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6ºAula
 Torção
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• desenvolver fórmulas para as deformações e tensões em barras circulares submetidas à torção;
• analisar o estado de tensão conhecido como cisalhamento puro e obter a relação entre os módulos de elasticidade 
E e G em tração e cisalhamento, respectivamente;
• analisar eixos de rotação e saber determinar a potência que eles transmitem.
Olá, caros(as) alunos(as), nesta aula, veremos os efeitos da 
aplicação de um carregamento de torção a um elemento longo 
e reta, como um eixo ou tubo. Desta forma, torna-se relevante 
o estudo desta aula, pois através dela, poderemos determinar 
a distribuição da tensão no interior do elemento e o ângulo de 
torção quando o material se comporta de maneira linear elástica. 
Bons estudos!
38Mecânica dos Sólidos
Seções de estudo
1- Torção
2- Momento Torçor ou torque
3- Tensão de Cisalhamento na Torção (�)
4- Energia e deformação na torção
1- Torção
1.1 Introdução
Denominamos “Torção” quando há a deformação 
de um sólido em que os planos vizinhos sofrem, cada um 
deles, um deslocamento angular relativo aos outros planos, 
ou seja, é quando um objeto sofre uma deformação ao ser 
submetido a um movimento de rotação, fazendo-se girar 
em sentido contrário as suas partes constituintes. Logo, uma 
peça submete-se a esforço de torção, em consequência da 
atuação de um torque em uma das suas extremidades e um 
“contratorque na extremidade oposta”. 
Denominamos “torque” da ocasião onde um elemento 
tende a ser torcido em torno do seu eixo longitudinal. Observe 
a Figura 6.1 que ilustra fi sicamente o que acontece quando um 
torque é aplicado a um eixo circular considerando que este 
seja feito de um material com alto grau de deformação, como 
a borracha por exemplo. Note que quando o torque é aplicado 
em (a), os círculos e as retas longitudinais da grade, marcados 
originalmente no eixo, tendem a se distorcer e deformar o 
material como o padrão mostrado em (b) (HIBBELER, 
2010).
Um exemplo de barra em torção presente no nosso dia 
a dia são as brocas de uma furadeira ou o movimento de uma 
chave de fenda ao apertar um parafuso por “rosqueamento”, 
este último ocasionado devido ao torque T aplicado no cabo. 
Figura 6.1 - Deformações de uma barra circular em 
torção pura.
Fonte: Hibbeler, 2010.
2- Momento Torçor ou torque
O torque que atua em uma peça é defi nido como o 
produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância 
entre o ponto de aplicação da carga e o centro da secção 
transversal. Por essas observações, podemos considerar que, 
se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio 
do eixo permanecerão inalterados (TIMOSHENKO; GERE, 
1983).
Portanto, podemos expressar matematicamente o 
momento torçor como:
Onde,
 – Momento de torçor ou torque [Nm];
− Carga aplicada [N];
 Distância entre o ponto de aplicação da carga e o 
polo [m].
Já para fi ns mecânicos, de torques provocados em polias, 
engrenagens, rodas de atritos, correntes, etc. este torque pode 
ser defi nido como:
Onde, 
 – Torque [Nm];
 Força tangencial [N];
raio da peça [m].
Exemplo 1 – Uma árvore de aço possui diâmetro d = 30 
mm, gira com uma velocidade angular ω = 20π rad/s, movida 
por uma força tangencial Determine para o 
movimento da árvore o torque.
Fonte: Melconian, 2007.
Solução:
Para a árvore de aço usaremos a fórmula de torque: 
 (Resposta).
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3- Tensão de Cisalhamento na 
Torção (�)
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, ele 
cria um torque interno correspondente no interior do eixo. 
Podemos defi nir a tensão de cisalhamento atuante na secção 
transversal da peça do elemento pela expressão:
Onde, p = potência [W].
Se p = 0 então a tensão de cisalhamento, no centro da 
secção transversal, será nula, ou seja, τ = 0.
Se p = r. Teremos então, 
Visto que a tensão aumentará à medida que o ponto 
estudado se afasta do centro e aproxima-se da periferia. 
A tensão máxima de cisalhamento na secção ocorrerá na 
distância máxima entre o centro e a periferia, ou seja, quando 
o p = r. Para esta fórmula está relacionado ao momento 
polar de inércia que, juntamente com r (raio da secção 
transversal), pode ser substituído pelo valor de = módulo 
de resistência polar da secção transversal. Têm-se assim: 
Exemplo 2. Suponha que um eixo-árvore, possua 
diâmetro d = 40mm, e comprimento l=0,9 m, e gira a uma 
velocidade angular ω = 20 π rad/s, movido por um torque 
 = 200Nm. Desta forma, a tensão máxima atuante será:
Fonte: Melconian, 2007.
Para estes casos podemos determinar a tensão de 
cisalhamento máximo, nos tirantes como: 
 = 15,9 (Resposta)
4- Energia e deformação na torção
4.1 Transmissão de Potência
Denominamos potência a resultante da realização de um 
trabalho na unidade de tempo. Frequentemente eixos e tubos 
de seções transversais circulares são utilizados para transmitir 
potência desenvolvida por uma máquina. Quando estes são 
usados para essa fi nalidade, fi cam sujeitos a torques que 
dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade 
angular do eixo (HIBBELER, 2010).
Logo, o trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual 
ao produto entre o torque aplicado e o ângulo de rotação. 
Portanto, se durante um instante dt um torque for aplicado τ 
provocará a rotação de no eixo, então a potência instantânea 
será:
Como a velocidade angular do eixo é ω = dt/dθ, também 
podemos expressar a potência sendo:
A unidade de potência no SI é determinada em W (watt), 
também pode ser utilizadas outras unidades fora do SI como 
o cv (cavalo vapor): cv 735,5W ou hp (horse power): hp 
745,6 W. 
É importante frisar no estudo de Hibbeler (2010) que, 
em termos de potência, quando se trata de máquinas rotativas, 
é relevante informar a frequência de rotação de um eixo, f . A 
medição desta frequência é dada pelo número de revoluções 
ou ciclos que o eixo faz por segundo e é expressa em Hertz, 
tem-se que 1 Hz = 1 ciclo/s. Se 1 ciclo = 2π rad, então ω = 
2πf. 
Portanto, para máquinas rotativas temos: 
Exemplo 3. Um eixo tubular com diâmetro interno de 30 
mm e diâmetro externo de 42 mm será usado para transmitir 
90 kW de potência. Determine a frequência de rotação do 
eixo de modo que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 
50 MPa.
Solução:
Utilizando o conceito de torque máximo aplicado no 
eixo, podemos usar a fórmula de torção, assim temos:
Utilizando o valor de T, assim podemos determinar a 
frequência de rotação como,
40Mecânica dos Sólidos
4.2 Distorção (ϒ)
Já aprendemos na seção anterior que o torque que atua na 
secção transversal de uma peça provoca um deslocamento de 
um ponto que podemos chamar de (A), da periferia para uma 
posição A’ por exemplo. Desta maneira, na longitude do eixo, 
origina-se uma deformação de cisalhamento, denominada de 
distorção, representada pela letra grega ϒ, que é determinada 
em radianos, através da resultante da relação da tensão de 
cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal 
do material, podendo assim ser expressa como: 
Onde,
ϒ – distorção [rad];
Τ – tensão atuante [ ]
G – Módulo de elasticidade transversal do material [ ].
Figura 6.2 – Relação de Distorção. 
Fonte: Pascon, 2017.
O deslocamento descrito na distorção gera, na secção 
transversal da peça, um ângulo de torção (θ), que é defi nido 
através da expressão. 
Onde, 
Θ – ângulo de torção [radianos]
- torque
l – comprimento da peça
- Momento polar de inércia
G – módulo de elasticidade transversal do material. 
Exemplo 4 – Utilizando os dados da situação hipotética 
do exemplo 2, podemos determinar a distorção (ϒ) e o ângulo 
de torção (θ) como:
O Módulo de elasticidade transversal do material do aço 
é G= 80GPa
Para distorção,
Para o ângulo de torção,
O momento polar é dado por: 
Logo,
 
Θ = 8,95x (Resposta)
Ao fi nal desta sexta aula, vamos recordar sobre o que 
aprendemos até aqui.
Retomando a aula
1- Torção
Na seção 1, vimos que torção se refere ao giro de uma 
barra retilínea quandocarregada por momentos (ou torques) 
que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da 
barra. Deste modo, um elemento se submete a um esforço 
de tensão quando há um torque atuante em uma das suas 
extremidades e um contra torque na extremidade oposta. 
2- Momento Torçor ou torque
Na seção 2, estudamos que são chamados de torques, 
ou momentos torçores, os momentos que produzem giro 
na barra, torcendo um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal.
3- Tensão de Cisalhamento na Torção (�)
Na seção 3, vimos como se comporta a tensão de 
cisalhamento em um momento de torção, podendo-se 
determinar a tensão máxima de cisalhamento atuante na seção 
transversal. 
4- Energia e deformação na torção
Na seção 4, aprendemos que os membros cilíndricos 
submetidos a torques podem transmitir potência através de 
rotação e são chamados de eixos, podendo ser dimensionados 
além da potência, de acordo com o movimento circular, a sua 
velocidade angular, frequência, rotação, velocidade periférica 
e o seu torque. 
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Ensaio de torção. Disponível em: http://www.dema.
ufscar.br/termomec/index.php/simulacao-fisica/ensaio-
de-torcao. Acesso em: 10.10.2020.
Vale a pena acessar
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais. 7. 
ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010. 659 p.
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos 
Materiais. 18. ed. São Paulo: Érica Ltda, 2007. 360 p.
TIMOSHENKO, Stephen P.; GERE, James. Mecânica 
dos Sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos, 
1983. 268 p.
Vale a pena ler
Vale a pena
Ensaio de torção. Disponível em: https://www.
youtube.com/watch?v=0jXdgnoGoVM. Acesso em: 
10.10.2020.
Vale a pena assistir
Minhas anotações