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15.5 Miscelánea de números complejos (1) ⇔ |w1|2 ( 1− |w2|2 ) < 1− |w2|2 ⇔︸︷︷︸ 1−|w2|2<0 |w1|2 > 0, y la última desigualdad es por hipótesis. 2. Usando conocidas propiedades del módulo,∣∣(1 + i)z3 + iz∣∣ ≤ ∣∣(1 + i)z3∣∣+ |iz| = |1 + i| |z|3 + |i| |z| < √ 2 · 1 8 + 1 · 1 2 = √ 2 + 4 8 < 2 + 4 8 = 3 4 . 3. Llamemos H = ( n 1 ) senx+ ( n 2 ) sen 2x+ · · ·+ ( n n ) sennx. Entonces, S + iH = 1 + ( n 1 ) (cosx+ i senx) + ( n 2 ) (cos 2x+ i sen 2x) + . . .+ ( n n ) (cosnx+ i sennx) = ( n 0 ) 1n + ( n 1 ) 1n−1(cosx+ i senx) + ( n 2 ) 1n−2(cosx+ i senx)2 + . . .+ ( n n ) (cosx+ i senx)n = (1 + cosx+ senx)n . Usando la conocidas fórmulas de trigonometŕıa cos2 x 2 = 1 + cosx 2 , senx = 2 sen x 2 cos x 2 , podemos expresar S + iH = ( 2 cos2 x 2 + 2i sen x 2 cos x 2 )n [ 2 cos x 2 ( cos x 2 + i sen x 2 )]n = 2n cosn x 2 ( cos x 2 + i sen x 2 )n = 2n cosn x 2 ( cos nx 2 + i sen nx 2 ) . Igualando partes reales obtenemos S = 2n cosn x 2 cos nx 2 . 4. Las ráıces enésimas de la unidad son wj = cos 2jπ n + i sen 2jπ n , (j = 0, 1, 2, . . . , n− 1).
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