C2 Lista Semanal 3 - 2022_4 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2022 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 3
Questão 1. Considere os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2). Usando as
propriedades de vetores no R3, mostre que o ponto médio entre A e B, isto é, o ponto
P pertencente ao segmento AB tal que AP = BP , é dado por
P =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z2
2
)
.
Solução: Um ponto Q pertencente ao segmento AB pode ser escrito da seguinte
maneira:
Q(s) = A+ s
−→
AB, 0 ≤ s ≤ 1,
onde s representa a fração do comprimento ao longo do seguimento AB. Para obter
o ponto médio, portanto, devemos escolher s = 1
2
. Logo, temos:
P = Q
(
1
2
)
= A+
1
2
−→
AB
= (x1, y1, z1) +
1
2
(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
=
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z2
2
)
.
Substituindo P = A+
1
2
−→
AB na fórmula da norma de um vetor, verifica-se que:
AP = ||
−→
AP || = ||
−−→
BP || = BP .
Questão 2. Três forças
−→
F 1,
−→
F 2 e
−→
F 3 atuam sobre um objeto colocado na origem de
um sistema de coordenadas retangulares no plano, conforme figura abaixo. Sabendo
que ||
−→
F 1|| = 6
√
3, ||
−→
F 2|| = 3
√
3 e ||
−→
F 3|| = 6
√
2, determine a intensidade da força
resultante e o ângulo que ela forma com o vetor
−→
i .
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 3
Solução: Escrevendo a força resultante como
−→
F = Fx
−→
i + Fy
−→
j , temos:
Fx =
−→
F · −→i
=
(−→
F1 +
−→
F2 +
−→
F3
)
· −→i
=
(−→
F1 ·
−→
i +
−→
F2 ·
−→
i +
−→
F3 ·
−→
i
)
.
Temos:
−→
F1 ·
−→
i = ||
−→
F1||||
−→
i || cos
(π
3
)
= 6
√
3 · 1 · 1
2
= 3
√
3,
−→
F2 ·
−→
i = ||
−→
F2||||
−→
i || cos
(π
6
)
= 3
√
3 · 1 ·
√
3
2
=
9
2
,
−→
F3 ·
−→
i = ||
−→
F3||||
−→
i || cos
(
3π
4
)
= 6
√
2 · 1 ·
(
−
√
2
2
)
= −6.
Assim, obtemos:
Fx = 3
√
3 +
9
2
− 6 = 3
(√
3− 1
2
)
.
2
Cálculo II Lista de Exercícios 3
Já para a componente Fy, temos:
Fy =
−→
F · −→j
=
(−→
F1 +
−→
F2 +
−→
F3
)
· −→j
=
(−→
F1 ·
−→
j +
−→
F2 ·
−→
j +
−→
F3 ·
−→
j
)
.
Temos:
−→
F1 ·
−→
j = ||
−→
F1||||
−→
j || cos
(π
6
)
= 6
√
3 · 1 ·
√
3
2
= 9,
−→
F2 ·
−→
j = ||
−→
F2||||
−→
j || cos
(
2π
3
)
= 3
√
3 · 1 ·
(
−1
2
)
= −3
√
3
2
,
−→
F3 ·
−→
j = ||
−→
F3||||
−→
j || cos
(
3π
4
)
= 6
√
2 · 1 ·
(
−
√
2
2
)
= −6.
Assim, obtemos:
Fy = 9−
3
√
3
2
− 6 = 3
(
1−
√
3
2
)
.
Portanto, a força resultante é:
−→
F = 3
[(√
3− 1
2
)
−→
i +
(
1−
√
3
2
)
−→
j
]
.
A intensidade da força resultante é:
||
−→
F || = 3
√√√√(√3− 1
2
)2
+
(
1−
√
3
2
)2
= 3
√
3−
√
3 +
1
4
+ 1−
√
3 +
3
4
= 3
√
5− 2
√
3.
3
Cálculo II Lista de Exercícios 3
Já o ângulo α com o vetor
−→
i é dado por:
cos(α) =
−→
F · −→i
||
−→
F || · ||−→i ||
=
3
(√
3− 1
2
)
3
√
5− 2
√
3 · 1
=⇒ α = arccos
( (√
3− 1
2
)√
5− 2
√
3
)
.
Questão 3. Determine o ângulo formado pelas retas
x
3
=
y − 1
5
=
z − 2
2
e a reta
que passa pelos pontos A = (1, 0,−3) e B = (4, 2, 2).
Solução: Seja r a reta definida através das equações simétricas. Podemos identificar
diretamente que o vetor −→v1 = (3, 5, 2) é paralelo a r. Sendo s a reta que passa pelos
pontos A e B, um vetor paralelo a s é −→v2 = B − A = (3, 2, 5). Portanto, denotando
por α ângulo entre as retas r e s, resulta:
cos(α) =
−→v1 · −→v2
||−→v1 || · ||−→v2 ||
=
29√
38
√
38
=⇒ α = arccos
(
29
38
)
.
Informações para resolver a Questão 4: dados dois vetores −→u ,−→v ∈ R3, o produto
vetorial −→u ×−→v é um vetor de R3 tal que
• −→u × −→v é ortogonal a −→u e a −→v (e o seu sentido obedece à chamada regra da
mão direita);
• ||−→u ×−→v || = ||−→u ||.||−→v ||. sen(θ) onde θ é o ângulo formado entre −→u e −→v .
Questão 4. Uma partícula de carga q, que se move com velocidade −→v numa região
onde existe um campo magnético uniforme
−→
B , sofre a ação da chamada Força de
Lorentz, dada por
−→
F = q(−→v ×
−→
B ).
a) Determine a intensidade da força de Lorentz
−→
F para uma partícula com carga
q = −1, 6 · 10−19C, que se move com velocidade −→v = 2 · 106m/s−→i sob a ação de
um campo magnético
−→
B = 1, 5 · 10−9
−→
k T.
b) Determine o ângulo que a força
−→
F forma com o plano determinado pelos vetores
−→v e
−→
B . Justifique.
Nota: as unidades estão todas no S.I., de modo que a força resultante estará na
unidade padrão Newton (N).
Solução:
4
Cálculo II Lista de Exercícios 3
a) A intensidade da força de Lorentz é:
||
−→
F || = ||q
(−→v ×−→B) ||
= |q| · ||−→v || · ||
−→
B || · sin(θ)
= 1, 6 · 10−19 · 2 · 106 · 1, 5 · 10−9 · sin
(π
2
)
N
= 4, 8 · 10−22 N.
b) Por definição do produto vetorial, a força
−→
F é perpendicular tanto ao vetor −→v
quanto ao vetor
−→
B . Assim, sua projeção ao longo do plano formado por esses
vetores será nula, o que implica que o ângulo entre
−→
F e o plano determinado pelos
vetores −→v e
−→
B é de 90◦.
Informações para resolver a Questão 5: dados dois planos α e β em R3, definimos o
ângulo entre α e β como sendo igual ao ângulo entre vetores −→u e −→v onde −→u é um
vetor normal a α e −→v é um vetor normal a β.
Questão 5. Determine o ângulo entre os planos
α : x+ 4y − 3z = 1
e
β : −3x+ 6y + 7z = 0.
Solução: Sendo −→u um vetor normal ao plano α e −→v e um vetor normal ao plano
β, podemos tomar:
−→u = (1, 4,−3),
−→v = (−3, 6, 7).
Portanto, sendo θ o ângulo entre os vetores −→u e −→v , resulta:
cos(θ) =
−→v · −→u
||−→v || · ||−→u ||
= 0
=⇒ θ = π
2
.
5