APX3_GA1_2022_1_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX3 - Questões no formato questionário – Geometria Anaĺıtica I - 2022-1
Gabarito
Código da disciplina: Matemática (grade antiga), Engenharia de Produção e En-
genharia Metereológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Dados para a questão 1 no modo questionário:
• a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [−5, 5] ∩ Z, sendo a ̸= 0 e a ̸= 3.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão terá 4 afirmações verdadeiras, que deverão ser detectadas pelo(a) estudante.
Questão 1 [2,0 pontos]:
Sejam A = (a, a + 1) um ponto e r1 : ax − y = 2 uma reta do plano. Classifique cada afirmação a
seguir como verdadeira ou falsa.
(a) A ∈ r1
(b) As retas r1 e r2 :
{
x = t
y = 3t + 1 , t ∈ R são concorrentes.
(c) As retas r1 e r3 : ax − y = 4 são paralelas.
(d) r1 :
{
x = 1 + 2t
y = (a − 2) + 2at , t ∈ R são equações paramétricas de r1.
Cada item terá pontuação 0,5.
Resolução:
(a) Primeiramente, ao substituir as coordenadas do ponto A na equação de r1, notemos que
a(a) − (a + 1) = 2 ⇐⇒ a2 − a − 3 = 0 ⇐⇒ a = 1 ±
√
13
2 /∈ Z.
Como a é um número inteiro (coringa da questão), não teremos nenhum valor de a que faça com
que o ponto A pertença à r. Sendo assim, a afirmação (a) é falsa.
(b) A partir da equação cartesiana da reta r1, observamos que o vetor (a, −1) é perpendicular à
reta r1, então v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r1. Já pelas equações paramétricas da reta r2,
obtemos que v⃗2 = (1, 3) é um vetor paralelo à reta r2. Como v⃗1 e v⃗2 não são múltiplos (lembrando
que a não pode assumir o valor 3), as retas r1 e r2 não podem ser paralelas nem coincidentes. Sendo
assim, elas são concorrentes. Sendo assim, a afirmação (b) é verdadeira.
(c) Pela equação cartesiana de r3, notamos que v⃗3 = (a, −1) é perpendicular à reta r3. Logo, o vetor
v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r3. Sendo assim, as retas r1 e r3 são paralelas ou coincidentes.
Geometria Anaĺıtica I APX3 1/2022
Analisando as equações das retas, vemos que o lado esquerdo das equações das duas retas são iguais,
porém o termo independente das equações são distintos (2 ̸= 4). Isto implica que, r1 e r3 não podem
ser coincidentes e são paralelas.
Sendo assim, a afirmação (c) é verdadeira.
(d) Já sabemos que v⃗1 = (1, a) é um vetor paralelo à reta r1, sendo assim 2v⃗1 também é paralelo à
reta r1 que é o vetor utilizado para escrever as equações paramétricas da reta r1.
Pelas equações dadas no item (d) do enunciado, o ponto P = (1, a − 2) deveria pertencer à reta r1.
Vamos analisar se suas coordenadas de P satisfazem a equação dada no enunciado:
a(1) − (a − 2) = 2 ⇐⇒ a − a + 2 = 2 ⇐⇒ 2 = 2.
Portanto, P ∈ r1 e as equações paramétricas fornecidas neste item estão corretas.
Sendo assim, a afirmação (d) é verdadeira.
RESPOSTA CORRETA: As afirmações (b), (c) e (d) são verdadeiras e (a) é falsa.
Dados para a questão 2 no modo questionário:
• k é o coringa e poderá variar da seguinte forma k ∈ [−4, 4] ∩ Z e k ̸= 0.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
Questão 2 [2,0 pontos]: Considere a cônica
C : 9x2 + 4y2 − 36kx + 16ky + 52k2 − 36 = 0.
Dentre as opções abaixo, quais delas possui a classificação e parametrização corretas da cônica
C. Lembrando que, as duas informações pedidas precisam estar corretas para que a resposta seja
considerada correta.
(a) C é uma elipse com parametrização C :
{
x = 2k + 2 cos t
y = −2k + 3 sin t , t ∈ R
(b) C é uma elipse com parametrização C :
{
x = −2k + 3 cos t
y = 2k + 2 sin t , t ∈ R
(c) C é uma hiperbóle com parametrização C :
{
x = 2k + 2 cosh t
y = −2k + 3 sinh t , t ∈ R
(d) C é uma hiperbóle com parametrização C :
{
x = −2k + 3 cosh t
y = 2k + 2 sinh t , t ∈ R
(e) C é uma parábola com parametrização C :
{
x = t
y = −2k ±
√
t − 2k , t ∈ R
(f) C é uma parábola com parametrização C :
{
x = 2k ±
√
t + 2k
y = t , t ∈ R
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Resolução:
Completando os quadrados da equação dada, obtemos:
9x2 + 4y2 − 36kx + 16ky + 52k2 − 36 = 0
⇐⇒ 9(x2 − 4kx + 4k2) + 4(y2 + 4ky + 4k2) = 36 − 52k2 + 36k2 + 16k2
⇐⇒ 9(x − 2k)2 + 4(y + 2k)2 = 36
⇐⇒ (x − 2k)
2
4 +
(y + 2k)2
9 = 1
Logo, C representa uma elipse com:
• a = 3, b = 2 e c =
√
a2 − b2 =
√
32 − 22 =
√
5;
• centro: C = (2k, −2k);
• reta focal: x = 2k;
• vértices: (2k, −2k ± 3);
• focos: (2k, −2k ±
√
5);
• reta não-focal: y = −2k;
• vértices imaginários: (2k ± 2, −2k);
• parametrização: C :
{
x = 2k + 2 cos t
y = −2k + 3 sin t , t ∈ R.
RESPOSTA CORRETA: (a)
Dados para a questão 3 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a ∈ [−5, 5] ∩ Z, sendo a ̸= 0 e a ̸= 3.
• A questão terá ter um campo onde o estudante colocará sua resposta final e não serão oferecidas
opções de resposta.
Questão 3 [2,0 pontos]: Considere o triângulo ABC, cujos vértices são dados por A = (1, 0), B =
(a, a) e C é o ponto de interseção entre as retas r1 :
{
x = t
y = 3t + a , t ∈ R e r2 :
{
x = −t
y = 3t − 5a , t ∈
R. Calcule a área do triângulo ABC.
Resolução: Primeiramente, notemos que, r1 é paralela ao vetor
−→v1 = (1, 3) e contém o ponto
P1 = (0, a). Sendo assim, o vetor (3, −1) é perpendicular à reta r1 e esta reta possui a seguinte
forma:
3x − y = k,
para algum k real. Como P1 ∈ r1, vamos substituir as coordenadas deste ponto na equação acima
para encontrar o valor de k:
3(0) − a = k ⇐⇒ k = −a.
Portanto, a equação cartesiana da reta r1 é 3x − y = −a.
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Agora, note que r2 é paralela ao vetor
−→v2 = (−1, 3) e contém o ponto P2 = (0, −5a). Sendo assim,
o vetor (3, 1) é perpendicular à reta r2 e esta reta possui a seguinte forma:
3x + y = c,
para algum c real. Como P2 ∈ r2, vamos substituir as coordenadas deste ponto na equação acima
para encontrar o valor de c:
3(0) − 5a = c ⇐⇒ c = −5a.
Portanto, a equação cartesiana da reta r2 é 3x + y = −5a.
Com as equações cartesianas das retas r1 e r2, para encontrar o ponto C de interseção entre elas,
é necessário resolver o sistema formado pelas duas equações. Resolvendo este sistema, encontramos
que C = (−a, −2a).
OBS.: O ponto C poderia ter sido encontrado igualando as equações de x e y de r1 e r2 diretamente,
sem encontrar as equações cartesianas das retas.
Sendo assim, podemos agora calcular a área do triângulo ABC. Como
−→
AB = (a − 1, a) e −→AC = (−a − 1, −2a),
temos:
Area(ABC) = 12 | − 2a(a − 1) + (−a)(−a − 1)|
= 12 | − 2a
2 + 2a + a2 + a|
= 12 | − a
2 + 3a|.
RESPOSTA CORRETA: 12 | − a
2 + 3a|
Dados para a questão 4 no modo questionário:
• a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [−5, 5] ∩ Z e a ̸= 0.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha, tendo duas respostas corretas valendo metade da pontuação total
cada uma delas.
Questão 4 [2,0 pontos]: Dentre as opções abaixo, quais delas são equações de retas perpendiculares
à reta r : ax + ay = −8, as quais estão a distância |a
√
2| do ponto P = (1, 2)?
Opções de resposta:
(a) ax − ay = 2a2 − a e ax − ay = −2a2 − a
(b) ax − ay = 2a2 − 9 e ax − ay = −2a2 − 9
(c) ax + ay = 2a2 + a e ax + ay = −2a2 + a
(d) ax + ay = 2a2 + 9 e ax + ay = −2a2 + 9
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(e) ax − ay = 2a2 e ax − ay = −2a2
(f) ax + ay = 2a2 e ax + ay = −2a2
Resolução:
Vamos chamar de s a(s) reta(s) procurada(s).
Note que (a, a) é um vetor perpendicular à reta r, então (a, a) é paralelo à reta s. Istoimplica que
(a, −a) é perpendicular à reta s e que sua equação cartesiana é da forma
ax − ay = k,
para algum k real.
Como d(s, P ) = |a
√
2|, então
|a(1) − a(2) − k|√
a2 + a2
= |a
√
2| ⇐⇒ |a + k| = 2a2.
Neste caso, temos duas opções: (1) a + k = 2a2 ⇐⇒ k = 2a2 − a ou (2) a + k = −2a2 ⇐⇒ k =
−2a2 − a.
Sendo assim, temos duas retas com a propriedade do enunciado e suas equações cartesianas são
ax − ay = 2a2 − a e ax − ay = −2a2 − a.
RESPOSTAS CORRETAS: (a)
Dados para a questão 5 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a ∈ [−5, 5] ∩ Z e a ̸= 0.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
Questão 5 [2,0 pontos]: Considere a curva ρ = 4a cos θ dada em coordenadas polares. Dentre as
opções abaixo, encontre a opção que identifica corretamente a curva dada e também sua equação
em coordenadas cartesianas. Lembrando que, as duas informações pedidas precisam estar corretas
para que a resposta seja considerada correta.
Opções de resposta:
(a) A curva é um ćırculo centrado em (2a, 0) e possui equação (x−2a)2+y2 = 4a2 em coordenadas
cartesianas
(b) A curva é um ćırculo centrado em (0, 2a) e possui equação x2+(y−2a)2 = 4a2 em coordenadas
cartesianas
(c) A curva é uma elipse centrada em (2a, 0) e possui equação (x − 2a)
2
4a2 +y
2 = 1 em coordenadas
cartesianas
(d) A curva é uma elipse centrada em (2a, 0) e possui equação (x−2a)2+ y
2
4a2 = 1 em coordenadas
cartesianas
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(e) A curva é uma hipérbole centrada em (0, −2a) e possui equação x2 − (y + 2a)
2
4a2 = 1 em
coordenadas cartesianas
(f) A curva é uma hipérbole centrado em (0, −2a) e possui equação x
2
4a2 − (y + 2a)
2 = 1 em
coordenadas cartesianas
Resolução:
Sabemos que a relação entre coordenadas polares e cartesianas é dada pelas seguintes equações
ρ =
√
x2 + y2 e cos θ = x√
x2 + y2
. Substituindo estas equações na curva dada, obtemos:√
x2 + y2 = 4a x√
x2 + y2
⇐⇒ x2 + y2 = 4ax.
Completando os quadrados desta última equação, temos:
x2 − 4ax + 4a2 + y2 = 4a2 ⇐⇒ (x − 2a)2 + y2 = 4a2,
que é a equação de um ćırculo centrado em (2a, 0) e raio |2a|.
RESPOSTA CORRETA: (a)
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