problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (620)

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15.5 Miscelánea de números complejos (1)
⇔ |w1|2
(
1− |w2|2
)
< 1− |w2|2 ⇔︸︷︷︸
1−|w2|2<0
|w1|2 > 0,
y la última desigualdad es por hipótesis.
2. Usando conocidas propiedades del módulo,∣∣(1 + i)z3 + iz∣∣ ≤ ∣∣(1 + i)z3∣∣+ |iz| = |1 + i| |z|3 + |i| |z|
<
√
2 · 1
8
+ 1 · 1
2
=
√
2 + 4
8
<
2 + 4
8
=
3
4
.
3. Llamemos H =
(
n
1
)
senx+
(
n
2
)
sen 2x+ · · ·+
(
n
n
)
sennx. Entonces,
S + iH = 1 +
(
n
1
)
(cosx+ i senx) +
(
n
2
)
(cos 2x+ i sen 2x)
+ . . .+
(
n
n
)
(cosnx+ i sennx)
=
(
n
0
)
1n +
(
n
1
)
1n−1(cosx+ i senx) +
(
n
2
)
1n−2(cosx+ i senx)2
+ . . .+
(
n
n
)
(cosx+ i senx)n = (1 + cosx+ senx)n .
Usando la conocidas fórmulas de trigonometŕıa
cos2
x
2
=
1 + cosx
2
, senx = 2 sen
x
2
cos
x
2
,
podemos expresar
S + iH =
(
2 cos2
x
2
+ 2i sen
x
2
cos
x
2
)n
[
2 cos
x
2
(
cos
x
2
+ i sen
x
2
)]n
= 2n cosn
x
2
(
cos
x
2
+ i sen
x
2
)n
= 2n cosn
x
2
(
cos
nx
2
+ i sen
nx
2
)
.
Igualando partes reales obtenemos
S = 2n cosn
x
2
cos
nx
2
.
4. Las ráıces enésimas de la unidad son
wj = cos
2jπ
n
+ i sen
2jπ
n
, (j = 0, 1, 2, . . . , n− 1).