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26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/6 Usuário ELIANA VIEIRA NORTE Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 17/02/20 16:36 Enviado 18/02/20 21:14 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 28 horas, 37 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto . A taxa máxima de aumento da densidade é . A taxa máxima de aumento da densidade é . Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é . Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e , sabendo que e . e e Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada parcial de com relação a é: . Já a derivada parcial de com relação a é: . Pergunta 3 Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e e . Com base no exposto, assinale a alternativa correta. As variáveis e são as variáveis independentes. As variáveis e são as variáveis independentes. Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das variáveis e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes. Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função: - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e . Logo, o vetor gradiente é . Pergunta 5 O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . III - O domínio da função é o conjunto . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: IV - O domínio da função é o conjunto . I, IV I, IV Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto . Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto . Pergunta 6 O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio da função corresponde à região a seguir. II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: III. O domínio da função corresponde à região a seguir. IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). I, apenas. I, apenas. 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/6 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições e , portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa. Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é . Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. na direção de . na direção de . Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: , e . Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de é o vetor . Portanto,a derivada direcional é . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 6/6 Quarta-feira, 26 de Fevereiro de 2020 20h12min02s BRT Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como . A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função no ponto P(1,-1). Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim, trocando essas informações na equação do plano obtemos . Pergunta 10 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos , , e . Derivando a função com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e . Assim, . Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/6 Usuário ELIANA VIEIRA NORTE Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Teste ATIVIDADE 4 (A4) Iniciado 18/02/20 22:20 Enviado 18/02/20 23:06 Status Completada Resultado da tentativa 8 em 10 pontos Tempo decorrido 45 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial. Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: F, V, V, F. V, V, V, F. Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação diferencial, temos que sua solução geral é: . Assim: Afirmativa IV: Falsa. Para , temos que . Portanto, é a solução da equação diferencial dada. Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: “Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se a equação é dita linear não homogênea. STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: A equação diferencial tem solução . A equação diferencial tem solução . 0 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/6 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial , escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores para . Como as raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada como . Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”. STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial . . . Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação separável. Separando as variáveis e , podemos reescrever a equação como . Integrando ambos os lados da igualdade, temos . Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução que satisfaça às condições iniciais da forma e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. Considere o seguinte PVI: , e . Analise as afirmativas a seguir: I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. II. A solução do PVI é . III. O valor de umas das constantes da solução geral é . IV. A EDO dada não é homogênea. É correto o que se afirma em: I e II, apenas. I e II, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e II, pois: Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes são (duas raízes reais e distintas). Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/6 , a solução geral é expressa por . A partir das condições iniciais, obtemos o seguinte sistema: (i) (ii) Resolvendo o sistema, obtemos e . Portanto, a solução do PVI é . Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação. De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta: A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1. A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1. Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a classificação pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois . Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta:Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: , onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação: Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população. Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte equação diferencial , onde é a função quantidade de bactérias que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para temos . Resolvendo a equação diferencial, temos , onde e são constantes e . Como temos 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/6 . Portanto, a função que descreve o crescimento dessa população de bactérias é . Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) . SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003. Disponível em: http://www.uel.b r/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019. Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . . . Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos resolvê-la separando as variáveis e , integrando ambos os lados da igualdade em seguida: . Da condição inicial dada, temos que se então . Trocando esses valores na solução, obtemos: . Portanto, a solução do PVI é . Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043% após 15 anos. Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: I. O valor da constante de proporcionalidade é . II. A função que representa o problema descrito é . III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . É correto o que se afirma em: I e IV, apenas. I e II, apenas. Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação diferencial separável , temos que: 1 em 1 pontos 0 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/6 Afirmativa III: incorreta. A quantidade de substância no tempo (em anos) é dada pela função . O tempo de meia-vida é tal que , o qual concluímos anos. Afirmativa IV: incorreta. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é reduzida em 0,043%, o que resulta no valor de . Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução. Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: I. A função é solução da equação diferencial . II. A função é solução da equação diferencial . III. A função é solução da equação diferencial . IV. A função é solução da equação diferencial . É correto o que se afirma em: II e IV, apenas. II e IV, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que Trocando na equação diferencial, temos: Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos e . Trocando , e na equação diferencial, temos: . Pergunta 10 As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade. Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: I. A solução da equação é . II. A solução da equação é . III. A solução da equação é . IV. A solução da equação é . É correto o que se afirma em: 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 6/6 Quarta-feira, 26 de Fevereiro de 2020 20h09min27s BRT Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: I e III, apenas. I e III, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde . Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde . PERGUNTA 1 1. Três engenheiros desejam construir um prédio na cidade de Maringá (PR). Como a construção será financiada, o único investimento imediato que os engenheiros terão será a compra do terreno. Eles decidiram adquirir um terreno que possui área igual à área sob a curva no intervalo , em que e estão em centenas de metros. Se o preço cobrado pelo terreno foi de R$ 15,00 o metro quadrado, quanto cada engenheiro precisou investir? R$ 780.000,00 Explicação passo-a-passo: Precisamos descobrir a área desse gráfico através de uma integral nesse intervalo: Temos 5,2 x 100 m x 100 m = 52.000 m²: 52.000 x 15,00 = R$ 780.000,00 Ou seja cada engenheiro precisa investir R$ 260.000,00 Atividade 1 28/02/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 1/5 Usuário Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 27/02/20 13:35 Enviado 28/02/20 12:59 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 23 horas, 23 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da funçãosão: e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é . Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como . A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função no ponto P(1,-1). Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim, trocando essas informações na equação do plano 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 28/02/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 2/5 obtemos . Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função: - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e . Logo, o vetor gradiente é . Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos , , e . Derivando a função com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 28/02/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 3/5 . Assim, . Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. A equação é uma curva de nível para a função para . A equação é uma curva de nível para a função para . Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de nível, temos que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que . Portanto, a curva de nível da função para é dada pela equação . Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e , sabendo que e . e e Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada parcial de com relação a é: . Já a derivada parcial de com relação a é: . Pergunta 7 Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 28/02/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 4/5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sabendo que e . Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , , e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de e temos . Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função . Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor . A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades. Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: , e . Assim, dado o ponto (3,4), temos . O vetor é unitário, então a derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada: . Pergunta 9 Resposta Selecionada: O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto . A taxa máxima de aumento da densidade é . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 28/02/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 5/5 Sexta-feira, 28 de Fevereiro de 2020 12h59min58s BRT Resposta Correta: Feedback da resposta: A taxa máxima de aumento da densidade é . Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é . Pergunta 10 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando . Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regrada cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos . 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/6 Usuário Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 17/02/20 16:36 Enviado 18/02/20 21:14 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 28 horas, 37 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto . A taxa máxima de aumento da densidade é . A taxa máxima de aumento da densidade é . Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é . Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e , sabendo que e . e e Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada parcial de com relação a é: . Já a derivada parcial de com relação a é: . Pergunta 3 Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e e . Com base no exposto, assinale a alternativa correta. As variáveis e são as variáveis independentes. As variáveis e são as variáveis independentes. Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das variáveis e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes. Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função: - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e . Logo, o vetor gradiente é . Pergunta 5 O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . III - O domínio da função é o conjunto . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: IV - O domínio da função é o conjunto . I, IV I, IV Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto . Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto . Pergunta 6 O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio da função corresponde à região a seguir. II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: III. O domínio da função corresponde à região a seguir. IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). I, apenas. I, apenas. 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/6 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições e , portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa. Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é . Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. na direção de . na direção de . Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: , e . Assim, . Temos ainda que vetor unitáriona direção de é o vetor . Portanto, a derivada direcional é . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 6/6 Quarta-feira, 26 de Fevereiro de 2020 20h12min02s BRT Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como . A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função no ponto P(1,-1). Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim, trocando essas informações na equação do plano obtemos . Pergunta 10 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos , , e . Derivando a função com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e . Assim, . Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/6 Usuário Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Teste ATIVIDADE 4 (A4) Iniciado 18/02/20 22:20 Enviado 18/02/20 23:06 Status Completada Resultado da tentativa 8 em 10 pontos Tempo decorrido 45 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial. Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: F, V, V, F. V, V, V, F. Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação diferencial, temos que sua solução geral é: . Assim: Afirmativa IV: Falsa. Para , temos que . Portanto, é a solução da equação diferencial dada. Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: “Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se a equação é dita linear não homogênea. STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: A equação diferencial tem solução . A equação diferencial tem solução . 0 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/6 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial , escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores para . Como as raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada como . Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”. STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial . . . Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação separável. Separando as variáveis e , podemos reescrever a equação como . Integrando ambos os lados da igualdade, temos . Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução que satisfaça às condições iniciais da forma e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. Considere o seguinte PVI: , e . Analise as afirmativas a seguir: I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. II. A solução do PVI é . III. O valor de umas das constantes da solução geral é . IV. A EDO dada não é homogênea. É correto o que se afirma em: I e II, apenas. I e II, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e II, pois: Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes são (duas raízes reais e distintas). Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/6 , a solução geral é expressa por . A partir das condições iniciais, obtemos o seguinte sistema: (i) (ii) Resolvendo o sistema, obtemos e . Portanto, a solução do PVI é . Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação. De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta: A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1. A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1. Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a classificação pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois . Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Problemasque envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: , onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação: Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população. Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte equação diferencial , onde é a função quantidade de bactérias que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para temos . Resolvendo a equação diferencial, temos , onde e são constantes e . Como temos 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/6 . Portanto, a função que descreve o crescimento dessa população de bactérias é . Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) . SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003. Disponível em: http://www.uel.b r/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019. Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . . . Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos resolvê-la separando as variáveis e , integrando ambos os lados da igualdade em seguida: . Da condição inicial dada, temos que se então . Trocando esses valores na solução, obtemos: . Portanto, a solução do PVI é . Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043% após 15 anos. Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: I. O valor da constante de proporcionalidade é . II. A função que representa o problema descrito é . III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . É correto o que se afirma em: I e IV, apenas. I e II, apenas. Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação diferencial separável , temos que: 1 em 1 pontos 0 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/6 Afirmativa III: incorreta. A quantidade de substância no tempo (em anos) é dada pela função . O tempo de meia-vida é tal que , o qual concluímos anos. Afirmativa IV: incorreta. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é reduzida em 0,043%, o que resulta no valor de . Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução. Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: I. A função é solução da equação diferencial . II. A função é solução da equação diferencial . III. A função é solução da equação diferencial . IV. A função é solução da equação diferencial . É correto o que se afirma em: II e IV, apenas. II e IV, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que Trocando na equação diferencial, temos: Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos e . Trocando , e na equação diferencial, temos: . Pergunta 10 As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade. Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: I. A solução da equação é . II. A solução da equação é . III. A solução da equação é . IV. A solução da equação é . É correto o que se afirma em: 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 26/02/2020 Minha Disciplina https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 6/6 Quarta-feira, 26 de Fevereiro de 2020 20h09min27s BRT Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: I e III, apenas. I e III, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde . Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde . GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 26/02/20 21:42 Enviado 09/03/20 08:50 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 275 horas, 8 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 1 em 1 pontos De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. Resposta Selecionada: na direção de . Resposta Correta: na direção de . Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: , e . Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de é o vetor . Portanto, a derivada direcional é . Pergunta 2 1 em 1 pontos A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2). Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é . Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): - -- A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . Assim, a direção de maior crescimento é . Pergunta 3 1 em 1 pontos O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . III - O domínio da função é o conjunto . IV - O domínio da função é o conjunto . Resposta Selecionada: I, IV Resposta Correta: I, IV Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto . Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto . Pergunta 4 1 em 1 pontos A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima. Resposta Selecionada: Direção e taxa mínima de . Resposta Correta: Direção e taxa mínima de . Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é mínima em . (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima). Pergunta 5 1 em 1 pontos Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sabendo que e . Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , , e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de e temos . Pergunta 6 1 em 1 pontos A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto P(-1,1). Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são: , e . Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é . Pergunta 7 1 em 1 pontos Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. Resposta Selecionada: A equação é uma curva de nível para a função para . Resposta Correta: A equação é uma curva de nível para a função para . Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de nível, temos que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que . Portanto, a curva de nível da função para é dada pela equação . Pergunta 8 1 em 1 pontos O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto . Resposta Selecionada: A taxa máxima de aumento da densidade é . Resposta Correta: A taxa máxima de aumento da densidade é . Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é . Pergunta 9 1 em 1 pontos Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível. A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. Resposta Selecionada: Uma curva de nível é um subconjunto do espaço . Resposta Correta: Uma curva de nível é um subconjunto do espaço . Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma representação geométrica da função no plano recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano . Pergunta 10 1 em 1 pontos A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). Resposta Selecionada: A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. Resposta Correta: A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos , , e . Derivando a função com relação 09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_30794400_1&course_id=_561558_1&content_id=_126339… 1/6 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Unidade 2 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) Usuário Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 27/02/20 09:12 Enviado 09/03/20 17:51 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 272 horas, 38 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveise são funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e , sabendo que e . e e Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada parcial de com relação a é: . Já a derivada parcial de com relação a é: . Pergunta 2 Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos http://portal.anhembi.br/ https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_561558_1 https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_561558_1&content_id=_12633898_1&mode=reset https://anhembi.blackboard.com/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_358_1 https://anhembi.blackboard.com/webapps/login/?action=logout 09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_30794400_1&course_id=_561558_1&content_id=_126339… 2/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos . Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como . A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função no ponto P(1,-1). Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim, trocando essas informações na equação do plano obtemos . Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. na direção de . na direção de . Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: , e . Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de é o 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_30794400_1&course_id=_561558_1&content_id=_126339… 3/6 vetor . Portanto, a derivada direcional é . Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . III - O domínio da função é o conjunto . IV - O domínio da função é o conjunto . I, IV I, IV Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto . Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto . Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2). Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é . Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): - - - 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_30794400_1&course_id=_561558_1&content_id=_126339… 4/6 A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . Assim, a direção de maior crescimento é . Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos , , e . Derivando a função com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e . Assim, . Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. Pergunta 8 O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio da função corresponde à região a seguir. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_30794400_1&course_id=_561558_1&content_id=_126339… 5/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da II. O domínio da função corresponde à região a seguir. III. O domínio da função corresponde à região a seguir. IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). I, apenas. I, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: 09/03/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_30794400_1&course_id=_561558_1&content_id=_126339…6/6 Segunda-feira, 9 de Março de 2020 17h53min03s BRT resposta: Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições e , portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa. Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto . A taxa máxima de aumento da densidade é . A taxa máxima de aumento da densidade é . Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é . Pergunta 10 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sabendo que e . Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , , e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de e temos . ← OK 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos javascript:launch('/webapps/gradebook/do/student/viewAttempts?course_id=_561558_1&method=list&nolaunch_after_review=true'); 09/03/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/6 Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando . Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos . Pergunta 2 O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio da função corresponde à região a seguir. II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 09/03/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: III. O domínio da função corresponde à região a seguir. IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). I, apenas. I, apenas. 09/03/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/6 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições e , portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa. Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função: - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e . Logo, o vetor gradiente é . Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto P(-1,1). Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são: , e . Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 09/03/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/6 Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. O domínio da função é o conjunto . O domínio da função é o conjunto . Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os valores de e : (I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, (II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo, . Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . III - O domínio da função é o conjunto . IV - O domínio da função é o conjunto . I, IV I, IV Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto . Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 09/03/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/6 Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir
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