Exercício de Algebra Linear (65)

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• x ∗ y = 3
√
x3 + y3 = 3
√
y3 + x3 = y ∗ x, ∀x, y ∈ �. Logo, ∗ é comutativa.
• Sejam x, y, z ∈ � três elementos genéricos.
◦ x ∗ (y ∗ z) = x ∗ 3
√
y3 + z3 =
3
√
x3 +
(
3
√
y3 + z3
)3
=
3
√
x3 + y3 + z3
◦ (x ∗ y) ∗ z = 3
√
x3 + y3 ∗ z = 3
√(
3
√
x3 + y3
)3
+ z3 = 3
√
x3 + y3 + z3
Logo, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, ou seja, a operação ∗ é associativa.
• 0∗ x = x∗0 = 3
√
x3 + 03 =
3√
x3 = x, ∀x ∈ �, logo, 0 (zero) é o elemento neutro.
• Dado x ∈ �, y = −x é tal que y ∗ x = x ∗ y = 3
√
x3 + y3 = 3
√
x3 + (−x)3 =
3√
x3 − x3 = 3
√
0 = 0 = elemento neutro. Logo, −x é o elemento inverso de x.
Os quatro itens anteriores demonstram que (G, ∗) é um grupo abeliano.
3) Verifique se H é subgrupo de G nos seguintes casos:
a) H = (� − �,+), G = (�,+)
b) H = ({2m3n5r | m, n, r ∈ �}, ·), G = (�∗, ·)
c) H =
({[
0 a
b a − b
]
| a, b ∈ �
}
,+
)
, G = (M2×2(�),+)
Solução:
a) O conjunto H é o conjunto dos números irracionais. Dados dois irracionais, por
exemplo, x = 2−
√
3 e y = 2+
√
3, temos x+ y = (2−
√
3)+ (2+
√
3) = 4 < H.
Logo, o conjunto dos irracionais não é fechado para a adição de números reais
e, consequentemente, não formam um subgrupo de �.
b) Escolhendo m = n = r = 0, temos x = 203050 = 1 ∈ H ⇒ H , ∅. Sejam
a, b ∈ H. Existem m1, n1, r1,m2, n2, r2 ∈ � tais que a = 2m13n15r1 e b = 2m23n25r2
⇒ a · b−1 = 2m13n15r12−m23−n25−r2 = 2m1−m23n1−n25r1−r2 ∈ H. Logo, H é um
subgrupo de G.
c) Escolhendo a = b = 0, temos que
[
0 0
0 0
]
∈ H ⇒ H , ∅. Sejam X, Y ∈
H. Existem a, b, c, d ∈ � tais que X =
[
0 a
b a − b
]
Y =
[
0 c
d c − d
]
. Como
X + (−Y) = X − Y =
[
0 a − c
b − d (a − c) − (b − d)
]
∈ H, temos que H é um
subgrupo de G.
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