EXERCICIO III - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1
A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em
diversas áreas de estudo e em inúmeros contextos. Sabendo disso, determine a
equação da reta normal a e o ponto 
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
y
2
− 4xy = 12 (1, 6)
y = 3x + 3.
y = 4x + 2.
y = 3x + 5.
y = 6x + 3.
y = 7x + 1.
Exercício - Derivadas: AplicaçõesVoltar para desempenho
Índice de questões
1 de 8
Corretas (4) Incorretas (4) Em branco (0)
1 2 3 4 5 6 7 8
Questão 1 de 8
Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5212195/gabarito
1 of 9 04/06/2023, 14:50
Aplicando o ponto :
Equação da reta:
2
A energia cinética de um corpo é dada pela relação . Determine a
expressão que mostra a taxa de variação de com o tempo.
A
B
C
D
E
y
2
− 4xy = 12
dy
2
dy
dy
dx
− (4 ⋅
dx
dx
⋅ y + 4 ⋅ x ⋅
dy
dy
dy
dx
) =
d(12)
dx
2y
dy
dx
− 4y − 4x
dy
dx
= 0
dy
dx
=
4y
2y − 4x
= m
(1, 6)
m =
4y
2y − 4x
=
4 ⋅ 6
2 ⋅ 1 − 4 ⋅ 1
=
24
8
= 3
y − y
0
= m (x − x
0
)
y − 6 = 3(x − 1)
y − 6 = 3x + 3
y = 3x + 3
k =
1
2
mv
2
k
dk
dt
= m
2
⋅ v ⋅ a
dk
dt
= m ⋅ v
2
⋅ a
dk
dt
= m ⋅ v ⋅ a
2
dk
dt
=
m ⋅ v ⋅ a
2
dk
dt
= m ⋅ v ⋅ a
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Questão 1 de 8
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Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5212195/gabarito
2 of 9 04/06/2023, 14:50
Resposta incorreta Resposta correta: E
Gabarito comentado
Como , temos:
Como a aceleração é dada por: 
3
Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma
expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque é preenchido.
A
B
C
dk
dt
=?
dk
dt
=
d (
1
2
mv
2
)
dt
=
1
2
m
d (v
2
)
dt
d(v
2
)
dt
=
d(v
2
)
dt
⋅
dv
dt
dk
dt
=
1
2
m
d (v
2
)
dt
⋅
dv
dt
=
1
2
m ⋅ 2v ⋅
dv
dt
= mv
dv
dt
dv
dt
= a
dk
dt
= m ⋅ v ⋅ a
dR
dt
=
1
4πR
2
⋅
dV
dt
.
dR
dt
= 4πR
2
⋅
dV
dt
.
dR
dt
=
1
4πR
3
⋅
dV
dt
.
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Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5212195/gabarito
3 of 9 04/06/2023, 14:50
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
4
Seja a função f(x) = x  - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função.
Uma das retas é tangente ao ponto P(4,1). A outra tangente intercepta a primeira reta
tangente no ponto de  ordenada igual a - O ponto de tangência entre a segunda reta
e o gráfico de f(x) tem coordenadas ( a , b), com a e b reais. Determine o valor de a +
b.
dR
dt
=
4π
R
2
⋅
dV
dt
.
dR
dt
=
1
πR
2
⋅
dV
dt
.
dR
dt
=?
dV
dt
= C
dV
dt
=
d (
4
3
πR
3
)
dR
⋅
dR
dt
=
4
3
π ⋅
d
3
πR
3
dt
dt
⋅
dV
dR
⋅
dR
dt
dR
dt
=
1
4πR
2
⋅
dV
dt
π ⋅ 3R
2
⋅
dR
dt
= 4πR
2
dR
dt
2
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Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5212195/gabarito
4 of 9 04/06/2023, 14:50
A 2
B 3
C 4
D 5
E 6
Resposta incorreta Resposta correta: B
Gabarito comentado
A resposta correta é: 3
5
Umas das aplicações dos conceitos de derivada está na obtenção de retas tangentes
e normais em um ponto. Sabendo disso, determine a equação da reta normal a
 e a origem.
A
y = x
√
9 + x
2
y =
1
3
x.
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Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5212195/gabarito
5 of 9 04/06/2023, 14:50
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Aplicando o ponto :
Equação da reta:
y = 2x
y = 9x
y = 3x
y =
2
3
x.
y = x
√
9 + x
2
v = x; u = 9 + x
2
dy
dx
=
dx
dx
u
1
2
+ x ⋅
d (u
1
2
)
du
⋅
d (9 + x
2
)
dx
dy
dx
= (9 + x
2
)
1
2
+ x ⋅
1
2
⋅ (9 + x
2
)
−
1
2
⋅ 2x
dy
dx
= (9 + x
2
)
1
2
+
x
(9 + x
2
)
1
2
= m
(0, 0)
m = (9 + x
2
)
1
2
+
x
(9 + x
2
)
1
2
= (9 + 0
2
)
1
2
+
0
(9 + 0
2
)
1
2
=
√
9 = 3
y − y
0
= m (x − x
0
)
y − 0 = 3(x − 0)
y = 3x
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Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5212195/gabarito
6 of 9 04/06/2023, 14:50
6
Ao se analisar uma função por meio de suas derivas pode-se deduzir
muitas informações acerca do comportamento desta função. A respeito de uma
função analise as asserções a seguir:
I. A derivada da função é da por , sendo eu se , a função 
é dita como crescente dentro de seu intervalo.
PORQUE
II. A concavidade da função será volta para cima se sua segunda deriva
respeitar a condição: .
Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta
razão entre elas.
A A asserção I está correta e a asserção II é uma justificativa da asserção I.
B
A asserção I está correta e a asserção II está correta, mas não é uma
justificativa da asserção I.
C A asserção I está correta e a asserção II está incorreta.
D A asserção I está incorreta e a asserção II está correta.
E Ambas as asserções estão incorretas.
Resposta correta
Gabarito comentado
I-Incorreta: A função é crescente se sua derivada for maior que zero:
 II - Correta: A concavidade é positiva, isto é, voltada para cima atender a
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x)
dy
dx
dy
dx
< 0 y = f(x)
y = f(x)
d
2
y
dx
2
> 0
y = f(x)
dy
dx
> 0
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Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5212195/gabarito
7 of 9 04/06/2023, 14:50
condição .
7
Seja a função g(x) = 2x sen(x ) + 2 sen x + 4. Este gráfico apresenta uma reta normal
no ponto de abscissa nula de equação , p  e q reais , é normal ao
gráfico da função no ponto de abscissa zero.
A 3
B 4
C 5
D 6
E 1
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
A resposta correta é: 6
8
Determine o máximo e o mínimo global, respectivamente de  , com 
d
2
y
dx
2
> 0
2
px + qy − 16 = 0
f(x) =
√
9 − x
2
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Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5212195/gabarito
8 of 9 04/06/2023, 14:50
. 
A 0  e  1
B 0 e  -2
C -2 e 1
D 1 e  -2
E Não existe ponto de máximo global ou mínimo global neste domínio
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é: 0 e  -2
x ∈ [−2, 1]
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