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137TÓPICO 4 | VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL
III. a & e b & são perpendiculares entre si.
Neste caso, u 5 90°; então, cos u 5 0.
s 5 a 2 b
II. a & e b & têm a mesma direção e sentidos opostos.
Neste caso, u 5 180°; então, cos u 5 21.
180°
(a . b)
b a s
s2 5 a2 1 b2 2 2 a b ⇒ s2 5 (a 2 b)2
a
sb
(Teorema de Pitágoras)
s2 5 a
2 1 b2
Nível 1Exercícios
 1. A respeito das grandezas físicas escalares e ve-
toriais, analise as proposições a seguir:
(01) As escalares ficam perfeitamente definidas, 
mediante um valor numérico acompanhado 
da respectiva unidade de medida.
(02) As vetoriais, além de exigirem na sua defini-
ção um valor numérico, denominado módulo 
ou intensidade, acompanhado da respectiva 
unidade de medida, requerem, ainda, uma 
direção e um sentido.
(04) Comprimento, área, volume, tempo e massa 
são grandezas escalares.
(08) Deslocamento, velocidade, aceleração e força 
são grandezas vetoriais.
Dê como resposta a soma dos números associados 
às proposições corretas.
 2. Na figura, temos três vetores coplanares formando 
uma linha poligonal fechada. A respeito, vale a 
relação:
a) a& 1 b& 5 c&.
b) a& 5 b& 1 c&.
c) a& 1 b& 1 c& 5 0&.
d) a& 1 b& 2 c& 5 0&.
e) a& 5 b& 2 c&.
 3. Dados os vetores A & e B &, a melhor representação 
para o vetor A& 1 B& é:
a) b) c)
d)
e)
A B
 4. Numa competição de arco e flecha, o que faz a 
flecha atingir altas velocidades é a ação da for-
ça resultante R &, obtida por meio da soma veto-
rial entre as forças F &1 e F &2 exercidas pelo fio 
impulsor. A figura que melhor representa a 
resultante R & é:
a)
R
d)
R
e)
R
b) R
c) R
F
1
F
2
a
c
b
B
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138 UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
 5. Num plano a, temos dois vetores a& e b& de mes-
ma origem formando um ângulo u. Se os mó-
dulos de a& de b& são, respectivamente, iguais a 
3 u e 4 u, em que u é uma unidade arbitrária, 
determine o módulo do vetor soma em cada 
um dos casos seguintes:
a) u 5 0°;
b) u 5 90°;
c) u 5 180°;
d) u 5 60°.
 Resolução:
a) Se o ângulo formado pelos vetores é 0°, 
eles possuem a mesma direção e o mesmo 
sentido:
0
a
b
Sendo s o módulo do vetor soma, temos:
s 5 a 1 b ⇒ s 5 3 1 4
s 5 7 u
b) Se u 5 90°, podemos 
calcular o módulo s 
do vetor soma apli-
cando o Teorema de 
Pitágoras:
s2 5 a2 1 b2 ⇒ s2 5 32 1 42
s 5 5 u
c) Se o ângulo formado pelos vetores é 180°, 
eles possuem a mesma direção e sentidos 
opostos:
b
0
a
u
O módulo s do vetor soma fica determinado 
por:
s 5 b 2 a ⇒ s 5 4 2 3
s 5 1 u
d) Para u 5 60°, aplicando a Lei dos Cossenos, 
obtemos:
0
u 5 60º
b
s
a
s2 5 a2 1 b21 2ab cos u
s2 5 32 1 42 1 2(3)(4) cos 60°
s 9 16 24
1
2
s 372 2s 92 2s 9 162 2242 2
12 2s 32 2s 3⇒2 2⇒2 25 1s 95 1s 92 25 12 2s 92 25 15 12 21 ?241 ?2 21 ?2 2242 21 ?1 ?2 2s 35s 3
s > 6 u
E.R.
 6. Determine o módulo do vetor soma de a& (a 5 60 u) 
com b& (b 5 80 u) em cada caso:
a) 0
b
a
b) 0a b
c) 
0
a
b
 7. Considere dois vetores, u& e v &, de módulos respec-
tivamente iguais a 10 unidades e 15 unidades. 
Qual o intervalo de valores admissíveis para o 
módulo do vetor s &, soma de u & com v &?
 8. Dois vetores a& e b&, de mesma origem, formam 
entre si um ângulo u 5 60°. Se os módulos desses 
vetores são a 5 7 u e b 5 8 u, qual o módulo do 
vetor soma?
 9. (UFRN) Qual é o módulo da resultante das forças 
coplanares M&, N &, P &, e Q & aplicadas ao ponto 0, 
como se mostra na figura abaixo?
1 N
1 N
OQ N
M
P
 10. A figura mostra um sistema de seis forças apli-
cadas em uma partícula. O lado de cada quadra-
do na figura representa uma força de intensidade 
1,0 N.
F
5
F
3
F
6
F
4
F
1
F
2
1 N
1 N
A força resultante do sistema tem módulo igual a:
a) zero
b) 3,0 N
c) 4,0 N
d) 5,0 N
e) 6,0 N
b
a
s 
= 
a 
+ 
b
u
0
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139TÓPICO 4 | VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL
Exercícios Nível 2
 11. Considere as grandezas físicas relacionadas a 
seguir, acompanhadas de um código numérico:
Energia (1) Aceleração (5)
Massa (2) Deslocamento (6)
Força (3) Tempo (7)
Densidade (4) Velocidade (8)
Escrevendo em ordem crescente os códigos as-
sociados às grandezas escalares e os códigos 
associados às grandezas vetoriais, obtemos 
dois números com quatro algarismos cada um. 
Determine:
a) o número correspondente às grandezas esca-
lares;
b) o número correspondente às grandezas veto-
riais.
 12. (UPM-SP) Com seis vetores de 
módulos iguais a 8 u, cons-
truiu-se o hexágono regular ao 
lado. O módulo do vetor resul-
tante desses seis vetores é:
a) zero.
b) 16 u.
c) 24 u.
d) 32 u.
e) 40 u.
 13. (UPM-SP) A figura mostra 5 forças representadas 
por vetores de origem comum, dirigindo-se aos 
vértices de um hexágono 
regular.
Sendo 10 N o módulo da for-
ça F &C, a intensidade da re-
sultante dessas 5 forças é:
a) 50 N. d) 35 N.
b) 45 N. e) 30 N.
c) 40 N.
 14. No plano quadriculado a seguir, temos três 
vetores, a &, b& e c &:
1u
1u
a
b
c
Qual é o módulo do vetor resultante da soma 
desses vetores?
E.R.
 Resolução:
Inicialmente, devemos trasladar os vetores, 
de modo que a origem de um coincida com a 
extremidade do outro, tomando cuidado para 
manter as características (direção, sentido e 
módulo) de cada vetor sem alteração.
O vetor resultante é aquele que fecha a linha 
poligonal.
1u
1u
a
b
c
s
Observe que o vetor resultante é a hipotenu-
sa de um triângulo retângulo de catetos 3 u 
e 4 u. Aplicando o Teorema de Pitágoras, te-
mos:
s2 5 32 1 42 ⇒ s2 5 9 1 16 ⇒ s2 5 25
s 5 5 u
 15. No plano quadriculado abaixo, estão representa-
dos três vetores: x &, y & e z &.
1u
1u
x
z
y
Determine o módulo do vetor soma s& 5 x & 1 y & 1 z &.
 16. (UPM-SP) O vetor resultante da 
soma de tAB-, tBE- e tCA- é:
a) tAE-. d) tCE-.
b) tAD-. e) tBC-.
c) tCD-.
 17. Na figura estão representadas 14 forças. O lado 
de cada quadrícula da figura representa uma força 
de intensidade 1,0 N.
A força resultante do sis-
tema das 14 forças tem 
intensidade igual a:
a) 10,0 N. d) 29,0 N.
b) 16,0 N. e) 42,0 N.
c) 26,0 N.
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