14 - Derivada de Função Composta e Regra da Cadeia

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Derivada de Função
Composta e Regra da
Cadeia
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Chegamos aqui em mais uma das partes importantes do curso. Nesta aula,
aprenderemos o que é a famosa regra da cadeia no cálculo de derivadas, com a
qual podemos resolver derivadas que dariam um trabalho excessivamente grande.
Para entender como ela nos facilitará, resolveremos uma derivada usando as
técnicas que aprendemos até aqui usando a seguinte função:
Vamos fazer a derivada desta função usando alguns artifícios e teoremas já
apresentados.
Primeiro, abriremos a função f(x) da seguinte forma:
Aplicaremos agora a derivada da multiplicação de funções.
Agora, resolveremos as derivadas indicadas acima.
Nesta etapa, agrupou-se a segunda parcela, e abaixo resolveremos:
Finalmente, juntamos tudo o que é possível.
Percebam com este exemplo que para resolver o problema apenas utilizando as
regras apresentadas anteriormente, é preciso várias linhas de cálculo feitas com
muito cuidado para não errarmos.
f (x) = (5x2 + 2)
3
f (x) = (5x2 + 2)
2
(5x2 + 2)
f ′ (x) = (5x2 + 2)
2
+ (5x2 + 2)
d (5x2 + 2)
dx
d [(5x2 + 2) (5x2 + 2)]
dx
f ′ (x) = (5x2 + 2)
2
10x + (5x2 + 2) [(5x2 + 2) 10x + (5x2 + 2) 10x]
f ′ (x) = (5x2 + 2)
2
10x + [2(5x2 + 2)(2)10x]
f ′ (x) = [3(5x2 + 2)(2)10x]
Regra da Cadeia
A partir do exemplo mostrado no item anterior, podemos agora formalizar como
funcionará a regra da cadeia.
Portanto, se uma função g(x) for derivável em x e a função f(x) for derivável em g(x),
então, a função composta (fog)(x) será derivável em x e será dada pela expressão
abaixo:
Talvez você não tenha captado a mensagem apenas com a apresentação acima.
Então, mostraremos que podemos aplicar a regra da cadeia neste exemplo que
�zemos no item anterior. Neste caso, vamos chamar a função de h(x) simplesmente
para não confundirmos.
Vamos derivar a função acima pela regra da cadeia. O primeiro passo é separar a
melhor opção para f(x) e g(x). Não existe uma regra para esta escolha, portanto,
usaremos o bom senso. Neste caso, �ca melhor a seguinte separação:
Quando fazemos essa separação, conseguimos montar mesmo que seja
mentalmente a mesma função h(x), porém como a junção de duas outras.
Você pode estar se perguntando: “professor, já foram algumas linhas de cálculo e
não �zemos nada ainda!” A resposta é bem simples: o que foi feito acima você pode
fazer apenas mentalmente. O importante é o passo que será apresentado agora.
Pronto: chegamos à mesma resposta de uma vez só seguindo a fórmula da regra da
cadeia. Derivamos primeiro f(x) que vale:
Agora, derivaremos o g(x) que vale:
(fog) (x) = f ′ (g (x)) g′ (x)
h (x) = (5x2 + 2)
3
f (x) = (x)
3
g (x) = (5x2 + 2)
(fog) (x) = (5x2 + 2)
3
(fog) (x) = f ′ (g (x)) g′ (x)
(fog)′ (x) = 3(5x2 + 2)
(2)
10x
f (x) = (x)
3
f ′ (x) = 3(x)
2
g (x) = (5x2 + 2)
g′ (x) = 10x
O último passo mental é substituir g(x) em f’(x) e depois multiplicar por g’(x).
Por mais que a regra da cadeia exija certa imaginação nossa, ainda assim, ela é
melhor do que fazer linhas e linhas de cálculos aplicando os teoremas das aulas
anteriores.
Se ainda estiver na dúvida a respeito da regra da cadeia, tente resolver a derivada da
função a seguir:
Se reparar bem, a derivada da função acima pelo método convencional será
extremamente grande. Mas se quiser tentar, �que à vontade. A resposta �nal tem
que bater com a solução abaixo:
Finalmente, juntando as parcelas necessárias, chegaremos à seguinte expressão:
Pronto: de uma maneira pouco trabalhosa, chegamos à resposta �nal da derivada.
(fog)′ (x) = 3(5x2 + 2)
(2)
10x
h (x) = (5x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 10)
10
f (x) = (x)
10
g (x) = 5x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 10
f ′ (x) = 10(x)
9
g′ (x) = 20x3 + 9x2 + 4x + 5
fog′ (x) = 10(5x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 10)
9
(20x3 + 9x2 + 4x + 5)
h′ (x) = 10(5x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 10)
9
(20x3 + 9x2 + 4x + 5)
Exercícios
a) Resolva as seguintes derivadas sem usar a regra da cadeia.
f (x) = sen (x)
g (x) = (x3 + x2 + 2)
h (x) = cos (x)
k (x) = 2x
Respostas:
b) Resolva as seguintes derivadas usando a regra da cadeia.
Resposta:
f ′ (x) = cos (x)
g′ (x) = (3x2 + 2x)
h′ (x) = −sen (x)
k′ (x) = 2
f (x) = sen (x3 + x2 + 2)
h (x) = cos (2x)
f (x) = (3x2 + 2x) cos (x3 + x2 + 2)
h (x) = −2sen (2x)
CONECTE-SE
Regra da cadeia.
https://go.eadstock.com.br/bmh
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