Pirâmide Regular: Área e Volume

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Pirâmide regular
A pirâmide regular é aquela cuja base é um polígono regular e cujas arestas laterais são 
congruentes entre si.
Uma pirâmide regular tem as seguintes características:
• a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base;
• as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles 
congruentes;
• o apótema da pirâmide regular, indicado por g, é a altura de uma face lateral relativa à 
aresta da base.
Vejamos essas características indicadas nas pirâmides regulares seguintes:
v
(a base é um triângulo eqüilátero)
V
Pirâmide quadrangular regular 
(a base é um quadrado)
V
(a base é um hexágono regular)
Relação noiável
Notemos que em uma pirâmide regular qualquer, gJ = m2 + h 1 ,em que h é a altura, 
m è o apótema da base e g é o apótema da pirâmide.
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/O Areas e volume
Área da base (Ab)
A área da base da pirâmide é a área do polígono da base.
Área lateral (At)
A área lateral é a área da superfície lateral da pirâmide.
Como a superfície lateral de uma pirâmide é a reunião das suas faces laterais (triân­
gulos), então:
Af = soma das áreas das faces laterais
Área total (At)
A soma da área da base com a área lateral da pirâmide tem como resultado a área total:
A, = Ab + A(
Volume (V)
Consideremos um prisma triangular cuja base tem área Ab e cuja 
altura é h.
Secionando esse prisma pelo plano BDF, obtemos duas pirâmides: 
uma pirâmide triangular P„ de base DEF e altura h, e uma pirâmide 
quadrangular P7.
Secionando P> pelo plano ABF, obtemos duas pirâmides triangulares: uma pirâmide P3 
de base ADF e uma pirâmide Ps de base ACF.
PIRÂMIDE
Pode-se provar que as pirâmides P „P 3 e P4 são equivalentes e, portanto, têm volumes 
iguais a V.
Como P„ P3 e P4 constituem juntas o prisma inicial, temos:
V + V + V = Ab -h
ou seja:
V = Ab ■ h 
3
Em geral, prova-se que o volume de qualquer pirâmide é dado pela fórmula:
V = —— (área da base) (medida da altura)
V = ^ - - A b -h
— --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quando a pirâmide de Quéops terminou de ser construída tinha 146 m de altura e 
233 m de aresta da base. Sabendo que essa pirâmide é uma pirâmide regular quadrangular, 
vamos calcular sua área e seu volume.
Área
A área da base é:
Ab = (AB)2 = (233 m)2 = 54 289 m2
A área lateral é igual à soma das áreas de quatro 
triângulos isósceles congruentes, um dos quais é o triân­
gulo AVB, de base AB = 233 m e altura VM .
No AVMH, retângulo, temos:
(VH)2 + (MH)2 = (VM)2 => (146)2 + = (VM)2 => VM s 186,78 m
Logo:
At = 4 - Aaavm = 4 ■ . CABKVML = 2(AB)(VM) = 2(233 m)(186,78 m) = 87 039,48 m2 
A, = Ab + A, = 54 289 m2 + 87 039,48 m2 = 141 328,48 m2 
Volume
V = - L . Ab - h = J - (54 289 m2)(146 m) = 2 642 064, 67 m3
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