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Instituto de Matemática - UFRJ
Cálculo 1 - Semipresencial
Aula 16 – A Regra de L’Hôspital
Este material foi produzido no âmbito do projeto “Elaboração de material para disciplinas na
modalidade semi-presencial”, do Departamento de Matemática do IM/UFRJ.
Equipe:
Coordenação: Paulo Amorim
Participantes: Bruno Telch, Rafael Lobosco, Leonardo Damasceno
A regra de L’Hôspital
Trabalharemos aqui com uma importante aplicação da derivada: a regra de L’Hôspital
(lê-se “Lô-pi-tal”). Para motivar a regra, analisemos o seguinte limite:
lim
x→0
sin 2x
sinx
= 2.
Este limite pode ser resolvido com a utilização do limite fundamental lim
u→0
sinu
u
= 1 e a
manipulação
lim
x→0
sin 2x
sinx
= lim
x→0
x · sin 2x
x · sinx = limx→0
sin 2x
x
sinx
x
=
2 · lim
x→0
sin 2x
2x
lim
x→0
sinx
x
=
2
1
= 2.
Nessa mesma análise, lembrando que sin 0 = 0, observamos que
lim
x→0
sin 2x
sinx
= lim
x→0
sin 2x
x
sinx
x
= lim
x→0
sin 2x−sin 0
x−0
sinx−sin 0
x−0
=
lim
x→0
sin 2x−sin 0
x−0
lim
x→0
sinx−sin 0
x−0
,
onde podemos notar que o resultado do limite nada mais é do que o quociente das deri-
vadas de sin 2x e sinx analisadas em x = 0, isto é,
lim
x→0
sin 2x
sinx
=
lim
x→0
sin 2x−sin 0
x−0
lim
x→0
sinx−sin 0
x−0
=
2 cos(2 · 0)
cos(0)
=
2 · 1
1
= 2.
Podemos então pensar no caso geral, com duas funções f e g deriváveis num valor x0 e
tais que f(x0) = g(x0) = 0, donde
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
g(x)− g(x0) = limx→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
g(x)−g(x0)
x−x0
=
lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
lim
x→x0
g(x)−g(x0)
x−x0
=
f ′(x0)
g′(x0)
,
caso g′(x0) 6= 0.
Vemos assim que em certos casos é possível substituir um limite da forma f(x)/g(x) pelo
limite f ′(x)/g′(x), que pode ter a vantagem de ser mais fácil de calcular. Vejamos então
a formulação precisa da Regra de L’Hôspital.
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Cálculo 1 - Semipresencial
Aula 16 – A Regra de L’Hôspital
Forma indeterminada do tipo 00
Teorema: Se f e g são funções com primeiras derivadas contínuas em x0; se
lim
x→x0
f(x) = 0 e lim
x→x0
g(x) = 0,
com g′(x) 6= 0 para todo x 6= x0; e se existe o limite lim
x→x0
f ′(x)
g′(x) , então
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
.
Exemplo 1. Calculemos o limite lim
x→0
ln(1+x)
x
. Observemos que é uma indeterminação do
tipo 0
0
. Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
(
ln(1 + x)
)′
(x)′
= lim
x→0
1
1+x
1
= lim
x→0
1
1 + x
= 1.
Exemplo 2. Calculamos o limite lim
x→pi
2
1− sinx
cosx
. Observemos que é uma indeterminação
do tipo 0
0
. Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→pi
2
1− sinx
cosx
= lim
x→pi
2
− cosx
− sinx = 0.
Observemos que se as derivadas são contínuas com f ′(x0) = g′(x0) = 0, o resultado do
teorema pode ser estendido para a razão f
′(x)
g′(x) , isto é,
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
= lim
x→x0
f ′′(x)
g′′(x)
,
e isso podendo ser repetido quantas vezes se fizer necessário. Vejamos no seguinte exem-
plo:
Exemplo 3. Calculamos o limite lim
x→0
ex−e−x−2x
x−sinx . Observemos que é uma indeterminação
do tipo 0
0
. Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→0
ex − e−x − 2x
x− sinx = limx→0
ex + e−x − 2
1− cosx =
0
0
.
Aplicando novamente a regra de L’Hôptal, temos que
lim
x→0
ex + e−x − 2
1− cosx = limx→0
ex − e−x
− sinx =
0
0
.
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Cálculo 1 - Semipresencial
Aula 16 – A Regra de L’Hôspital
Novamente,
lim
x→0
ex − e−x
− sinx = limx→0
ex + e−x
cosx
= 2.
Logo
lim
x→0
ex − e−x − 2x
x− sinx = 2.
A regra de L’Hôspital pode ser aplicada mesmo quando x → ∞, quando se tem
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
g(x) = 0. Ou seja, se existir o limite lim
x→+∞
f ′(x)
g′(x) , então
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= lim
x→+∞
f ′(x)
g′(x)
,
e o mesmo com x → −∞. Uma maneira que por vezes é mais prática para resolver
tais limites usando a regra de L’Hôspital é fazer a mudança de variável x = 1
y
, donde se
x→∞ então y → 0; ilustramos no seguinte exemplo:
Exemplo 4. Calculamos o limite lim
x→∞
sin( kx)
1
x
. Observemos que é uma indeterminação do
tipo 0
0
. Definindo x = 1
y
e aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→∞
sin
(
k
x
)
1
x
= lim
y→0
sin(ky)
y
L’Hôspital
= lim
y→0
k cos(ky)
1
= k.
Exemplo 5. Calculamos o limite lim
x→a
x−a
xn−an onde n 6= 0 é qualquer. Observemos que é
uma indeterminação do tipo 0
0
. Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→a
1
nxn−1
=
1
nan−1
.
Exemplo 6. Calculamos o limite lim
x→0
tanx−x
x−sinx . Observemos que é uma indeterminação do
tipo 0
0
. Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→0
tanx− x
x− sinx = limx→0
sec2 x− 1
1− cosx =
0
0
.
Aplicando novamente a regra de L’Hôspital, obtemos
lim
x→0
sec2 x− 1
1− cosx = limx→0
2 sec2 x tanx
sinx
= lim
x→0
2
cos3 x
= 2.
Exemplo 7. Calculamos o limite lim
x→pi
2
ln (sinx)
(pi−2x)2 . Observemos que é uma indeterminação
do tipo 0
0
. Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→pi
2
ln (sinx)
(pi − 2x)2 = limx→pi2
cosx
sinx
−4(pi − 2x)
L’Hôspital
= lim
x→pi
2
−cossec2(x)
8
= −1
8
.
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Cálculo 1 - Semipresencial
Aula 16 – A Regra de L’Hôspital
Exemplo 8. Calculamos o limite lim
x→0
ax−bx
x
onde a e b são positivos. Observemos que é
uma indeterminação do tipo 0
0
. Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→0
ax − bx
x
= lim
x→0
ax ln a− bx ln b
1
= ln a− ln b = ln a
b
.
Forma indeterminada do tipo ∞∞
Teorema: Sejam f e g funções contínuas e deriváveis em todos os pontos
x 6= x0 próximos a x0, com g′(x0) 6= 0 também nesses pontos próximos a x0 e
lim
x→x0
f(x) =∞ e lim
x→x0
g(x) =∞.
Se existe o limite lim
x→x0
f ′(x)
g′(x) , então
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
.
Exemplo 9. Calculamos o limite lim
x→0+
lnx
1
x
. Observemos que é uma indeterminação do
tipo ∞∞ . Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos facilmente que
lim
x→0+
lnx
1
x
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
− x = 0.
Veremos alguns exemplos de que as observações feitas para o caso das indeterminações
do tipo 0
0
também valem aqui no caso ∞∞ .
Exemplo 10. Calculamos o limite lim
x→pi
2
tanx
tan 3x
. Observemos que é uma indeterminação do
tipo ∞∞ . Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→pi
2
tanx
tan 3x
= lim
x→pi
2
sec2 x
3 sec2 3x
= lim
x→pi
2
cos2 3x
3 cos2 x
=
0
0
.
Assim, aplicando repetidas vezes a regra de L’Hôspital,
lim
x→pi
2
tanx
tan 3x
= lim
x→pi
2
sin 6x
sin 2x︸ ︷︷ ︸
0
0
L’Hôspital
= lim
x→pi
2
3 cos 6x
cos 2x
= 3.
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Cálculo 1 - Semipresencial
Aula 16 – A Regra de L’Hôspital
Exemplo 11. Calculamos o limite lim
x→∞
x2
ex
. Observemos que é uma indeterminação do
tipo ∞∞ . Aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→∞
x2
ex
= lim
x→∞
2x
ex
=
∞
∞ .
Novamente, aplicando a regra de L’Hôspital,
lim
x→∞
2x
ex
= lim
x→∞
2
ex
= 0.
Logo,
lim
x→∞
x2
ex
= 0.
Aplicações da regra de L’Hôspital
Vimos que a regra de L’Hôspital pode ser aplicada a indeterminações do tipo 0
0
ou ∞∞ .
Apresentaremos agora maneiras de aplicar tal ferramenta para as demais indeterminações.
Por exemplo, a regra de L’Hôspital também serve para calcular limites que são indeter-
minados na forma 0 · ∞. O truque para fazer isso é transformar essaindeterminação
em uma indeterminação 0/0 ou ∞/∞, “jogando” uma das funções para o denominador,
dividindo.
Exemplo 12. Calculemos lim
x→+∞
e−x lnx, que é uma indeterminação 0 · ∞. Temos
lim
x→+∞
e−x lnx = lim
x→+∞
lnx
ex
L’Hôspital
= lim
x→+∞
1
x
ex
= lim
x→+∞
e−x
x
L’Hôspital
= lim
x→+∞
−e−x
1
= 0.
Exemplo 13. Calculamos o limite lim
x→pi
2
sec 3x cos 5x. Observemos que é uma indeter-
minação do tipo ∞ · 0. Porém, podemos reescrever, simplesmente usando a definição da
função secante,
lim
x→pi
2
sec 3x cos 5x = lim
x→pi
2
cos 5x
cos 3x
=
0
0
.
Agora, aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→pi
2
sec 3x cos 5x = lim
x→pi
2
−5 sin 5x
−3 sin 3x =
5
3
.
Exemplo 14. Calculamos o limite lim
x→pi
2
secx− tanx. Observemos que é uma indetermi-
nação do tipo ∞−∞. Porém, podemos reescrever
lim
x→pi
2
secx− tanx = lim
x→pi
2
1− sinx
cosx
=
0
0
.
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Aula 16 – A Regra de L’Hôspital
Agora, aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→pi
2
1− sinx
cosx
= lim
x→pi
2
− cosx
− sinx = 0.
Logo,
lim
x→pi
2
secx− tanx = 0.
Exemplo 15. Calculamos o limite lim
x→0
xx. Observemos que é uma indeterminação do
tipo 00. Porém, definindo L = lim
x→0
xx, temos que
ln L = ln
(
lim
x→0
xx
)
= lim
x→0
x lnx = lim
x→0
lnx
1
x
=
∞
∞ .
Agora, aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→0
lnx
1
x
= lim
x→0
− 1
x
− 1
x2
= lim
x→0
− x = 0.
Logo,
ln L = 0 ⇒ L = 1.
Exemplo 16. Calculamos o limite lim
x→0
(cotx)sinx. Observemos que é uma indeterminação
do tipo ∞0. Porém, definindo L = lim
x→0
(cotx)sinx, temos que
ln L = ln
(
lim
x→0
(cotx)sinx
)
= lim
x→0
sinx ln(cotx) = lim
x→0
ln(cotx)
cossec(x)
=
∞
∞ .
Agora, aplicando a regra de L’Hôspital, obtemos que
lim
x→0
ln(cotx)
cossec(x)
= lim
x→0
cossec2(x)
cotx
− cotxcossec(x) = limx→0
sinx
cos2 x
= 0.
Logo,
ln L = 0 ⇒ L = 1.
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Aula 16 – A Regra de L’Hôspital
Exercícios propostos
• São apenas 4 exercícios. Resolva todos eles e em caso de dúvidas consulte o apoio
pedagógico.
Exercício 1. Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hôspital:
(a) lim
x→0
x− arcsin(x)
x
(b) lim
x→0
ex − sinx− 1
ln(1 + x)
(c) lim
x→pi
2
sec2 x
sec2 3x
(d) lim
x→0
lnx
cossec(x)
(e) lim
x→∞
xn
e2x
(f) lim
x→0
cotx
cot(2x)
(g) lim
x→0
ln(sinx)
ln(sin 2x)
(h) lim
x→0
e
1
x + lnx
cotx
(i) lim
x→0
x ln(sin(x2))
(j) lim
x→0
x sin
(
1
x
)
(k) lim
x→pi
2
(pi − 2x) tan x
(l) lim
x→1
(1− x)cos(pix2 )
(m) lim
x→2
[
x3 − x− 2
tan(x− 2) − cos(x− 2)
]
(n) lim
x→0
[
2
sin2 x
− 1
1− cosx
]
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Aula 16 – A Regra de L’Hôspital
(o) lim
x→1
[
1
x− 1 − lnx
]
(p) lim
x→0
[
1
x2
− 1
x tanx
]
(q) lim
x→0
[
x2 − 4
x2
− tan (pix
4
)]
(r) lim
x→∞
(
2
x
+ 1
)x
(s) lim
x→∞
x− 3√x3 − x
(t) lim
x→−∞
[
x− x2 ln (1 + 1
x
)]
(u) lim
x→0
(
1
x
)sinx
(v) lim
x→1
[
tan
(
pix
4
)]tan(pix4 )
(x) lim
x→0+
(ex + x)lnx
(z) lim
x→0
x
1
ln(ex−1)
Exercício 2. Determine o valor da constante a para que lim
x→+∞
(
1 + e2x
2
)a/x
=
√
e.
Exercício 3. Determine os possíveis valores de a e b tais que lim
x→0
x2
a+ cos(bx)
= −8.
Exercício 4. Determine o valor da costante a para que lim
x→+∞
(
x+ a
x− a
)x
= 4.
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