Superficie Piramidal Teoría

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2020-2
SUPERFICIE PIRAMIDAL Y 
PIRÁMIDE
TEORÍA
SUPERFICIE PIRAMIDAL
Definición.- Se denomina superficie piramidal, a la superficie generada por
una recta que se desplaza por una poligonal plana simple o polígono y un
punto fijo, no contenido en el plano de la poligonal
Generatriz
Directriz
Hoja o 
manto
VérticeO
B
D
C
E
Hoja o 
manto A
La superficie piramidal es 
cerrada, si la directriz es 
un polígono
SUPERFICIE PIRAMIDAL
Definición.- Se denomina superficie piramidal, la generada por una línea
recta que se desplaza de manera que pasa por una poligonal fija y por un
punto fijo no contenido en el plano de la poligonal.
O
B
D
C
E
A
La superficie piramidal es
abierta, si la directriz es
una poligonal abierta
PIRÁMIDE
Definición.- Es el poliedro determinado por un plano secante a una
superficie piramidal. La base de una pirámide es una región poligonal y las
caras laterales son regiones triangulares.
Vértice
O
D
C
E
A
B
Base
Cara lateral
Arista lateral
Arista básica
Altura
CLASIFICACIÓN DE LAS PIRÁMIDES
Una pirámide es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., según que su
base sea una región triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
A
B
C
V
A
B
C
V
D
A
B
C
V
B C
Pirámide 
cuadrangular
Pirámide 
triangular
Pirámide 
pentagonal
V
D
C
A O
B
PIRÁMIDE REGULAR
V–A BCD es una pirámide regular
O: centro de la base
VO: altura de la pirámide
M: punto medio de CD
VM: apotema de la pirámide
M•
Definición.- Es una pirámide cuya base es una región poligonal regular y
las aristas laterales congruentes entre sí.
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL Y TOTAL DE 
UNA PIRÁMIDE REGULAR
D
B
C
D
C
B
A
F
E
EE
A
V
F
C D
B
Sector poligonal
Superficie lateral
Se denomina superficie lateral de
una pirámide a la unión de todas
las caras laterales de la pirámide.
Se denomina superficie total de
una pirámide a la unión de la
superficie lateral y las bases de la
pirámide.
El área total de una pirámide es el
área de la superficie total de la
pirámide y se denota por ST.
Superficie Total
El área lateral de una pirámide es
el área de la superficie lateral de la
pirámide y se denota por SL.
B
ÁREA LATERAL DE UNA PIRÁMIDE REGULAR
Teorema.- El área lateral de una pirámide regular es igual al producto del 
semiperímetro de la base y la longitud del apotema de la pirámide.
V
D
C
A
M
ap
V – ABCD es una pirámide 
regular
SL: área lateral
pB: semiperímetro de la base
ap: longitud de apotema de la pirámide
SL =(pB)(ap)
ÁREA TOTAL DE UNA PIRÁMIDE REGULAR
Teorema.- El área total de una pirámide regular es igual a la suma del área 
lateral y el área de la base.
V – ABCD es una 
pirámide regular
ST: área total
SL: área lateral
SB: área de la base
V
D
C
A
ST = SL + SB
B
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DETERMINADO POR UNA 
PIRÁMIDE
Teorema.- El volumen del sólido determinado por una pirámide es igual a 
un tercio del producto del área de su base y la longitud de su altura.
En la figura, el volumen
del sólido determinado
por la pirámide es
Sb: área de la base
h: longitud de la altura
EA
V
C
DB
h
SB
V = 
1
3
(SB)(h)
2020-2
RAZÓN DE VOLÚMENES EN 
PIRÁMIDES
PIRAMIDES CON EL ÁNGULO TRIEDRO CONGRUENTE EN EL 
VÉRTICE
Teorema.- Si dos pirámides de base triangular tienen congruentes el ángulo
triedro determinado en el vértice de cada pirámide, entonces los volúmenes
de los sólidos determinados por las pirámides son proporcionales a los
productos de las longitudes de las aristas que concurren en dichos vértices.
VV−ABC
VO−MNL
=
abc
mnl
LM
O
N
m l
n
A
B
C
V
a
b
c
PIRÁMIDES SEMEJANTES 
Definición.- En una pirámide, al trazar un plano secante a la superficie
lateral y paralelo a la base, se determina una pirámide parcial y semejante a
la pirámide dada, cuya base es una sección transversal de pirámide.
A
B
C
V
H
Si los planos ABC y MNL son paralelos,
entonces las pirámides V-ABC y O-MNL
son semejantes
h
M
NL
PIRÁMIDES SEMEJANTES 
Teorema.- Si dos pirámides son semejantes, entonces sus elementos
homólogos correspondientes son proporcionales.
Teorema.- Si dos pirámides son semejantes, entonces las áreas de sus
superficies laterales y totales son proporcionales a las longitudes de sus
elementos homólogos elevados al cuadrado.
Teorema.- Si dos pirámides son semejantes, entonces sus volúmenes son
proporcionales a las longitudes de sus elementos homólogos elevados al
cubo.
PIRÁMIDES SEMEJANTES 
A
B
C
V
H
Las pirámides V-ABC y O-MNL son 
semejantes
h
M
NL
VA
VL
=
VB
VM
=
VC
VN
=
AB
LM
=
BC
MN
=
CA
NL
=
H
h
= ⋯
SLV−ABC
SLV−LMN
=
STV−ABC
STV−LMN
=
VA ²
(VL)²
=
(AB)²
(LM)²
=
H²
h²
= ⋯
V
V−ABC
V
V−LMN
=
(VA)³
(VL)³
=
(AB)³
(LM)³
=
H³
h³
= ⋯
2020-2
TRONCO DE PIRÁMIDE 
TRONCO DE PIRÁMIDE
Definición.- Se denomina tronco de pirámide, al poliedro determinado por 
una pirámide y un plano secante a todas las aristas laterales.
ABCDE–ABCDE es un tronco 
de pirámide
A E
DB
C
V
A
B
D
E
C
TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS
Definición.- Es el tronco de pirámide cuyas bases están contenidas en 
planos paralelos.
 
H 
C 
D 
A 
B 
E 
B 
C 
D 
E 
P 
A 
ABCDE–ABCDE es un tronco
de pirámide de bases paralelas
TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Definición.- Se denomina tronco de pirámide regular al tronco de pirámide
de bases paralelas cuyas bases son regiones poligonales regulares y las
caras laterales son regiones trapeciales isósceles congruentes.
ABCDEF–ABCDEF es un
tronco de pirámide de bases
paralelas
MN: Apotema del tronco de 
pirámide
a
q
b
C b D
b
M
O
aa
B
A
B
C D
E
F
b
O
bb
a
A
E
F
b
b
a
a
a
N
F
A
A
B
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL 
Y TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
A
A
B
B
D
D
E
E
F
F
C
C
A
A
F
A
C
B
C D
B
A
B
C D
E
F
A
E
F
Superficie lateral
Se denomina superficie lateral de
un tronco pirámide a la unión de
todas las caras laterales del tronco
de pirámide.
El área lateral de un tronco de
pirámide es el área de la superficie
lateral del pirámide y se denota
por SL.
Se denomina superficie total de
un tronco de pirámide a la unión
de la superficie lateral y las bases
del tronco de pirámide.
El área total de un tronco de
pirámide es el área de la superficie
total del tronco de pirámide y se
denota por ST.
Superficie Total
ÁREA LATERAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Teorema.- El área lateral de un tronco de pirámide regular es igual al
producto de la suma de los semiperímetros de las bases y la longitud del
apotema.
ABCDEF-A’B’C’D’F’ es un tronco de 
pirámide regular
SL: área lateral
pS: perímetro de la base inferior
pS’: perímetro de la base superior
ap: longitud del apotema del tronco
C D
B
A
B
C D
E
F
A
E
F
S
S’
N
M
ap
SL = (pS + pS’)ap
ÁREA TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Teorema.- El área total de un tronco de pirámide regular es igual a la suma 
del área lateral y las áreas de las bases.
ABCDEF-A’B’C’D’F’ es un tronco 
de pirámide regular
ST: área total
SL: área lateral
S: área de la base inferior
S’: área de la base superior
C D
B
A
B
C D
E
F
A
E
F
S
S’ M
ST = SL + S + S’
VOLUMEN DEL SÓLIDO DETERMINADO POR UN TRONCO 
DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS
Teorema.- El volumen del sólido determinado por un tronco de pirámide de
bases paralelas es igual un tercio del producto de la longitud de la altura y
la suma de las áreas de las bases con la media geométrica de las mismas.
ABCDEF-A’B’C’D’F’ es un 
tronco de pirámide regular
h: altura
S: área de la base inferior
S’: área de la base superior
C D
B
A
B
C D
E
F
A
E
F
S
S’ M
h
V = 
h
3
(S + S’ + S.S’)
PRISMOIDE
Definición.- Es el poliedro que tiene sus vértices contenidos en dos planos
paralelos y su caras laterales puede ser regiones triangulares, trapeciales o
paralelográmica.
Las regiones poligonales ABCDE
y FGHI son paralelas, entonces
ABCDE-FGHIes un Prismoide.
Al prismoide también se le conoce
como prismatoide o antiprisma.C D
F
I
B
A
E
G H
K M
VOLUMEN DEL SÓLIDO DETERMINADO POR UN PRISMOIDE
Teorema.- El volumen del sólido determinado por un prismoide es igual un
sexto del producto de la longitud de la altura y la suma de las áreas de las
bases y del cuádruplo del área de la sección media.
ABCDE-FGHI es un prismoide
C D
A
F I
G
B E
H
La sección media resulta de la
intersección de un prismoide y
un plano que biseca a todas las
aristas laterales.
JKLPMNOP es la sección media
V = 
1
6
(S1 + S2 + 4SM)
L
NJ
P O
S1
S2
SM