AD1-GE-2016-2-gabarito

Prévia do material em texto

Gabarito da AD1 - Geometria Espacial - 2016.2
Questão 1 [2,0 pts]: Um drone, inicialmente junto ao seu controlador, foi acionado e subiu 6m
na vertical. Depois o drone percorreu 8m na direção leste (mantendo a altura de 6m). Depois o drone
se moveu x metros na direção norte (mantendo sua altura de 6m) até que o drone perdeu o controle.
Calcule x sabendo que o drone perde o controle quando a distância entre o drone e seu controlador é
de 10
√
10m.
Solução:
• Posicionamento dos pontos percorridos pelo drone:
O drone parte de A, e após toda movimentação, chega a D, onde o drone perde o controle. O drone
percorre o caminho A−B − C −D descrito na figura 1.
• Cálculo da distância entre A e C na figura 1:
Como o triângulo ABC da figura 1 é retângulo temos AC
2
= AB
2
+ BC
2
= 36 + 64 = 100⇒ AC =
10m.
• Cálculo de x:
Como o triângulo ACD da figura 1 é retângulo temos:
AD
2
= AC
2
+ CD
2 ⇒
(
10
√
10
)2
= 102 + x2 ⇒ x2 = 1000− 100 = 900⇒ x = 30m.
Fig. 1: Percurso do drone da questão 1
1
Questão 2 [2,0 pts]: Um tetraedro regular é uma pirâmide em que todas as suas arestas são
iguais e todas as suas quatro faces são triângulos equiláteros. Sabendo-se que a aresta do tetraedro
regular mede x, calcule:
1. A altura do tetraedro.
2. A distância entre duas arestas reversas do tetraedro.
3. O cosseno do ângulo entre 2 faces do tetraedro.
4. O cosseno do ângulo entre uma aresta e a face (que não contém essa aresta) do tetraedro.
Solução:
• Cálculo da altura do tetraedro:
O centro da base BCD é o ponto O, que é o baricentro do triângulo equilátero BCD, logo:
DO =
2
3
DM =
2
3
x
√
3
2
= x
√
3
3
No triângulo retângulo AOD da figura 2 temos que h = AO é a altura do tetraedro.
AO2 = AD2 −OD2 ⇒ h2 = x2 −
(
x
√
3
3
)2
= x2
(
1− 1
3
)
=
2
3
x2 ⇒ h =
√
6
3
x
• Cálculo da distância entre duas arestas reversas:
Na figura 2 vemos que a distância entre duas arestas reversas é igual a MN , onde M é ponto médio
de BC e N é ponto médio de AD.
O ∆MND é retângulo, onde ND = x2 e MD é a altura do triângulo equilátero BCD, logo
MD = x
√
3
2 . Dáı temos que:
MN2 = MD2 −ND2 = 3
4
x2 − 1
4
.x2 =
2
4
x2 ⇒MN =
√
2
2
x.
• Cálculo do cosseno do ângulo entre 2 faces do tetraedro:
No tetraedro da figura 2 temos que ˆAMO é o ângulo entre 2 faces do tetraedro. Do ∆AMO temos
que:
cos( ˆAMO) =
OM
AM
=
OM
DM
=
1
3
• Cálculo do cosseno do ângulo entre uma aresta e a face:
No tetraedro da figura 2 temos que ˆADO é o ângulo entre a aresta AD e a face BCD. Do ∆ADO
temos que:
cos( ˆADO) =
OD
AD
=
2
3
DM
x
=
2
3
x
√
3/2
x
=
√
3
3
2
Questão 3 [2,0 pts]: Considere um plano α e um ponto P qualquer do espaço. Se por P
traçamos a reta perpendicular a α, a interseção dessa reta com α é um ponto chamado projeção
ortogonal do ponto P sobre α. No caso de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre
α é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Classifique as afirmações abaixo
em VERDADEIRO ou FALSO, corrigindo as afirmações falsas. Também dê um exemplo de cada
afirmação abaixo (ou um contraexemplo se a afirmação for falsa).
(a) A projeção ortogonal de um quadrado pode resultar num segmento de reta.
(b) A projeção ortogonal de um ćırculo pode resultar numa elipse.
(c) A projeção ortogonal de uma elipse pode resultar numa reta.
(d) A projeção ortogonal de um losango pode resultar num quadrado.
(e) A projeção ortogonal de um quadrado pode resultar num losango.
Solução:
Usando o cubo da figura 3 como exemplo:
(a) VERDADEIRO. Exemplo: A projeção ortogonal do quadrado ABEF no plano ABCD é o
segmento de reta AB.
(b) VERDADEIRO. Exemplo: A projeção ortogonal de um ćırculo situado no plano ABGH no
plano ABCD é uma elipse.
(c) FALSO. A projeção ortogonal de uma elipse pode resultar numa outra elipse, num ćırculo ou
num segmento de reta. Contraexemplo: A projeção ortogonal de uma elipse situada no plano
ABEF no plano ABCD é um segmento de reta.
(d) VERDADEIRO. Exemplo: A projeção ortogonal no plano ABCD de um losango cujos vértices
são A,G e os pontos médios de DH e BF é o quadrado ABCD.
(e) VERDADEIRO. Exemplo: A projeção ortogonal no plano ABCD de um quadrado cujas diag-
onais são AG e um segmento de reta paralelo ao plano ABCD é um losango.
Fig. 2: Tetraedro da questão 2 Fig. 3: Cubo de exemplo da questão 3
3
Questão 4 [2,0 pts]: A projeção ortogonal de um quadrado de área 32cm2 é um losango de
diagonais (perpendiculares) de 4cm e de 8cm. Qual o ângulo entre o plano do quadrado e o plano de
projeção?
Solução:
• Cálculo do lado e diagonal do quadrado:
O lado do quadrado é
√
32 = 4
√
2cm. As suas duas diagonais medem 4
√
2
√
2 = 8cm.
• Posicionamento das diagonais do quadrado e do losango (plano de projeção):
Como uma diagonal de 8cm do quadrado se projeta com o mesmo tamanho, temos que essa diagonal
do quadrado deve ser paralela ao plano de projeção, resultando numa projeção como da figura 4, onde
OA é uma diagonal do quadrado e OB é a diagonal de 4cm do losango.
• Cálculo do ângulo entre os planos:
Da figura 5 vemos que o cosseno de α, ângulo entre os planos, é a divisão entre a diagonal menor do
losango e a diagonal do quadrado:
cos(α) =
4
8
=
1
2
⇒ α = arccos(1
2
) = 600
Fig. 4: Projeção do quadrado da questão 4 Fig. 5: Vista de perfil
4
Questão 5 [2,0 pts]: (FUVEST 2010) Dois planos π1 e π2 se interceptam ao longo de uma reta
r, de maneira que o ângulo entre eles meça α radianos, com 0 < α < π2 . Um triângulo equilátero
ABC, de lado l, está contido em π2, de modo que o lado AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal
de C sobre o plano π1, e suponha que a medida do ângulo θ = CÂD satisfaça sen(θ) =
√
6
4 . Nessas
condições, determine, em função de l, o valor de α e a área do triângulo ABD.
Solução:
• Cálculo de α:
O ∆ADC é retângulo na figura 6: sen(θ) = CDAC =
√
6
4 ⇒
CD
l =
√
6
4 ⇒ CD =
l
√
6
4
O ∆CDM é retângulo: sen(α) = CDCM =
l
√
6
4 /
l
√
3
2 =
√
2
2
Como 0 < α < π2 ⇒ α =
π
4 .
• Cálculo da área do triângulo ABD.
O ∆CDM é retângulo: α = π4 ⇒ β =
π
4 ⇒MD = CD =
l
√
6
4
Logo a área do triângulo ABD é:
S =
1
2
.l.MD =
1
2
.l.
l
√
6
4
=
l2
√
6
8
.
Fig. 6: Questão 5
5