Eng_Producao_P9-1_gabarito_r1

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avaliação presencial
Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando em cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. Evite escrever 
no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova!
ra:
curso: Engenharia de Produção bimestre:  11o bimestre data:  / /2017
EXAMEpolo: mediador  responsável: grupo (dia da semana,  período, no):
nome: ra:
Avaliação Presencial 12017
disciplina Economia II nOTa (0-10):
Leia atentamente todas as questões.
É permitido o uso de calculadora.
questão 1 (3,0 pontos)
Suponha que uma empresa competitiva apresente 
uma função de custo total C(q) = 100 + 5q + q2 e uma 
função de custo marginal CMg(q) = 5 + 2q. Se o preço 
de mercado (P) é $ 45 por unidade, responda:
a. (1 ponto) Qual o nível de produção da empresa (q*) 
que maximiza seus lucros? Qual seria esse nível de 
lucro (π)?
b. (1 ponto) Qual o custo fixo dessa empresa? Qual se-
ria seu custo total se o nível de produção da empre-
sa fosse de 10 unidades?
c. (1 ponto) Qual o nome dado aos custos associados 
às oportunidades perdidas quando os recursos não 
são utilizados da melhor forma possível? E qual o 
nome dado aos custos em que a empresa incorre 
referentes a despesas realizadas que não podem 
ser diretamente recuperadas?
questão 2 (2,0 pontos)
Considere que o preço do bem A seja $ 5 e o preço do 
bem B seja $ 8. Um consumidor gasta toda sua renda 
disponível, de $ 60, na compra destes bens. Com base 
nisso, responda:
a. (1 ponto) O que ocorreria com o poder aquisitivo 
desse consumidor se os preços de ambos os bens 
duplicassem, mantida inalterada sua renda?
b. (1 ponto) O que ocorreria com o poder aquisitivo 
desse consumidor se junto à duplicação dos preços 
também ocorresse um aumento de sua renda na 
mesma proporção?
questão 3 (2,0 pontos)
Atribua às seguintes afirmações (V) quando verdadeira 
ou (F) quando falsa:
( ) a. (1 ponto) No curto prazo, há pelo menos um fa-
tor de produção fixo. Já no longo prazo, todos os 
fatores de produção são variáveis.
( ) b. (1 ponto) Dentre as principais motivações das 
empresas para internacionalização estão a bus-
ca por recursos (como mão de obra, recursos 
naturais etc.), mercados em expansão, eficiên-
cia produtiva e ativos estratégicos em outros 
países. A partir dos movimentos de “fragmenta-
ção” e “deslocalização” geográfica da produção, 
deu-se a formação de cadeias globais de valor, 
caracterizadas por empresas cada vez mais inte-
gradas verticalmente.
questão 4 (3,0 pontos)
Relacione os conceitos a seguir às suas respectivas de-
nominações:
a. Efeitos indiretos de uma atividade de produção ou 
consumo sobre outras atividades não refletidos nos 
preços de mercado.
b. Situação em que o preço é determinado pelas forças 
de oferta e demanda do mercado, de tal forma que 
empresas e consumidores não conseguem influen-
ciar o preço de mercado, isto é, não possuem poder 
de mercado. Os produtos ofertados são, em geral, 
homogêneos e não há barreiras à entrada ou saída 
do mercado.
c. Situação de concorrência imperfeita, que pode se 
dar ou não pela existência de produtos diferencia-
dos. Há, em geral, elevadas barreiras à entrada no 
mercado que permitem às poucas empresas atuan-
tes obter lucros substanciais mesmo no longo prazo.
d. Situação em que alguns ou todos os ofertantes de 
um setor fazem coalizões explícitas e coordenam 
preços e níveis de produção para maximizar seus 
lucros conjuntos.
e. Situação de concorrência imperfeita, em que as em-
presas concorrem por meio da venda de produtos 
diferenciados, porém altamente substituíveis uns 
pelos outros. Há, em geral, grande facilidade para 
entrada ou saída de empresas do mercado e baixo 
poder de monopólio das empresas atuantes.
f. Situação em que, devido a informações assimétri-
cas, produtos de qualidades distintas são vendidos 
a um preço único, resultando em diversos produtos 
de baixa qualidade e poucos de alta qualidade ven-
didos no mercado.
2 Avaliação Presencial 2017
( ) 1. Mercados competitivos
( ) 2. Concorrência monopolística
( ) 3. Seleção adversa
( ) 4. Externalidades
( ) 5. Cartel
( ) 6. Concorrência em oligopólios
disciplina Modelagem e Simulação nOTa (0-10):
questão 1 (2,0 pontos)
Para a Cadeia de Markov dada a seguir:










=
1,5,4,
07,3,
2.,8,0
1P
a. Determine seu grafo.
b. Se é ou não ergódica e justifique. 
questão 2 (2,0 pontos)
Para a Cadeia de Markov determine as probabilidades 
de estado estacionário.






8,02,0
1,09,0
 
questão 3 (4,0 pontos)
Várias obras de pavimentação têm que passar por dois 
estágios de modo que a configuração de atendimento 
de cada estágio é dado na Figura 1.
Figura 1: No primeiro estágio só existe uma máquina e 
no segundo existem duas.
O problema pode ser modelado como um sistema de 
filas em série conforme dado na Figura 2.
Figura 2: Sistema de filas em série com dois estágios.
Os dados do sistema são dados na Tabela 1.
 
 






8,02,0
1,09,0
. 
 
 
3) (4,0 pontos) Várias obras de pavimentação têm que passar por dois estágios de 
modo que a configuração de atendimento de cada estágio é dado na Figura 1. 
 
Figura 1: No primeiro estágio só existe uma máquina e no segundo existem 
duas. 
 
O problema pode ser modelado como um sistema de filas em série conforme 
dado na Figura 2. 
 
 
Figura 2: Sistema de filas em série com dois estágios. 
 
Os dados do sistema são dados na Tabela 1. 
 
Tabela 1: Parâmetros do sistema de filas em série. 
Parâmetro Valor (serviços/hora) 
λ 10 
Estágio 1: µ1 12 
Estágio 2: µ2 7 
 
Tabela 1: Parâmetros do sistema de filas em série.
a. Calcular a probabilidade de haver duas ou mais 
obras de pavimentação na fila do estágio 1.
b. Calcular o tempo médio de fila no estágio 2.
c. Em um novo modelo é considerado que existe uma 
probabilidade de haver retrabalho em cada estágio 
e no estágio 2 existe apenas 1 servidor conforme 
dados da Figura 3 e da Tabela 2.
Figura 3: Modelo novo que emprega redes de filas.
Os dados do modelo novo são fornecidos na Tabela 2.
Item (A): Calcular a probabilidade de haver duas ou mais obras de pavimentação 
na fila do estágio 1. 
 
Item (B): Calcular o tempo médio de fila no estágio 2. 
 
Item (C):Em um novo modelo é considerado que existe uma probabilidade de 
haver retrabalho em cada estágio e no estágio 2 existe apenas 1 servidor 
conforme dados da Figura 3 e da Tabela 2. 
 
Figura 3: Modelo novo que emprega redes de filas. 
 
Os dados do modelo novo são fornecidos na Tabela 2. 
 
Tabela 2: Parâmetros do sistema de filas em série. 
Estágio Parâmetro Valor (serviços/hora) 
1 r1 8 
 µ1 20 
 p12 1/2 (só %) 
2 r2 17 
 µ2 30 
 p21 1/4 (só %) 
 
 
Considerando o novo modelo, pede-se: 
 
Item (c.1): A fração de tempo que cada servidor está ocupado. 
 
Item (c.2): O tempo médio que uma peça gasta no sistema. 
 
4) (2,0 pontos) Em cada mês, um posto de combustível vende 4.000 litros de 
gasolina. A cada vez que a distribuidora reabastece os tanques do posto, custa 
Tabela 2: Parâmetros do sistema de filas em série.
Considerando o novo modelo, pede-se:
c1. A fração de tempo que cada servidor está ocupado.
c2. O tempo médio que uma peça gasta no sistema.
questão 4 (2,0 pontos)
Em cada mês, um posto de combustível vende 4.000 
litros de gasolina. A cada vez que a distribuidora rea-
bastece os tanques do posto, custa R$ 50 mais R$ 0,7 
por litro. O custo anual de armazenamento de um litro 
de gasolina é de R$ 0,3. 
a. Quão grande devem ser as ordens de compra?
b. Quanto tempo se passa entre duas ordens?
1
gabarito
disciplina Economia II nOTa (0-10):
Na correção das provas, atentar para o seguinte:
1. Pontuação de cada questão encontra-se nos res-
pectivos enunciados. Questões 1 e 4 valem 3 pontos 
cada e questões 2 e 3 valem 2 pontos cada, soman-
do 10 pontos no total.
2. Para informações específicas sobre atribuição de 
notas no caso das questões dissertativas 1 e 2, ver 
gabarito abaixo.”
questão 1 (3,0pontos)
a. (Atribuir 0,5 ponto da questão à resposta correta so-
bre o nível de produção e 0,5 ponto à resposta cor-
reta sobre o nível de lucro; caso o aluno erre o cál-
culo, mas mostre o raciocínio que levaria à resposta 
correta, atribuir metade da respectiva pontuação):
Uma empresa competitiva maximiza seus lucros 
ao nível de produção em que CMg = RMg = P. Nes-
te caso, igualando o CMg da empresa ao preço de 
mercado, CMg(q) = 5 + 2q = 45, obtém-se o nível de 
produção q* = 20.
O nível de lucro é dado por receita total menos cus-
to total, isto é, R(q) – C(q). Como R(q) = P.q = 45.20 = 
900 e C(q) = 100 + 5.20 + 202 = 600, o nível de lucro 
(π) seria igual a $ 300.
b. (Atribuir 0,5 ponto da questão à resposta correta so-
bre o custo fixo da empresa e 0,5 ponto à resposta 
correta sobre seu custo total):
Com base na função de custo total C(q) = 100 + 5q 
+ q2, tem-se que o custo fixo da empresa corres-
ponde a $ 100 (parte do custo total que não varia 
conforme varia o nível de produção q).
O custo total dessa empresa ao nível de produção q 
= 10 seria: C(q) = 100 + 5q + q2 = 100 + 5.10 + 102 = 
250. Portanto, C(10) = 250.
c. (Atribuir 0,5 ponto da questão ao nome correto do 
primeiro tipo de custo e 0,5 ponto ao segundo tipo 
de custo):
1. Custos de oportunidade.
2. Custos irreversíveis (ou irrecuperáveis).
questão 2 (2,0 pontos)
a. (Atribuir o ponto da questão às respostas que trans-
mitam de modo semelhante a ideia abaixo):
O poder aquisitivo desse consumidor se reduziria 
pela metade. Com a renda mantida inalterada, a 
duplicação de preços dos bens significaria que 
o consumidor poderia consumir agora apenas 
metade das quantidades de cada bem consumi-
das antes da mudança de preços.
b. (Atribuir o ponto da questão às respostas que trans-
mitam de modo semelhante a ideia abaixo):
O poder aquisitivo desse consumidor se mante-
ria inalterado.
Nessa situação, a duplicação de preços dos bens 
seria compensada pelo aumento da renda do 
consumidor na mesma proporção, não alterando 
as quantidades de cada bem que este consumi-
dor poderia adquirir.
questão 3 (2,0 pontos)
a. ( V )
b. ( F )
questão 4 (3,0 pontos)
1. ( B )
2. ( E )
3. ( F )
4. ( A )
5. ( D )
6. ( C )
disciplina Modelagem e Simulação nOTa (0-10):
Na correção das provas, atentar para o seguinte:
1. As respostas podem ser expressas em termos de 
fração ou casas decimais. Calculadoras podem ser 
utilizadas. 
2. As questões 1, 2 e 4 valem 2,0 pontos e a questão 3 
vale 4,0, somando 10 pontos no total.
3. A seção “Pontuação” indica precisamente qual a 
pontuação para cada resultado obtido ou proprie-
dade e/ou ideia escrita.
questão 1
A resolução desta questão é dada por:
a. Embora os valores numéricos deste item sejam di-
ferentes para cada uma das 9 provas, os elementos 
não-nulos são os mesmos. Deste modo, a topolo-
gia do grafo é a mesma, variando apenas os valores 
que devem ser inseridos em cada um dos arcos. De 
modo geral, o grafo é dado por:
2
Pontuação 
 → Cada arco correto: 0,1 (total 0,7)
 → Desenhar cada um dos 3 estados: 0,1 (total 0,3)
b. Como observado no item (a), a topologia do grafo é a 
mesma para todas as 9 provas de modo que as afir-
mativas abaixos são válidas para todas as 9 provas:
I. Todos os estados são comunicáveis, pois para 
quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e 
vice-versa. 
II. Como existem estados cujo período k = 1 e de 
acordo com (i) todos os estados são aperiódicos.
III. Em função de (i) todos os estados são recorren-
tes, pois, em função de (i) para quaisquer estados 
i e j, se existe um caminho de i para j também 
existe o caminho de j para i.
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica.
Pontuação
 → Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 
estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9).
 → Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Er-
gódica: 0,1.
questão 2
Embora para cada uma das 9 provas a matriz de tran-
sição em uma passo tem valores diferentes, o sistema 
linear a ser resolvido é dado de forma geral por:
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 →
→ 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquerestados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,2, têm-se: π1 = 2/3 e π2 = 1/3.
Pontuação 
 → Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5.
 → Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5.
 → Resolver o sistema e encontrar o valor correto de 
π1 e π2: 0,5 por valor correto.
questão 3
Nesta questão é necessário considerar:
a. Como apenas o estágio 1 é considerado, basta apli-
car o modelo M/M/1. Nesse caso, deseja-se calcular:
p(fila ≥ 2) = 1 - p(fila ≤ 1) = 1 - (π0 + π1) 
= 1 - ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2
Para esta prova: ρ = 5/6 e ρ2 = 25/36 = 0,6944 
Pontuação
 → Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5.
 → Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5.
b. Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é 
Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é 
necessário empregar o modelo M/M/s com s = 2 e ρ 
= 10/14 = 0,71:
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 10/12 e ρ2 = 25/36 = 0,69 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 10/14 = 0,71: 
 
 17,090,5
1
48,342,11
1
)71,01(!2
)71,0*2(
!1
)71,0*2(
!0
)71,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
59,017,0*48,3
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
15,0
10)7(2
59,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 10/12 e ρ2 = 25/36 = 0,69 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 10/14 = 0,71: 
 
 17,090,5
1
48,342,11
1
)71,01(!2
)71,0*2(
!1
)71,0*2(
!0
)71,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
59,017,0*48,3
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
15,0
10)7(2
59,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 10/12 e ρ2 = 25/36 = 0,69 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 10/14 = 0,71: 
 
 17,090,5
1
48,342,11
1
)71,01(!2
)71,0*2(
!1
)71,0*2(
!0
)71,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
59,017,0*48,3
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
15,0
10)7(2
59,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 10/12 e ρ2 = 25/36 = 0,69 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 10/14 = 0,71: 
 
 17,090,5
1
48,342,11
1
)71,01(!2
)71,0*2(
!1
)71,0*2(
!0
)71,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
59,017,0*48,3
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
15,0
10)7(2
59,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
= 0,15 horas
c. Pontuação
 → Calcular corretamente π0: 0,5
 → Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25
 → Calcular corretamente Wq: 0,25
d. Considerando que o modelo é de redes de filas:
c1. O cálculo da fração de tempo que cada servidor 
está ocupado é obtido com a resolução de um siste-
ma linear derivado da seguinte equação:
 , j = 1, ..., K.
Para o caso de dois estágios, têm-se:
l1 = r1 + p21l2 (1)
l2 = r2 + p12l1 (2)
Aplicando equação (2) em (1): 
l1 = r1 + p21(r2 + p12l1) → l1 - p21p12l1 = r1 + p21r2 
→ l1 - p21p12l1 = r1 + p21r2
(1 - p21p12) l1 = r1 + p21r2 → 
l1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3)
 
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 5/10 e ρ2 = 25/100 = 0,25 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 5/12 = 0,42: 
 
 41,045,2
1
61,084,01
1
)42,01(!2
)42,0*2(
!1
)42,0*2(
!0
)42,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
25,041,0*61,0
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
13,0
5)6(2
25,0)(
=
−
=
−
≥
=λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
3
Para o caso em que r1 = 8, r2 = 17, p21 = 1/4 e p12 = 1/2, 
então:
λ1 = (8 +1/4*17) / (1 - 1/2*1/4) = 
8/7*(8 + 17/4) = 14 serviços/hora
λ2 = 17 +1/2*14 = 24 serviços/hora
Como para os dois estágios existe um servidor, então, 
a ociosidade será dada por: 
π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u
Para o estágio 1: 
π0 =1 - λ1/u1 = 1 - 14/20 = 0,3
Para o estágio 2: 
π0 = 1 - λ2/u2 = 1 - 24/30 = 0,2
Pontuação
 → Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto 
cada, 0,5 no total.
 → Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto 
cada, 0,5 no total.
c2. Para calcular o tempo médio que uma peça gasta 
no sistema é necessário, antes, calcular o número 
médio de pessoas em cada estágio:
 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
 
Aplicando equação (2) em (1): 
λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 
(1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) 
 
Para o caso em que r1 = 10, r2 = 15, p21 = 1/2 e p12 = 1/4, então: 
 
λ1 = (10 +1/2*15) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(10 + 15/2) = 20 serviços/hora 
λ2 = 15 +1/4*20 = 20 serviços/hora 
 
Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada 
por: 
π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u 
 
Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 20/25 = 0,20 
Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 20/30 = 0,33 
Pontuação: 
- Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
- Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
 
Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é 
necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: 
 
)1( i
i
iL ρ
ρ
−
=
 
Do item anterior: 
 
Estágio 1: 
00,4
2,0
8,0
)8,01(
8,0
)1( 1
1
1 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
 
Estágio 2: 
00,2
3/1
3/2
)3/21(
3/2
)1( 2
2
2 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
 
O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 6,00 
 
Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: 
λ = r1 + r2 = 10 + 15 = 25 
Do item anterior:
Estágio 1: 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
 
Aplicando equação (2) em (1): 
λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 
(1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) 
 
Para o caso em que r1 = 8, r2 = 17, p21 = 1/4 e p12 = 1/2, então: 
 
λ1 = (8 +1/4*17) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(8 + 17/4) = 14 serviços/hora 
λ2 = 17 +1/2*14 = 24 serviços/hora 
 
Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada 
por: 
π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u 
 
Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 14/20 = 0,3 
Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 24/30 = 0,2 
Pontuação: 
- Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
- Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
 
Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é 
necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: 
 
)1( i
i
iL ρ
ρ
−
=
 
Do item anterior: 
 
Estágio 1: 
3/7
3,0
7,0
)7,01(
7,0
)1( 1
1
1 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
Estágio 2: 
4
2,0
8,0
)8,01(
8,0
)1( 2
2
2 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
 
O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 19/3 
 
Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: 
λ = r1 + r2 = 8 + 17 = 25 
 
Então: 
Estágio 2: 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
 
Aplicando equação (2) em (1): 
λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 
(1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) 
 
Para o caso em que r1 = 8, r2 = 17, p21 = 1/4 e p12 = 1/2, então: 
 
λ1 = (8 +1/4*17) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(8 + 17/4) = 14 serviços/hora 
λ2 = 17 +1/2*14 = 24 serviços/hora 
 
Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada 
por: 
π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u 
 
Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 14/20 = 0,3 
Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 24/30 = 0,2 
Pontuação: 
- Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
- Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
 
Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é 
necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: 
 
)1( i
i
iL ρ
ρ
−
=
 
Do item anterior: 
 
Estágio 1: 
3/7
3,0
7,0
)7,01(
7,0
)1( 1
1
1 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
Estágio 2: 
4
2,0
8,0
)8,01(
8,0
)1( 2
2
2 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
 
O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 19/3 
 
Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: 
λ = r1 + r2 = 8 + 17 = 25 
 
Então: 
O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 19/3
Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-
-se:
λ = r1 + r2 = 8 + 17 = 25
Então:
W = L / λ = 19/75 horas
Pontuação
 → Encontrar os valores corretos de Li de cada estágio: 
0,25 por cada, 0,5 no total.
 → Encontrar o valor de λ do sistema: 0,25 ponto.
 → Calcular corretamente o valor de W: 0,25 ponto.
questão 4
A resolução desta questão depende da aplicação da 
equação de Lote Econômico.
a. O tamanho do lote (ou da compra) é dado por:
 
Então: 
W = L / λ = 6/25 = 0,24 horas 
 
Pontuação: 
- Encontrar os valores corretos de Li de cada estágio: 0,25 por cada, 0,5 no total. 
- Encontrar o valor de λ do sistema: 0,25 ponto. 
- Calcular corretamente o valor de W: 0,25 ponto. 
 
 
4) A resolução desta questão depende da aplicação da equação de Lote 
Econômico. 
 
Item (a): O tamanho do lote (ou da compra) é dado por: 
 1/2
h
2KD
q* 




=
 
Para esta questão: K = 50, D = 8000 e h = 0,5. Assim, q* = 1264,91. 
 
Pontuação: 
- Identificar corretamente os valores K, D e h: 0,25 cada. 
- Calcular corretamente o valor de q*: 0,25. 
 
Item (b): O tempo entre duas ordens é dado por: q*/D. 
Para esta questão q*/D = 1265/8000 = 0,16 ano ≈ 1,9 meses. 
 
Pontuação: 
- Identificar que a razão q*/D fornece o intervalo entre duas ordens: 0,5. 
- Calcular corretamente a razão e achar o valor próximo de 3 meses: 0,5. 
 
 
Para esta questão: K = 50, D = 12 x 4000 e h = 0,3. 
Assim, q* = 4000.
Pontuação
 → Identificar corretamente os valores K, D e h: 0,25 
cada. 
 → Calcular corretamente o valor de q*: 0,25.
b. O tempo entre duas ordens é dado por: q*/D.
Para esta questão q*/D = 4000/(12 x 4000) = 0,08 ano 
≈ 1 mês = 30 dias.
Pontuação
 → Identificar que a razão q*/D fornece o intervalo en-
tre duas ordens: 0,5.
 → Calcular corretamente a razão e achar o valor próxi-
mo de ano, meses ou dia: 0,5.