Questão 26 - Pág 115 - Equações Diferenciais - Zill

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Questão 26 – Página 115 AID: 20 | 15/08/2016
Enunciado:
Uma bebida contendo 6% de álcool por litro é bombeada em um tonel que inicialmente contém 400 litros de bebida com 3% de álcool. A taxa de bombeamento é de 3 litros por minuto, enquanto o liquido misturado é drenado a uma taxa de 4 litros por minuto. Encontre quantos litros de álcool A(t) há no tanque em qualquer instante. Qual é a porcentagem de álcool no tanque após 60 minutos?
Solução:
Seja a quantidade de sal ( em gramas) no tanque no instante . Para problemas desse tipo, a taxa de variação de é dada por:
Agora, a taxa pela qual o sal entra no tanque é, em gramas por minuto:
Se a solução é drenada a uma taxa de 4 litros por minuto, então a solução se acumula a uma taxa de:
Depois de minutos há litros de solução no tanque. A taxa na qual o sal é drenado é portanto:
Com isso a equação torna-se:
A qual devemos resolver sujeita a condição .
Como o fator de integração é , podemos escrever a expressão da seguinte forma:
Integrando a expressão obtida, temos:
Quando , , logo encontramos . Finalmente, para sabermos qual a porcentagem de álcool no tanque após 60 minutos devemos fazer o seguinte cálculo:
Portanto a porcentagem de álcool após 60 minutos é de 4,1%. Para sabermos em quanto tempo o tanque estará vazio em devemos igualar a expressão acima a 400 litros e encontrarmos o valor de que nos dá minutos.
(
)
(
)
1
3 l/min x 0,06 /
 0,18 /min
Rgl
g
=
=
(
)
34 l/min = -1 l/min
-
t
400
t
-
(
)
2
4 l/min x /
400
4
 /min
400
A
Rgl
t
A
l
t
æö
=
ç÷
-
èø
=
-
4
 0,18
400
4
 0,18
400
4
0,18
400
dAA
dtt
dAA
dtt
dAA
dtt
=-
-
=-
-
+=
-
(
)
012
A
=
(
)
4
400
t
-
-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
444
454
42
4
4004000,18400
400
 40044000,18400
 4000,18400
dAA
ttt
dtt
tdAAttdt
dAttdt
---
---
-
-+×-=×-
-
-+×-=×-
éù
-=×-
ëû
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
44
43
4
4
4000,18400
 4000,06400
 0,06400400
 0,06400400
dAttdt
Attc
Atct
Attct
--
--
éù
-=×-
ëû
-=-+
=-+-
=-+-
òò
0
t
=
12
A
=
4
12
400
c
=-
(
)
(
)
(
)
(
)
4
0,06400400
6014,1
Attct
Ag
=-+-
=
t
()
At
400
t
=
t
12
 taxa de taxa de 
()
entrada de salsaída de sal
 
dAt
dt
RR
æöæö
=+
ç÷ç÷
èøèø
=-