LISTA 13 - PERMUTAÇÕES

Prévia do material em texto

TEOREMA MILITAR 
LISTA 13 – PERMUTAÇÕES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
1. (EEAR 2018) Um professor montará uma prova com
as 4 questões que ele dispõe. O número de maneiras
diferentes que o professor pode montar essa prova,
levando em conta apenas a ordem das questões, é:
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
2. (EEAR 2014) Um determinado brinquedo possui uma
haste onde devem ser colocadas 4 peças de formatos
diferentes. O número de maneiras diferentes de se
montar esse brinquedo é
a) 4
b) 12
c) 24
d) 36
3. (EEAR 2013) Para elaborar uma prova de Inglês, um
professor utilizará 6 questões de vocabulário e 4 de
gramática. O número de maneiras que ele pode ordenar
aleatoriamente essas questões é dado por ____.
)(6 4)!
)(6 4)!
)6! 4!
6!
)
4!
a
b
c
d
+
−

4. (EEAR 2015) A metade do número de anagramas da
palavra PRISMA que começam por S é
a) 10.
b) 20.
c) 30.
d) 60.
5. (EEAR 2009) O número de anagramas da palavra
SARGENTO que começam com S e terminam com O é:
a) 1540
b) 720
c) 120
d) 24
6. (EEAR 2011) O número de anagramas da palavra
SOLEIRA que começam com vogal é:
a) 2720
b) 2780
c) 2860
d) 2880
7. (ESA 2015) O número de anagramas diferentes que
podemos formar com a palavra RANCHO, de modo que
se iniciem com vogal, é:
a) 120
b) 240
c) 720
d) 1440
e) 24
8. (ESA 2014) O número de anagramas diferentes com
as letras da palavra MILITAR que não possuem
consoantes consecutivas que se pode obter é:
a) 60
b) 72
c) 120
d) 186
e) 224
9. (ESA 2013) Colocando-se em ordem alfabética os
anagramas da palavra FUZIL, que posição ocupará
o anagrama ZILUF.
a) 103
b) 104
c) 105
d) 106
e) 107
10. (ESA 2012) Assinale a alternativa cuja palavra possui
60 anagramas.
a) AMEIXA
b) BRANCO
c) BANANA
d) PARQUE
e) PATETA
TEOREMA MILITAR 
LISTA 13 – PERMUTAÇÕES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
NÍVEL 2 - OFICIALATO 
1. (Unicamp 2021) O número de anagramas da palavra
REFLORESTAMENTO que começam com a sequência
FLORES é
a) 9!.
b) 9! 2!.
c) 9! (2!2!).
d) 9! (2!2!2!).
2. (EsPCEx 2021) Oito alunos, entre eles Gomes e
Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da
EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se
que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas
distintas é possível distribuir os 8 alunos, de maneira
que Gomes e Oliveira não fiquem juntos?
a) 8!
b) 7 7!
c) 7!
d) 2 7!
e) 6 7!
3. (Acafe 2020) Um grupo de seis amigos, sendo dois
meninos e quatro meninas, estão comemorando a
formatura do Ensino Médio. O fotógrafo solicitou ao
grupo que se sentasse em um banco de seis lugares e
que os meninos se sentassem nas extremidades do
banco. Com essa configuração, o número de maneiras
distintas que o grupo pode se sentar é de:
a) 720
b) 24
c) 48
d) 120
4. (AFA) 2018) Dez vagas de um estacionamento serão
ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 
vermelhos e 1 branco.
Considerando que uma maneira de isso ocorrer se 
distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o 
total de possibilidades de os seis carros ocuparem as 
dez vagas é igual a 
a) 12.600
b) 16.200
c) 21.600
d) 26.100
5. (Efomm 2017) Quantos anagramas é possível formar
com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais
consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?
a) 24
b) 120
c) 480
d) 1.920 
e) 3.840
6. (EsPCEx 2016) Da análise combinatória, pode-se
afirmar que
a) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11,
formados por três algarismos, é igual a 80. 
b) a quantidade de números ímpares de quatro
algarismos distintos que podemos formar com os
dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual a 24. 
c) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm
as vogais juntas é igual a 60. 
d) no cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com
dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras
que poderão sentar-se em duas cadeiras vizinhas é
igual a 90. 
e) a quantidade de funções injetoras definidas em
A {1, 3, 5}= com valores em B {2, 4, 6, 8}= é igual a
24. 
7. (AFA 2016) Uma caixa contém 10 bolas das quais
3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes
numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores
todas distintas e sem numeração.
A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas
10 bolas de modo que as bolas de mesmo número
fiquem juntas é
a) 8 7!
b) 7!
c) 5 4!
d) 10!
8. (Efomm 2016) A quantidade de anagramas da
palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é
a) 40320.
b) 38160.
c) 37920.
d) 7200.
e) 3600.
TEOREMA MILITAR 
LISTA 13 – PERMUTAÇÕES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
9. (Esc. Naval 2014) A Escola Naval irá distribuir 4 
viagens para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de
Natal e 2 para a cidade de Salvador. De quantos modos
diferentes podemos distribuí-las entre 9 aspirantes,
dando somente uma viagem para cada um?
a) 288
b) 1260
c) 60800
d) 80760
e) 120960
10. (Esc. Naval 2013) Um aspirante da Escola Naval
tem, em urna prateleira de sua estante, 2 livros de
Cálculo, 3 livros de História e 4 livros de Eletricidade. De
quantas maneiras ele pode dispor estes livros na
prateleira de forma que os livros de cada disciplina
estejam sempre juntos?
a) 1728
b) 1280
c) 960
d) 864
e) 288
TEOREMA MILITAR 
LISTA 13 – PERMUTAÇÕES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
GABARITO NÍVEL 1 
1. C
2. C
3. A
4. D
5. B
6. D
7. B
8. B
9. D
10.C
GABARITO NÍVEL 2 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
Queremos calcular quantos são os anagramas que 
podem ser formados com as letras da palavra 
RETAMENTO. Logo, dispondo de 9 letras, com a 
letra E figurando 2 vezes e a letra T figurando 2 
vezes, segue que a resposta é 
(2, 2)
9
9!
P .
2!2!
=
Resposta da questão 2: 
 [E] 
O total de maneiras de distribuirmos os alunos é: 
8! 
E o total de maneiras de termos Gomes e Oliveira 
juntos é: 
2 7! 
Sendo assim, o número de formas pedido é igual a: 
8! 2 7! 8 7! 2 7! 6 7!−  =  −  =  
Resposta da questão 3: 
 [C] 
Existem duas escolhas para a primeira extremidade e 
uma escolha para a segunda extremidade. Ademais, as 
meninas podem ser dispostas de 4P 4! 24= = 
maneiras. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a 
resposta é 2 1 24 48.  = 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
Considerando que as quatro vagas desocupadas são 
objetos idênticos, segue que o resultado é dado por 
(3, 2, 4)
10
10!
P
3! 2! 4!
10 9 8 7 6 5
3 2 2
12600.
=
 
    
=
 
=
Resposta da questão 5: 
 [C] 
A palavra CARAVELAS possui 5 consoantes e 4 
vogais, a única configuração possível dos anagramas 
que apresenta as vogais e consoantes alternadas será 
dada abaixo, onde CO é uma consoante e VO é uma 
vogal. 
Temos então 5 consoantes distintas e 4 vogais com 
3 repetidas. Logo, o número N de anagramas pedido 
será dado por: 
3
5 4
4!
N P P 5! 480
3!
=  =  =
Resposta da questão 6: 
 [E] 
[A] Falsa. O menor múltiplo de 11 de três algarismos é
o 110 e o maior número múltiplo de 11 com 3 
algarismos é 990. Temos então uma P.A. de n
termos, de razão 11, primeiro termo igual a 110 e 
último termo igual a 990.
990 110 (n 1) 11 n 1 80 n 81.= + −   − =  =
[B] Falsa, pois a quantidade correta é 48. 
4 3 2 2 48   =
[C] Falsa. A quantidade correta é 5! 120.=
[D] Falsa, pois existem 9 lugares para o casal se
sentar em duas cadeiras vizinhas, sem esquecer a
permutação das pessoas que formam o casal,
temos 9 2! 18. = 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 13 – PERMUTAÇÕES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
[E] Verdadeira. O número de funções injetoras de A 
em B será dado pelo arranjo de 4 elementos três
a três:
4,3A 4 3 2 24=   =
Resposta da questão 7: 
 [A] 
Pode-se extrair do enunciado que: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3 4
3 bolas amarelas A , A , A
3 bolas verdes V , V , V
4 bolas coloridas C , C , C , C
→
→
→
Importante ressaltar que, embora as 4 bolas coloridas 
não sejam numeradas, elas são todas distintas entre 
si. Matematicamente, não importa se estas são 
distintas por cores ou numeração, motivo pela qual 
elas foram nomeadas como 1 2 3 4C , C , C e C .Os conjuntos de mesmo número devem ficar juntos, 
porém o enunciado é claro em afirmar a “quantidade 
de formas distintas” ou seja, a ordem é importante. 
Pode-se reorganizar as 10 bolas, considerando que as 
de mesma numeração fiquem juntas, em 7 blocos. 
Para ilustrar melhor, pode-se identificar a primeira 
maneira de enfileirar as 10 bolas: 
1 1 2 2 3 3 1 2 3 4A V A V A V C C C C
Daí, nota-se que o número de maneiras de enfileirar 
estes 7 blocos identificados seria permutação de 7, ou 
seja 7!. 
Porém, é preciso lembrar que os blocos com elementos 
de mesma numeração também podem ser 
permutados, pois como já vimos, a ordem é 
importante. 
Assim, o número de maneiras que podemos permutar 
esses elementos isoladamente será: 
1 1A V → permutação de 2, ou seja, 2! 2 1 2=  = 
2 2A V → permutação de 2, ou seja, 2! 2 1 2=  = 
3 3A V → permutação de 2, ou seja, 2! 2 1 2=  = 
Assim, o número de maneias distintas de se enfileirar 
essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo 
número fiquem juntas será: 
2 2 2 7! 8 7!   =  
Resposta da questão 8: 
 [D] 
Considere o diagrama, no qual cada espaço em branco 
pode ser ocupado por no máximo uma vogal. 
_M_R_C_N_T _
Para que não haja vogais juntas, deve-se escolher 3 
dos 6 espaços disponíveis para inserir as vogais E, E
e A. Isso pode ser feito de 
6 6!
20
3 3! 3!
 
= = 
 
maneiras. Definidos os espaços que serão ocupados 
pelas vogais, ainda podemos permutá-las de 
(2)
3
3!
P 3
2!
= = modos. Ademais, também é possível 
permutar as consoantes de 5P 5! 120= = maneiras. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a 
resposta é 20 3 120 7200.  = 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
Trata-se de permutação simples com repetição de 
elementos, ou seja: 
4,3,2 4,3,2
9 9
9! 9 8 7 6 5 4! 9 8 7 6 5
P 9 4 7 5 P 1260
4! 3! 2! 4! 3! 2! 3! 2!
        
= = = =    → =
    
Resposta da questão 10: 
 [A] 
Número de permutações das três disciplinas: 3! 
Número de permutações dos livros de Cálculo: 2! 
Número de permutações dos livros de História: 3! 
Número de permutações dos livros de Eletricidade: 4! 
Portanto, o número de maneiras distintas para dispor 
estes livros na prateleira será dado por: 
3! 2! 3! 4! 6 2 6 24 1728   =    =