Cônicas

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GEOMETRIA ANALÍTICA
ESTUDO DAS
CÔNICAS 
Módulo 7 - Aula 7
Estudo da Elipse
Estudo da Elipse
F2 F1
P 
.
PF1+ PF2 = 2a
onde:
F1F2 = 2f
“Cada planeta descreve uma órbita elíptica, da
qual o Sol ocupa um dos focos”.
(Johannes Kepler - séc. XVII)
Estudo da Elipse
F2 F1 PF1+ PF2 = 2a
onde:
F1F2 = 2f
A2 A1
A1A2 = 2a
P 
.
Estudo da Elipse
F2 F1 PF1+ PF2 = 2a
onde:
F1F2 = 2f
A2 A1
A1A2 = 2a
B1
B2
B1B2 = 2b
C
Estudo da Elipse
F2 F1 PF1+ PF2 = 2a
onde:
F1F2 = 2f
A2 A1
A1A2 = 2a
B1
B2
B1B2 = 2b
C
2a
2f
2b
eixo maior
distância focal
eixo menor
Estudo da Elipse
F2 F1 PF1+ PF2 = 2a
onde:
F1F2 = 2f
A2 A1
A1A2 = 2a
B1
B2
B1B2 = 2b
C
a
Observação
Estudo da Elipse
F2 F1 PF1+ PF2 = 2a
onde:
F1F2 = 2f
A2 A1
A1A2 = 2a
B1
B2
B1B2 = 2b
C
a
Observação
a
P
.
Estudo da Elipse
F2 F1 PF1+ PF2 = 2a
onde:
F1F2 = 2f
A2 A1
A1A2 = 2a
B1
B2
B1B2 = 2b
C
ab
f
a2 = b2 + f2
Pitágoras
Excentricidade: f 
a
Estudo da Elipse
F2 F1
A2 A1
B1
B2
0
Equação da Elipse
y
x
2add
2PF1PF
=+
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
P 
.
Estudo da Elipse
F2
A2 A1
B1
B2
0
Equação da Elipse
y
x
2add
2PF1PF
=+
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
a
b
Lembrando...:
Estudo da ElipseUNESP-2005
(Meio do Ano)
Estudo da ElipseUNESP-2005
(Meio do Ano)
F1 F2
A1 A2
B1
B2
0
y
x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
Resolução
Estudo da ElipseUNESP-2005
(Meio do Ano)
−2 2A1 A2
B1
B2
0
y
x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
6
Resolução
Estudo da ElipseUNESP-2005
(Meio do Ano)
−2 2A1 A2
B1
B2
0
y
x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
3
Resolução
Estudo da ElipseUNESP-2005
(Meio do Ano)
−2 2A1 A2
B1
B2
0
y
x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
3
2
b
a2 = b2 + f2
Pitágoras
32 = b2 + 22
b = 5
1
)5(
y
3
x
2
2
2
2
=+
Resolução
Estudo da ElipseUNESP-2005
(Meio do Ano)
−2 2A2 A1
B1
B2
0
y
x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
3
2
b
a2 = b2 + f2
Pitágoras
32 = b2 + 22
b = 5
1
5
y
9
x 22
=+
Resolução
Estudo da ElipseUNESP-2005
(Meio do Ano)
1
5
y
9
x 22
=+
Estudo da Elipse
Resumindo...:
F1F2
A2 A1
B1
B2
0
y
x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
F1
F2
A1
A2
B1B2
0
y
x
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+
Equação Reduzida
Estudo da Elipse
Observação:
F2 F1
A2 A1
B1
B2
C
y
x
Estudo da Elipse
Observação:
( ) ( )
1
b
y-y
a
x-x
2
2
C
2
2
C =+
Equação Reduzida
F2 F1
A2 A1
B1
B2
C
y
xxC
yC
Exercícios
01. (FGV) – No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas
x = 2 cos t e y = 5 sen t com t  IR é:
a) uma senóide
b) uma cossenóide
c) uma hipérbole
d) uma circunferência
e) uma elipse
Resolução:
cos t = 
sen t = 
2
x
5
y
cos2t + sen2t = 1 
mas:
2
x
5
y
2 2
+ = 1
Resposta:
4
x
25
y
2 2
+ = 1
Elipse de eixo maior 10 e eixo menor 4
b2 = 4
a2 = 25 
2a 2b
Elipse
.
02. (USF) – As medidas dos lados de um retângulo são iguais às medidas do
eixo maior e do eixo menor da elipse de equação . Nessas
condições, a diagonal do retângulo mede, em u. c.:
a) 8
b) 4
c)
d) 3
e)
10
x
6
y
2 2
+ = 1
10
3
Exercícios
Resolução:
a2 = 10
b2 = 6 
d
 10a=
 6b=
2a
2b
.
Exercícios
Resolução:
a2 = 10
b2 = 6 
Resposta:
02. (USF) – As medidas dos lados de um retângulo são iguais às medidas do
eixo maior e do eixo menor da elipse de equação . Nessas
condições, a diagonal do retângulo mede, em u. c.:
a) 8
b) 4
c)
d) 3
e)
10
x
6
y
2 2
+ = 1
10
3
102
62
d
d2 =( )2 + ( )262 102
d2 = 24 + 40
d2 = 64
d = 8
 10a=
 6b=
Pitágoras
Exercícios
Resolução:
03. (UFC) – O número de pontos de intersecção das curvas x2 + y2 = 4 e
é igual a:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
15
x
2
y2 2
+ = 1
() x2 + y2 = 4
15
x
2
y2 2
+ = 1(e)
C = (0; 0)
R = 2
C = (0; 0)
a2 = 15
b2 = 2


15a=
2b=
Esboço
x
y
0 2−2
2
−2

03. (UFC) – O número de pontos de intersecção das curvas x2 + y2 = 4 e
é igual a:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
15
x
2
y2 2
+ = 1
Exercícios
Resolução:
() x2 + y2 = 4
15
x
2
y2 2
+ = 1(e)
C = (0; 0)
R = 2
C = (0; 0)
a2 = 15
b2 = 2


15a=
2b=
Esboço
x
y
0 2−2
2
−2
1515−
2
2−
12
43
Resposta: 4 pontos de intersecção

e
a) x2 + y2 = 9 b)x2 + y2 = 10 c) 16x2 + 25y2 = 1
d)16x2 + 25y2 = 400 e) 16x2 – 25y2 = 1
Exercícios
Resolução:
O plano , esquematizado na figura,
está orientado pelos eixos
cartesianos Ox e Oy. Nesse plano
estão os pontos A(-3; 0) e B(3; 0)
e P, de tal modo que PA + PB é
sempre constante e igual a 10. O
deslocamento de P sobre o plano
 gera uma trajetória cuja
equação cartesiana é:
y
x
04. (UNIVEST)
A B
.P
Exercícios
Resolução:
O plano , esquematizado na figura,
está orientado pelos eixos
cartesianos Ox e Ou. Nesse plano
estão os pontos A(-3; 0) e B(3; 0)
e P, de tal modo que PA + PB é
sempre constante e igual a 10. O
deslocamento de P sobre o plano
 gera uma trajetória cuja
equação cartesiana é:
y
x
04. (UNIVEST)
A B
.P
a) x2 + y2 = 9 b) x2 + y2 = 10 c) 16x2 + 25y2 = 1
d)16x2 + 25y2 = 400 e) 16x2 – 25y2 = 1
3
ab
a = 5
b = 4 (Pitagórico)
.P
a
x
b
y
2
2
+ = 1
2
2
Exercícios
Resolução:
O plano , esquematizado na figura,
está orientado pelos eixos
cartesianos Ox e Ou. Nesse plano
estão os pontos A(-3; 0) e B(3; 0)
e P, de tal modo que PA + PB é
sempre constante e igual a 10. O
deslocamento de P sobre o plano
 gera uma trajetória cuja
equação cartesiana é:
25
x
16
y2 2
+ = 1
y
x
04. (UNIVEST)
A B
.P
a) x2 + y2 = 9 b)x2 + y2 = 10 c) 16x2 + 25y2 = 1
d)16x2 + 25y2 = 400 e) 16x2 – 25y2 = 1
3
ab
a = 5
b = 4 (Pitagórico)  (25)  (16) 16x2 + 25y2 = 400
Resposta
.P
Exercícios
Resolução:
5
x
7
y2 2
+ = 1
05. (UNESP) – A figura representa uma elipse.
x
y
11
7
3
−8 −5 −2 0
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
−+ +
17)(y5)(x 22 =−+ +
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
+− +
1
7
4)(y
5
3)(x 22
=
−+ +
A partir dos dados disponíveis, 
a equação desta elipse é 
a) 
b)
c)
d)
e)
Exercícios
Resolução:
5
x
7
y2 2
+ = 1
05. (UNESP) – A figura representa uma elipse.
a = 4
b = 3
x
y
11
7
3
−8 −5 −2 0
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
−+ +
17)(y5)(x 22 =−+ +
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
+− +
1
7
4)(y
5
3)(x 22
=
−+ +
C
a
b
( ) ( )
1
b
y-y
a
x-x
2
2
C
2
2
C =+
Equação Reduzida
A partir dos dados disponíveis, 
a equação desta elipse é 
a) 
b)
c)
d)
e)
ATENÇÃO!!
Exercícios
Resolução:
5
x
7
y2 2
+ = 1
05. (UNESP) – A figura representa uma elipse.
a = 4
b = 3
x
y
11
7
3
−8 −5 −2 0
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
−+ +
17)(y5)(x 22 =−+ +
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
+− +
1
7
4)(y
5
3)(x 22
=
−+ +
C
a
b
+ = 1
(x – xC)
2 (y – yC)
2
b2 a2
A partir dos dados disponíveis, 
a equação desta elipse é 
a) 
b)
c)
d)
e)
Exercícios
Resolução:
5
x
7
y2 2
+ = 1
05. (UNESP) – A figura representa uma elipse.
a = 4
b = 3
x
y
11
7
3
−8 −5 −2 0
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
−+ +
17)(y5)(x 22 =−+ +
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
+− +
1
7
4)(y
5
3)(x 22
=
−+ +
C
a
b
+ = 1
(x – xC)
2 (y – yC)
2
b2 a2
A partir dos dados disponíveis, 
a equação desta elipse é 
a) 
b)
c)
d)
e)
Exercícios
Resolução:
5
x
7
y2 2
+ = 1
05. (UNESP) – A figura representa uma elipse.
a = 4
b = 3
x
y
11
7
3
−8 −5 −2 0
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
−+ +
17)(y5)(x 22 =−+ +
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
+− +
1
7
4)(y
5
3)(x 22
=
−+ +
C
a
b
+ = 1
(x + 5)2 (y – 7)2
32 42
A partir dos dados disponíveis, 
a equação desta elipse é 
a) 
b)
c)
d)
e)
A partir dos dados disponíveis, 
a equação desta elipse é 
a) 
b)
c)
d)
e)
Exercícios
Resolução:
5
x
7
y2 2
+ = 1
05. (UNESP) – A figura representa uma elipse.
a = 4
b = 3
x
y
11
7
3
−8 −5 −2 0
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
−+ +
17)(y5)(x 22 =−+ +
1
16
7)(y
9
5)(x 22
=
+− +
1
7
4)(y
5
3)(x 22
=
−+ +
C
a
b
+ = 1
(x + 5)2 (y – 7)2
9 16
R e s p o s t a
Estudoda Hipérbole
Estudo da Hipérbole
PF1 − PF2 = 2a
onde:
F1F2 = 2f
F2 F1
P 
.
Estudo da Hipérbole
onde:
F1F2 = 2f
F2 F1
PF1 − PF2 = 2a
A2 A1
Elementos da Hipérbole
Estudo da Hipérbole
onde:
F1F2 = 2f
F2 F1
PF1 − PF2 = 2a
A2 A1C
d1 d2
Elementos da Hipérbole
Estudo da Hipérbole
onde:
F1F2 = 2f
F2 F1
PF1 − PF2 = 2a
A2 A1C
d1 d2
Elementos da Hipérbole
Estudo da Hipérbole
onde:
F1F2 = 2f
F2 F1
PF1 − PF2 = 2a
A2 A1C
d1 d2
B1
B2
A1A2 = 2a
Elementos da Hipérbole
Estudo da Hipérbole
onde:
F1F2 = 2f
F2 F1
PF1 − PF2 = 2a
A2 A1C
d1 d2
B1
B2
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
Elementos da Hipérbole
Estudo da Hipérbole
onde:
F1F2 = 2f
F2 F1
PF1 − PF2 = 2a
A2 A1C
d1 d2
B1
B2
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
2a
eixo transversal
2b
eixo conjugado
distância focal
2f
assíntotas
Estudo da Hipérbole
onde:
F1F2 = 2f
F2 F1
PF1 − PF2 = 2a
A2 A1C
d1 d2
B1
B2
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
f2 = a2 + b2
Pitágoras
a
b
f
Excentricidade: f 
a
Estudo da Hipérbole
F2 F1
A2 A1C
d1 d2
B1
B2
Equação da Hipérbole
y
x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
Equação Reduzida
2add
2PF1PF
=−
b
a
Estudo da Hipérbole
F2 F1
A2 A1C
d1 d2
B1
B2
Resumindo...:
y
x
F2
F1
A2
A1
C
d1
d2
B1
B2
y
x
Equação Reduzida
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
Equação Reduzida
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=−
Estudo da Hipérbole
F2 F1
A2 A1
d1 d2
B1
B2
Observação:
y
x
C
Estudo da Hipérbole
F2 F1
A2 A1
d1 d2
B1
B2
Observação:
y
x
Equação Reduzida
1
b
)y-(y
a
)x-(x
2
2
2
2
CC =−
xC
yC
C
Exercícios
01. (USF) – Se a diagonal de um quadrado coincide com o eixo transverso da
hipérbole de equação , a área desse quadrado, em unidades de
área, é igual a:
a) 90
b) 72
c) 50
d) 48
e) 36
Resolução:
Resposta:
1
25
y
36
x 22 =−
1
25
y
36
x 22 =−
a2 = 36 b2 = 25
a = 6 b = 5
2a = 12
2b = 10
(eixo transverso)
(eixo conjugado)
12
d = L 2
L =
2
d
SQ = 2
d
2
SQ =
d
2
2
SQ = 72
SQ =
12
2
2
=
144
2
e)
02. (CESGRANRIO) – O gráfico que melhor representa a curva de equação
x2 – 16y2 = 16 é:
Exercícios
Resolução:
a)
x
y
4
4
−4
−4
b)
x
y
4
4
−4
c)
x
y
4
1
−4
−1
d)
x
y
4−4
x
y
4
−4
x2 – 16y2 = 16 ( 16)
1
1
y
16
x 22 =−
a2 = 16
a = 4
2a = 8
(eixo transverso no 
eixo das abscissas)
e)
02. (CESGRANRIO) – O gráfico que melhor representa a curva de equação
x2 – 16y2 = 16 é:
Exercícios
Resolução:
a)
x
y
4
4
−4
−4
b)
x
y
4
4
−4
c)
x
y
4
1
−4
−1
d)
x
y
4−4
x
y
4
−4
x2 – 16y2 = 16 ( 16)
1
1
y
16
x 22 =−
a2 = 16
a = 4
2a = 8
(eixo transverso no 
eixo das abscissas)
03. (UFSCar) – A equação que mais aproximadamente é representada pela
curva abaixo é:
Exercícios
Resolução:
a) x . y = 1
b) x + y – 1 = 0
c) x . y = 0
d) x2 – y = 0
e) x – y – 1 = 0
x
y
Observação:
x
y
Hipérbole
Equilátera x
y
ou
y = x
y = −x
F1
F2 F2
F1
(2a = 2b) x . y = k
com k > 0
Equação
x . y = k
com k < 0
Equação
04. (IBMEC) – Faça um esboço do gráfico de cada uma das curvas abaixo
Exercícios
Resolução:
a) 1
4
y
9
x 22 =+ b) x2 – y2 = 0 c)
x
4y=
Resolução: Resolução:
Elipse fatorando...: Hipérbole Equilátera
x . y = 4a2 = 9
b2 = 4


a = 3
b = 2
x
y
x
y
x
y
3−3
2
−2
(x – y).(x + y) = 0
oux – y = 0 x + y = 0
x + y = 0
x – y = 0
Estudo da Parábola
Exemplo:
(UNIRP) – O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que
equidistam do ponto (2; 0) e da reta x = −2 é uma:
a) reta.
b) circunferência.
c) elipse.
d) parábola.
e) hipérbole.
Resolução
x
y
Estudo da Parábola
Exemplo:
(UNIRP) – O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que
equidistam do ponto (2; 0) e da reta x = −2 é uma:
a) reta.
b) circunferência.
c) elipse.
d) parábola.
e) hipérbole.
Resolução
x
y
A
.
2
x = −2
−2
(UNIRP) – O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que
equidistam do ponto (2; 0) e da reta x = −2 é uma:
a) reta.
b) circunferência.
c) elipse.
d) parábola.
e) hipérbole.
Estudo da Parábola
Exemplo:
Resolução
x
y
A
.
2
x = −2
−2
Equação da Parábola:
P = (x; y)
dA,P = dP,d
d
( ) ( )22 0y2x −+− =
( ) ( )22 01
2x
+
+2 2
( ) 22 y2x +− ( )
1
2x
2
+
=
x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + 4x + 4
y2 = 8x
Estudo da Parábola
Generalizando...:
Equações da Parábola:
x
y
F
.
x + f = 0
P = (x; y)
d
y2 = 4 . f . x
x
y
F
.
x − f = 0
d
y2 = − 4 . f . x
P(x; y)
Eixo de simetria contido no eixo “x” 
e vértice na origem (voltada 
para a direita)
Eixo de simetria contido no eixo “x” 
e vértice na origem (voltada 
para a esquerda)
Estudo da Parábola
Generalizando...:
Equações da Parábola:
x
y
F .
y + f = 0d
x2 = 4 . f . y x2 = − 4 . f . y
Eixo de simetria contido no eixo “y” 
e vértice na origem (voltada 
para cima)
Eixo de simetria contido no eixo “y” 
e vértice na origem (voltada 
para baixo)
x
y
F .
y − f = 0d
01. (USF) – Um círculo com centro no ponto (1, 4) passa pelo foco da
parábola y2 = −8x. A área desse círculo, em unidades de área, é:
Exercícios
a) 25
b) 16
c) 9
d) 8
e) 4
Resolução
x
y
01. (USF) – Um círculo com centro no ponto (1, 4) passa pelo foco da
parábola y2 = −8x. A área desse círculo, em unidades de área, é:
Exercícios
a) 25
b) 16
c) 9
d) 8
e) 4
Resolução
y
F x
C
1
4
R
Lembrando...:
y2 = −8x  y2 = − 4 . f . x
Logo: f = 2
2
Retângulo:
R
3
4
Pitagórico
R = 5
02. (USF) – Um triângulo, que tem como vértices os focos das parábolas
x2 = −12y, y2 = 16x e y2 = −12x, tem perímetro, em unidades de comprimento,
igual a:
Exercícios
Resolução
a) 12
b) 12 +
c) 3 . (4 + )
d) 12 . (1 + )
e) 30
2
2
2
2
02. (USF) – Um triângulo, que tem como vértices os focos das parábolas
x2 = −12y, y2 = 16x e y2 = −12x, tem perímetro, em unidades de comprimento,
igual a:
Exercícios
Resolução
a) 12
b) 12 +
c) 3 . (4 + )
d) 12 . (1 + )
e) 30
2
2
2
2
y
x
y2 = −12x y2 = 16x
x2 = −12yF1
F2F3
y
x
y2 = −12x y2 = 16x
x2 = −12y−3
4−3
02. (USF) – Um triângulo, que tem como vértices os focos das parábolas
x2 = −12y, y2 = 16x e y2 = −12x, tem perímetro, em unidades de comprimento,
igual a:
Exercícios
Resolução
a) 12
b) 12 +
c) 3 . (4 + )
d) 12 . (1 + )
e) 30
2
2
2
2
y
x
y2 = −12x y2 = 16x
x2 = −12yF1
F2F3
y
x
−3
4−3
523
7
2p = 5 7 23+ +
2p = 12 + 3 2
Perímetro