AD2-MDI-Q2-2023-1-Gabarito

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Gabarito da Questão 2 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2023-1
Questão 2 (2,5 pontos)
Um fazendeiro irá cercar um pasto retangular, dispondo para isso de 40m de cerca, que poderá
distribuir livremente entre os lados do pasto.
(a) Determine as medidas do pasto para o qual a área cercada é de 75m2 .
(b) Determine todas as medidas posśıveis para que o pasto tenha área cercada maior ou igual a
75m2 . Atenção, você não poderá listar todas as medidas posśıveis, já que são infinitas, pois
as medidas não precisam ser inteiras; assim, recomendamos utilizar a notação de intervalos ou
desigualdades (<,≤, >,≥).
(c) Determine todas as medidas posśıveis para as quais a área cercada seja de pelo menos 100m2 .
Quantos valores você encontrou?
(d) Qual é a maior área que pode ser cercada por tal pasto?
Dica: Uma boa forma de proceder é chamar de x a medida de um dos lados, observando que o
pasto é retangular.
Solução:
(a) Vamos chamar de x uma das dimensões do pasto. Note que serão dois lados com esta medida.
Chamando de y a outra dimensão do pasto, como mostra a figura acima, teremos
2x+ 2y = 40⇔ 2y = 40− 2x⇔ y = 40− 2x
2
= 20− x.
A área do pasto será dada, portanto, por
A = xy = x(20− x) = 20x− x2.
Para que a área seja 75m2 , devemos ter
A = 75⇔ 20x− x2 = 75⇔ −x2 + 20x− 75 = 0
o que ocorre para
x =
−20±
√
202 − 4 · (−1) · (−75)
−2
=
−20±
√
100
−2
=
−20± 10
−2
⇔
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⇔ x = −30
−2
= 15 ou x =
−10
−2
= 5.
Assim, a área de 75m2 é obtida quando o x = 5 ou x = 10, resultando, respectivamente, em
y = 20− 5 = 15 ou y = 20− 15 = 5. Ou seja, esta área é dada por um pasto de 5m por 15m,
em qualquer uma das possibilidades mostradas abaixo:
(b) Queremos que A ≥ 75. Como
A ≥ 75⇔ 20x− x2 ≥ 75⇔ −x2 + 20x− 75 ≥ 0.
Vimos no item (a) a igualdade é verificada para x = 5 e x = 15. Portanto temos a forma
fatorada da desigualdade que estamos resolvendo:
−1 · (x− 5)(x− 15) ≥ 0
Estudando os sinais de cada fator, temos
(−∞, 5) 5 (5, 15) 15 (15,+∞)
x− 5 − 0 + + +
x− 15 − − − 0 +
−1 − − − − −
−1 · (x− 5)(x− 15) − 0 + 0 −
Portanto, os valores de x que satisfazem −1 · (x − 5)(x − 15) ≥ 0 são x ∈ [5, 15]. Note que,
para x = 5 ou x = 15, temos a igualdade, que também é buscada na resposta, já que queremos
a área maior ou igual a 75m2 .
(c) Para a área ser pelo menos 100m2 , devemos ter
A ≥ 100⇔ 20x− x2 ≥ 100⇔ −x2 + 20x− 100 ≥ 0.
A igualdade ocorre quando
x =
−20±
√
202 − 4 · (−1) · (−100)
−2
⇔ x = −20±
√
0
−2
⇔ x = 10.
Assim, temos apenas x = 10 como raiz e, portanto,
−x2 + 20x− 100 ≥ 0⇔ −(x− 10)2 ≥ 0.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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Note que (x− 10)2 será sempre positivo ou zero, portanto −(x− 10)2 será sempre negativo ou
0. Assim, −(x− 10)2 ≥ 0 só ocorrerá quando −(x− 10)2 for igual a 0 e, portanto x− 10 = 0,
que equivale a x = 10. Note que isto nos dará também y = 20 − 10 = 10, ou seja, um pasto
quadrado de 10m por 10m.
Assim, a área é de pelo menos 100m2 somente quando x = 10. Note que, neste caso, a área
será exatamente igual a 100m2 .
(d) No resolução do item anterior, vimos que a área pode ser igual a 100m2 quando x = 10 e que
não pode jamais ser maior que 100m2 . Assim, a maior área que pode ser cercada é de 100m2 ,
com x = 10.
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