(Ufpr 2019) O processo de encontrar um polinômio cujo gráfico passa por um determinado conjunto de pontos é chamado interpolação polinomial, e o polinômio obtido nesse processo é conhecido como polinômio interpolador. a) Verifique se ????(????) = ????2 + 2???? − 3 é polinômio interpolador para os pontos ????1(−2, −3), ????2(0, −3) e ????3(1, 0). b) Encontre ????, ????, ????, ???? ∈ ℝ tais que ????(????) = ????????3 + ????????2 + ???????? + ???? seja polinômio interpolador para os pontos ????1(−2, 8), ????2(−1, 1), ????3(1, −4) ????4(2, −8).

Question

(Ufpr 2019)  O processo de encontrar um polinômio cujo gráfico passa por um determinado conjunto de pontos é chamado interpolação polinomial, e o p...

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a) Para verificar se o polinômio ???? (????) = ????2 + 2???? − 3 é um polinômio interpolador para os pontos ????1 (−2, −3), ????2 (0, −3) e ????3 (1, 0), precisamos verificar se ele passa por esses pontos. Substituindo ????1, ????2 e ????3 na equação do polinômio, temos:

???? (−2) = (−2)2 + 2(−2) − 3 = −3
???? (0) = 02 + 2(0) − 3 = −3
???? (1) = 12 + 2(1) − 3 = 0

Como o polinômio passa por todos os pontos, podemos afirmar que ele é um polinômio interpolador para esses pontos.

b) Para encontrar o polinômio interpolador para os pontos ????1 (−2, 8), ????2 (−1, 1), ????3 (1, −4) e ????4 (2, −8), podemos utilizar o método de Lagrange. O polinômio interpolador será dado por:

????(????) = ????1????(????) + ????2????(????) + ????3????(????) + ????4????(????)

onde:

????1(????) = (???? − 1)(???? + 1)(???? − 2)/(3(−3)(−4)) = −????3 + ????2/4 − ????/6 + 1/4
????2(????) = (???? + 2)(???? + 1)(???? − 2)/(2(1)(−3)) = ????3/3 − ????2/2 + ????/3 + 2
????3(????) = (???? + 2)(???? + 1)(???? − 1)/(2(4)(3)) = −????3/18 + ????2/4 − ????/6 − 1/9
????4(????) = (???? + 2)(???? − 1)(???? − 2)/(3(4)(1)) = ????3/4 − ????2/2 + 5????/12 − 1

Substituindo essas expressões na equação do polinômio interpolador, temos:

????(????) = (−????3 + ????2/4 − ????/6 + 1/4)8 + (????3/3 − ????2/2 + ????/3 + 2)1 + (−????3/18 + ????2/4 − ????/6 − 1/9)(−4) + (????3/4 − ????2/2 + 5????/12 − 1)(−8)

Simplificando, temos:

????(????) = −????3/3 + ????2 − 5????/3 + 2

Portanto, o polinômio interpolador para os pontos dados é ???? (????) = −????3/3 + ????2 − 5????/3 + 2.

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10 09 - (Lista de Exercícios - Polinômios III - Divisão de Polinômios e Teorema do Resto)

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(Upf 2019) O resto da divisão do polinômio ????(????) = ???????? + ???? + 2 pelo polinômio ????(????) = ???? − 1 é

a) 2
b) 0
c) 4
d) −1
e) −2

(Udesc 2019) Seja ????(????) um polinômio de grau três tal que ????(0) = 6, ????(1) = 1, ????(2) = 4 e ????(3) = 9. É correto afirmar que ????(4) é igual a:

a) 0
b) 16
c) 10
d) 14
e) 8

(Fgv 2018) O polinômio ????(????) = 6????2 − 5???? + ????2, em que ???? é uma constante complexa, tem 3???? − 4 como um de seus fatores. Assim, necessariamente, ???? será um número

a) imaginário puro.
b) racional não inteiro.
c) irracional.
d) inteiro.
e) positivo.

(Ueg 2018) Os restos da divisão do polinômio ????(????) = 2????4 − 1/√2 ????3 + 2????2 − 1/√2 ???? + 1 pelos polinômios ????(????) = ???? − √2 e ℎ(????) = ???? − √8 são ???? e ????, respectivamente. Dessa forma, ???? + ???? é

a) 0
b) 10
c) 127
d) 137
e) 161

(Ufjf-pism 3 2018) O resto da divisão do polinômio ????(????) = ????10 − 1 pelo polinômio ????(????) = ???? − 20,2 é:

a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.

(Upf 2018) Considere o polinômio ????(????) = 4????3 − ????2 − (5 +????)???? + 3. Sabendo que o resto da divisão de ???? pelo monômio ???? + 2 é 7, determine o valor de ????.

a) 0
b) 15
c) 2
d) 7
e) 21

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(Ueg 2018) Os restos da divisão do polinômio ????(????) = 2????4 − 1/√2 ????3 + 2????2 − 1/√2 ???? + 1 pelos polinômios ????(????) = ???? − √2 e ℎ(????) = ???? − √8 são ???? e ????, respectivamente. Dessa forma, ???? + ???? éa) 0b) 10c) 127d) 137e) 161

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d) −1
e) −2

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c) 10
d) 14
e) 8

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b) racional não inteiro.
c) irracional.
d) inteiro.
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a) 0
b) 10
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b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.

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a) 0
b) 15
c) 2
d) 7
e) 21