LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS 1

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Universidade do Sul de Santa Catarina 
Unidade de Aprendizagem 
 
 Atividade de avaliação a distância 1 (AD1) 
 
Unidade de Aprendizagem: Limites e Continuidade de Funções de uma ou mais variáveis 
Professor (a): José Humberto Dias de Toledo 
Data: 17/08/2015 
 
1) Identifique, nas funções a seguir, quais as que são de uma variável e quais as que são de 
duas variáveis: (0,5) 
a) y
x
yxf 3
3
),(  ; Função de duas variáveis, pois associa a cada par ordenado de números 
reais (x, y) de um conjunto de A, um único valor real denotado por z ou f(x, y). 
b) 5
35
2
)(
2

xx
xg ; Função de uma variável, pois associa a cada elemento de A um único 
elemento de B. 
c) 1)( 25  zzzh ; Função de uma variável, pois associa a cada elemento de A um único 
elemento de B. 
d) rsrssrf 2),( 22  Função de duas variáveis, pois associa a cada par ordenado de 
números reais (x, y) de um conjunto de A, um único valor real denotado por z ou f(x, y). 
As questões de (2) até (4) contextualizam funções reais de uma variável. 
 
2) Qual o domínio das seguintes funções: (0,5) 
a) 2)(  kkf ; Função do 1º grau. Domínio: Conjunto dos Reais. 
b) )1(  xseny ; Função trigonométrica. Domínio: Conjunto dos Reais. 
c) )1ln()(  xxf ; 
 
d) 
1
1


x
y . 
 
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3) Dada a função 
1
2
)(
2 


x
x
xf , calcule as seguintes imagens: (0,5) 
a) ;
2
1






f
 
 
b) )2(f . 
 
4) Usando o software Graph, fazer os gráficos das seguintes funções e na sequência indique o 
domínio e o conjunto imagem de cada uma delas: (0,5) 
a) 122  xxy ; 
 
 
b) )cos(1 xy  ; 
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c) 
)1)(1(
1


xx
y . 
 
 
As questões de (5) a (7) contextualizam funções de duas variáveis. 
5) Qual o domínio das seguintes funções: (0,5) 
a) 3),( 232  yxxyyxf ; 
 
b) 
1
3
),(



y
x
yxf ; 
 
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c) yxyxf 2),(  ; 
 
d) xxyyxf 3),(  . 
 
6) Dada a função 
yx
xy
yxf
3
2
),(


 , calcule as seguintes imagens: (0,5) 
a)  ;1 ,2f 
 
b) )3- ,2(f . 
 
7) Usando o software livre Winplot ou outro similar, faça os gráficos das seguintes funções e 
na sequência indique o domínio e o conjunto imagem: (0,5) 
a) 422  yxz ; 
 
 
b) 2216 yxz  ; 
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c) 122  yxz . 
 
 
(8) Resolva a seguintes inequações no contexto dos números reais: (1,0) 
a) 0)2)(1(  xx ; 
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b) 01
2 x ; 
 
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c) 1|2| x ; 
 
d) 2|1| x . 
 
(9) Dada a função 122  yxz , encontre as curvas de nível para as cotas a seguir e na 
sequência apresente-as graficamente em um mesmo sistema cartesiano no plano: (0,5) 
a) 2; 
 
b) 4. 
 
 
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Se representarmos as curvas no plano, como uma projeção ortogonal dos cortes espaciais, 
obteremos: 
 
(10) Dada a função )2(1)(  xmxf , com m um parâmetro real. Desenvolva os seguintes 
itens: (1,0) 
a) Escolha cinco valores para o parâmetro m e reescreva a função dada para cada uma das 
suas escolhas; 
 
b) Apresente as funções obtidas em um gráfico no sistema cartesiano, usando o software 
Ghaph; 
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c) O que você pode dizer sobre as funções encontradas? Elas têm similaridades? Qual a 
característica que as tornam diferentes? Observação: Você está diante de uma família de 
funções. 
De acordo com os parâmetros reais escolhidos, as funções encontradas são todas funções do 
1º grau. Elas possuem em comum o ponto (-2, -1). Com base no gráfico as funções reescritas 
irão cortar o eixo y sempre duas unidades a mais que a função anterior. Com relação ao eixo x 
as funções reescritas irão se posicionar no eixo negativo do x a partir da metade da função 
anterior. Por exemplo: a função x+1 corta o eixo x no ponto -1, a função 2x+3 corta o eixo x 
no ponto -1,5 e assim por diante. Consequentemente, se seguirmos aumentando os 
parâmetros, a função se aproximará do ponto (-2, 0), porém nunca chegará ao ponto -2 no 
eixo x, e nunca será uma função decrescente. A única diferença que analisei em relação às 
funções é a posição que cada função corta o eixo x e o eixo y. 
 (11) Observe o gráfico da função )3)(2)(1(  xxxy , que segue e desenvolva os 
seguintes itens: (1,0) 
a) Quais são as raízes da função? 
 
b) Quais os intervalos em que a função é positiva? 
 
c) Quais os intervalos em que a função é negativa? 
 
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d) Que outras características você apontaria?
 
(12) Um pequeno fabricante camisas vende cada camisa a R$ 95,00. O custo total consiste de 
uma taxa fixa de R$ 180,00 somada ao custo de produção de R$ 50,00 por unidade. 
a) Qual a função que modela o Custo total? (1,0) 
 
b) Qual a função que modela a receita da venda de x peças? 
 
c) Quantas camisas o fabricante deverá vender se quiser obter um lucro de R$ 2.200,00? 
 
(13) Uma placa fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T(x,y) no ponto (x,y). 
As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica 
têm a mesma temperatura. Faça um esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura 
for dada por 
22 21
100
),(
yx
yxT

 . (1,0) 
T(1, 7) = 100/(1 + (1)² + 2 X (7)²) = 100/(1 + 1 + 98) = 100/100 = 1 logo z = 1 
T(5, 5) = 100/(1 + (5)² + 2 X (5)²) = 100/(1 + 25 + 50) = 100/76 = 1,316 logo z = 1,32 
T(3, 5) = 100/(1 + (3)² + 2 X (5)²) = 100/(1 + 9 + 50) = 100/60 = 1,667 logo z = 1,67 
T(7, 0) = 100/(1 + (7)² + 2 X (0)²) = 100/(1 + 49 + 0) = 100/50 = 2 logo z = 2 
T(4, 4) = 100/(1 + (4)² + 2 X (4)²) = 100/(1 + 16 + 32) = 100/49 = 2,04 logo z = 2,04 
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T(3, 3) = 100/(1 + (3)² + 2 X (3)²) = 100/(1 + 9 + 18) = 100/28 = 3,571 logo z = 3,57 
T(1, 3) = 100/(1 + (1)² + 2 X (3)²) = 100/(1 + 1 + 18) = 100/20 = 5 logo z = 5 
 
 
(14) Vamos de forma conjunta fazer a construção de um banco de situações práticas que 
podem ser modeladas com funções de uma ou mais variáveis. Pesquise uma situação 
problema e apresente no fórum AD1 para socializar com os seus colegas. Observe que é 
importante deixar claramente identificada a função e a natureza das variáveis envolvidas. 
(1,0). 
Atividade realizada na ferramenta fórum 1.