problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (625)

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Caṕıtulo 15. Álgebra de los números complejos
4. Tenemos (x+ iy)3 = x3 + 3ix2y − 3xy2 − iy3 Entonces,
(x+ iy)3 es real ⇔ 3x2y − y3 = 0⇔ y(3x2 − y2) = 0
⇔ y = 0 ∨ 3x2 − y2 = 0⇔ y = 0 ∨ y2 = 3x2 ⇔ y = 0 ∨ y = ±
√
3x.
Si y = 0, entonces
|x+ iy| > 8⇔ x2 > 64⇔ |x| > 8.
Si y = ±
√
3x, entonces
|x+ iy| > 8⇔ x2 + 3x2 > 64⇔ x2 > 16⇔ |x| > 4.
El conjunto S pedido es por tanto
S = {(x, 0) : |x| > 8} ∪ {(x,±
√
3x) : |x| > 4}.
5. Tenemos z = x + iy, z = x − iy. Sumando y restando estas igualdades
obtenemos
x =
z + z
2
, y =
z − z
2i
.
Sustituyendo en la ecuación de C y usando que x2 + y2 = zz,
C : zz + 2
(
z + z
2
)
+ 2
(
z − z
2i
)
= 0,
C : zz + (1− i)z + (1 + i)z = 0.
6. a) Los valores del módulo y el argumento de z′ son∣∣z′∣∣ = |z| |cos θ + i sen θ| = |z| (cos2 θ + sen2 θ) = |z| · 1 = |z| ,
arg z′ = arg (z (cos θ + i sen θ)) = (arg z) + θ,
lo cual prueba el resultado.
b) Si z′ = x′ + y′i con x′, y′ reales:
x′ + iy′ = (x+ yi) (cos θ + i sen θ)
= (x cos θ − y sen θ) + (x sen θ + y cos θ)i.
La ecuación matricial del giro es por tanto[
x′
y′
]
=
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
] [
x
y
]
.
7. Tenemos
|z + w| = |z − w| ⇔ |z + w|2 = |z − w|2