Exercício de Algebra Linear (35)

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• Para quaisquer aN, bN ∈ G/N, φ((aN)(bN)) = φ((ab)N) = (ab)H = (aH)(bH) =
φ(aN)φ(bN). Logo, φ é um homomorfismo de grupos.
• Vamos calcular o núcleo de φ. Se aN ∈ G/N for tal que φ(aN) = H = elemento
neutro de G/H ⇒ aH = H ⇒ a ∈ H. Logo, N(φ) = {aN | a ∈ H} = H/N.
• Dado aH ∈ G/H = contradomı́nio de φ, considerando aN ∈ G/N = domı́nio
de φ, temos que φ(aN) = aH. Logo, φ é uma função sobrejetora.
Usando o Teorema do Homomorfismo para a função φ, temos que G/NN(φ) ≃ Im(φ) o
que implica
G/N
H/N
≃ G/H.
Observação. O grupo-quociente G/N também pode ser denotado na forma GN .
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