Aula 5 - por substituição

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS:
SOLUÇÕES POR SUBSTITUIÇÃO
Se uma função f tiver a propriedade:
para algum número real α, então f será chamada de função
homogênea de grau α.
( ) ( ), ,f tx ty t f x yα=
Exemplo:
3 3( , )f x y x y= + → ( ) ( )3 3( , )f tx ty tx ty= + → ( )3 3 3( , )f tx ty t x y= +
( )3( , ) ,f tx ty t f x y=
2( , )f x y x xy= − →
função homogênea de grau 3
( ) ( )( )2( , )f tx ty tx tx ty= − → ( )2 2( , )f tx ty t x xy= −
( )2( , ) ,f tx ty t f x y= função homogênea de grau 2
Exemplo:
3 3( , ) 1f x y x y= + + → ( ) ( )3 3( , ) 1f tx ty tx ty= + + →
( )3 3 3( , ) 1f tx ty t x y= + + → ( )3 3 3 3( , ) 1 ( , )f tx ty t x y t f x y= + + ≠
função não homogênea
Uma E.D. de primeira ordem na forma diferencial: ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =
é homogênea se ambos as funções M e N forem homogêneas de
mesmo grau.
Ou seja: ( ) ( ), ,M tx ty t M x yα= ( ) ( ), ,N tx ty t N x yα=
Exemplo: 2 2 2( ) ( ) 0x y dx x xy dy+ + − =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
2 2 2 2
, ,
, , ,
M x y x y M tx ty tx ty
M tx ty t x y M tx ty t M x y
= + → = + →
= + → =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2
, ,
, , ,
N x y x xy N tx ty tx tx ty
N tx ty t x xy N tx ty t N x y
= − → = − →
= − → =
função homogênea de grau 2
Além disso, se M e N são funções homogêneas de grau α,
também podemos escrever
( ) ( ), 1,M x y x M uα= e ( ) ( ), 1,N x y x N uα= yy ux u x= → =
xx yv v
y
= → =( ) ( ), ,1M x y y M vα= e ( ) ( ), ,1N x y y N vα=
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =
( ) ( )1, 1, 0x M u dx x N u dyα α+ = ou ( ) ( )1, 1, 0M u dx N u dy+ =
onde: yy ux u
x
= → = dy udx xdu= +Substituindo a diferencial
( ) ( )[ ]1, 1, 0M u dx N u udx xdu+ + = → ( ) ( ) ( )1, 1, 1, 0M u dx N u udx N u xdu+ + =
( ) ( ) ( )1, 1, 1, 0M u uN u dx xN u du+ + = →  
( )
( ) ( )
1,
0
1, 1,
N u dudx
x M u uN u
+ =
+
Obs.: Na prática tentamos x=vy sempre que a função M(x, y) for mais
simples N(x, y).
Etapas:
Separável nas variáveis u e x
Exemplo: ( ) ( )2 22 , 1 1dxx y xy ydy+ = − =
Sol.: ( )2 22 0x y dx xydy+ − =
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =
Verificar e
são homogêneas
de grau 2.
( ) ( ), ,M tx ty t M x yα= ( ) ( ), ,N tx ty t N x yα=
( ) 2 2, 2M x y x y= + → ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, 2 2 ,M tx ty tx ty t x y t M x y= + = + =
( ),N x y xy= − → ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2, ,N tx ty xt yt t xy t N x y= − = − =
Se fizermos y ux= dy udx xdu= +então:
Substituindo em: ( )2 22 0x y dx xydy+ − =
( )2 22 0x y dx xydy+ − = → ( ) ( )2 2 22 0x x u dx xxu udx xdu+ − + = →
2 2 2 2 2 32 0x dx x u dx x u dx x udu+ − − = → ( )2 2 31 0x u dx x udu+ − =
( ) ( )
2 2 3
3 2
11 0 multiplica por:
1
x u dx x udu
x u
 
 + − = → →
 +  ( )
2
0
1
dx udu
x u
− =
+
Integrar ambos os lados ( )21
dx udu
x u
=
+∫ ∫
21ln ln 1
2
x u c− + = ( )
2
2
2
1 2
21
1 1 1ln ln 1
2 2 2
udu dv dvv u u udu
duu
dv v u
v
→ = + → = → =
+
→ → +
∫
∫
Separável nas variáveis u e x
21ln ln 1
2
x u c− + = → 22 ln ln 1 2x u c− + = →
2 2ln ln 1 2x u c− + = →
2
2ln 21
x c
u
= →
+
2
2
21
cx e
u
= →
+
2
121
x c
u
=
+ Substituindo
yu
x
=
2
12
1
x c
y
x
= →
 +  
 
2
12 2
2
x c
x y
x
= →
+ ( )4 2 21x c x y= + ( ): 1 1PVI y − =
( ) ( )( )4 2 211 1 1c− = − + → 1 12c = 4 2 22x x y= +Logo a solução é: 
Aplicando as propriedades dos logaritmos:
Exemplo: 2 2 2( ) ( ) 0x y dx x xy dy+ + − =
( ) 2 2,M x y x y= + ( ) ( )2,N x y x xy= −As funções e são homogêneas de grau 2.
Se fizermos y ux= dy udx xdu= +então:
Substituindo em: 2 2 2( ) ( ) 0x y dx x xy dy+ + − = →
( )( ) ( )[ ]22 2 0x ux dx x xux udx xdu+ + − + = →
2 2 2 2 2 2 2 2 0x dx u x dx x udx x xdu x u dx x uxdu+ + + − − = →
( ) ( ) ( )
2 3
3
11 1 0 multiplica por:
1
x u dx x u du
x u
 
+ + − = →   + 
Sol.:
( )
( )
1
0
1
udx du
x u
−
+ = →
+
( )
( )
1 1 1
0
1
udx du
x u
− + −
+ = →
+
[ ]
( )
1 1 1
0
1
udx du
x u
− − + − +
+ =
+
[ ]
( )
1 2
0
1
udx du
x u
− + −
+ = →
+
( )
( )
1 2
0
1
udx du
x u
− + +
+ = →
+
21 0
1
dx du
x u
 + − + = → + 
21 0
1
dx du
x u
 + − + = → + ∫ ∫ ln 2 ln 1 lnx u u c− + + =
Integrar ambos os lados
Separável nas variáveis u e x
ln 2 ln 1 lnx u u c− + + = →Substituindo
yu
x
= ln 2 ln 1 lny yx c
x x
− + + =
Aplicando as propriedades dos logaritmos
ln 2 ln 1 lny yx c
x x
− + + = →
2
ln ln 1 lny yx c
x x
+ + − = →
( )2
2
ln
x y
x yx
c x
+
⋅
= →
( )2ln x y y
cx x
+
= →
( )2 yxx y e
cx
+
= →
( )2
y
xx y cxe+ =
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A equação diferencial: ( ) ( ) ndy P x y f x y
dx
+ =
onde n é um número real qualquer, é chamada de Equação de
Bernoulli.
Observe que para n=0 e n=1 a equação é linear.
Para n≠0 e n≠1, a substituição reduz a equação a uma
equação linear.
1 nu y −=
Exemplo:
2 2dyx y x y
dx
+ = →
( ) ( ) ndy P x y f x y
dx
+ = 1 nu y −=
Sol.: Multiplica por:
1
x
→
21dy y xy
dx x
+ = →
2n = → 1 2u y −= → 1 1u y y
u
−= → = 2
dy dy du duu
dx du dx dx
−= = −
Substitui na equação:
2 2
1 1 1 1du x
u dx x u u
− ⋅ + ⋅ = →
Multiplica por:
( )2u−
1du u x
dx x
 + − ⋅ = − → 
 
( ) ( )1 , 0,P x
x
= − ∞
21dy y xy
dx x
+ =
2 2dyx y x y
dx
+ =
( ) ( ) .1dy P x y f x eq
dx
+ =
Fator integrante é: dxxe
−∫ →
Multiplica a eq. pelo fator integrante
1du u x
dx x
 + − ⋅ = − → 
 
( )1 1 1du u x
x dx x x
  + − ⋅ = ⋅ − →    
( )2
1 1 1du u x
x dx x x
 ⋅ − ⋅ = ⋅ − → 
 
( )1 1d x udx
− ⋅ = −
Integrando: ( )1 1d x u dx− ⋅ = − →∫ ∫
1 u x c
x
= − + → 2u x cx= − +
Substituindo:
1u
y
=
21 x cx
y
= − + →
2
1y
x cx
=
− +
( ) ( )P x dxx eµ ∫=
( ) 1x
x
µ =ln xe− →
1ln xe
−
→
Exemplo: Resolva a equação diferencial por meio de uma
substituição apropriada:
( ) 21dyx x y xy
dx
− + =
( ) ( ) ndy P x y f x y
dx
+ =
1 nu y −=
Sol.:
( ) ( ) .1dy P x y f x eq
dx
+ =
Multiplicar a eq. por: 1
x
→ 2
11dy y y
dx x
 − + = 
 
2n = → 1 2u y −= → 1 1u y y
u
−= → = 2
dy dy du duu
dx du dx dx
−= = −
Substitui na equação: 2 2
1 1 1 11du
u dx x u u
 − ⋅ − + ⋅ = → 
 
Multiplica por: ( )2u−
11 1du u
dx x
 + + ⋅ = − 
 
( ) 11P x
x
= +
Fator integrante é:
11 dx
xe
 + 
 ∫ →
Multiplica a eq. pelo fator integrante
( ) ( )P x dxx eµ ∫=
( ) xx xeµ =
11x x xduxe xe u xe
dx x
 + + ⋅ = − → 
 
( )x xd xe u xedx ⋅ = −
( )x x x xduxe xe e u xedx + + ⋅ = − →
Integrando:
1u
y
=
( )x xd xe u xe dx⋅ = − →∫ ∫
x x xxe u xe e c⋅ = − + +
x x
x
xe e cu
xe
− + +
= → 11 x
cu x
xe
−= − + +
( )
1 ;
x
x x
x x x x
xe dx por partes udv u v vdu
u x du dx dv e dx v e
x e e dx xe e
− → = ⋅ −
= → = = → =
− ⋅ − → − +
∫ ∫ ∫
∫
( )lnx xe + → lnx xe e →
Substituindo:
1u
y
=
11 x
cu x
xe
−= − + +
11 1 x
cx
y xe
−= − + + → 1
xxey x
c
= − +
REDUÇÃO A VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
A equação diferencial: ( )dy f Ax By C
dx
= + +
Pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis
por meio da substituição: , 0u Ax By C B= + + ≠
51 y xdy e
dx
− += +
Exemplo: Resolva a equação diferencial por meio de uma
substituição apropriada:
( )dy f Ax By C
dx
= + +
, 0u Ax By C B= + + ≠Sol.:
5u x y= − + + → 1du dy
dx dx
= − + → 1
dy du
dx dx
= +
Então:
1 1u due
dx
+ = + →
1 udy e
dx
= +
udu e
dx
= → u
dudx
e
= →
Integrando: u
dudx
e
= →∫ ∫
1
ux c e
+ = −
u
w u
e du w u du dw
e dw e c
−
−
→ = − → = −
− → − +
∫
∫
Substituindo:
1
ux c e
+ = − →
5u x y= − + +
1ue
x c
− = →
+
5 1y xe
x c
− +− =
+
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