Questão resolvida - Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) (3x-2) no ponto (3,5). ... - Cálculo I - Universidade Estácio de Sá

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• Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto f x =( ) 3x² - 2 3, 5 .( )
 
 a) □ y = 2x - 5
 
 b) ⬛ 5y - 9x + 2 = 0
 
 c) □ 3x + 10y - 4 = 0
 
 d) □ y = -5x + 9
 
Resolução:
 
A reta tangente a uma curva é dada por: 
 
y = f' x x + b( 0)
 
 é o coeficiente angular da reta tangente no ponto, sendo a coordenada do ponto f' x( 0) x0 x
dado. Vamos, então, encontrar a derivada da função;
 
f' x = 3x 3x² - 2 f' x = f' x =( ) ( )
-
1
2 → ( )
3x
3x² - 2( )
1
2
→ ( )
3x
3x² - 2
 
em x = 3 f' 3 = = = =→ ( )
3 ⋅ 3
3 3 ² - 2( )
9
3 ⋅ 9 - 2
9
27 - 2
9
25
 
f' 3 =( )
9
5
 
 
f x = = 3x² - 2 f' x = 3x² - 2 f' x = 3x² - 2 ⋅ 2 ⋅ 3( ) 3x² - 2 ( )
1
2 → ( )
1
2
( )
-1
1
2
→ ( )
1
2
( )
1 - 2
2
(1)
Tendo o valor da derivada no ponto, susbtituindo na equação , temos que a "cara" da reta 1
tangente é;
 
y = x + b
9
5
 
 Agora, usamos o ponto para encontrar o coeficiente linear ;3, 5( ) b
 
5 = ⋅ 3 + b 5 = + b 5 = = 5 27 + 5b = 5 ⋅ 5
9
5
→
27
5
→
27 + 5b
5
→
27 + 5b
5
→
 
5b = 25 - 27 5b = -2 b = b = -→ →
-2
5
→
2
5
 
Com isso, substituindo em , a reta tangente fica;2
 
y = x + - y = x -
9
5
2
5
→
9
5
2
5
 
Vamos passar a reta tangente para o formato geral, como feito a seguir;
 
y = x - y = 5y = 9x - 2
9
5
2
5
→
9x - 2
5
→
 
5y - 9x + 2 = 0
 
 
(2)
(3)
(Resposta)