: 
13 jun. 2023 
 
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. – 2ª. ed. – São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014. Cap. 5 - 6. 
https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/fisica/funcao-horaria-da-posicao/