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1. Dados os pontos A(3, 12) e B(5, 16), qual é a equação reduzida de reta que
contém A e B?
Resolução:
Para A3, 12, temos
b ax y  
12  a(3)  b
b a   3 12
12 3   b a
Para B5, 16, temos
y  ax  b
16  a(5)  b
16  5a  b
5a  b 16



 
 
5 16
3 12
a b
a b
 

 
   
5 16
3 12 ( 1)
a b
a b
  
 
   
5 16
3 12
a b
a b
4 0 2
16 5
12 3
 



 
   
a
b a
b a
4 2  a
2
4
 a
a  2
12 3   b a
12 ) 2( 3   b
12 6   b
b 12  6
6  b
y  2x  6
2. Um veículo, inicialmente no ponto A de coordenadas (1200, 1000), partiu para
noroeste formando um ângulo de 45° com a horizontal.
Qual é a equação reduzida da reta que descreve a trajetória do veículo?
Resolução:
( ) ( ) 0 0 y  y  m x  x
A(1200, 1000)
m  tg 45
1  m
( y 1000)  1(x 1200)
y 1000  x 1200
y  x 1200 1000
y  x  200
3. Dada reta r de equação geral r:5x-4y+9=0, qual é a inclinação de r?
Resolução:
5x  4y  9  0
954x y
954x y
4
9
4
5
 
x
y
4
5
tg( ) 
) 25, 1( tgarc 
  34, 51 
4. Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A(-3, 7) e tem vetor
diretor ) 2 , 4( v

.
Resolução:
) 7 , 3(A
v  (4, 2)

r A tv

: 
r : (3, 7)  t(4, 2)
5. A aeronave apresentada na imagem a seguir tem uma trajetória cuja
inclinação corresponde a 60° em relação à linha horizontal do mapa e está no
ponto A de coordenadas (200, 100) para um dado sistema de eixos coordenados.
Com base nestas informações, obtenha uma equação vetorial da reta que
descreve a trajetória da aeronave. Considere tg 60°=1,73.
Resolução:
x
y
tg( ) 
x
y
tg(60) 
x
y
1,73 
1
1,73
1,73 
v  (1; 1,73)

A(200, 100)
r A tv

: 
r : (200, 100)  t(1; 1,73)
6. A aeronave apresentada na imagem a seguir tem uma trajetória cuja
inclinação corresponde a 60° em relação à linha horizontal do mapa e está no
ponto A de coordenadas (200, 100) para um dado sistema de eixos coordenados.
Com base nestas informações, obtenha as equações paramétricas da reta que
descreve a trajetória da aeronave. Considere tg 60°=1,73.
Resolução:
A(200, 100)
x
y
tg( ) 
x
y
tg(60) 
x
y
1,73 
1
1,73
1,73 
v  (1; 1,73)

 

 
 
y y y t
x x x t
r
v
v
0
0 :



 
 
y t
x t
r
100 1,73
200
:
7. Obtenha uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos P(-5, 4, 2) e
Q(3, -3, 9).
Resolução:
v  PQ

v  Q  P

v  (3,  3, 9)  (5, 4, 2)

) 7 , 7 , 8( v

P(5, 4, 2)
r P tv

: 
r : (5, 4, 2)  t(8,  7, 7)
8. Quais são as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(2, 5,
2) e B(0, 11, 13)?
Resolução:
v  AB

v  B  A

v  (0, 11, 13)  (2, 5, 2)

v  (2, 6, 11)

A(2, 5, 2)





 
 
 
z z z t
y y y t
x x x t
r
v
v
v
0
0
0
:



 
 
 
z t
y t
x t
r
2 11
5 6
2 2
:
9. Obtenha a equação simétrica da reta r que contém o ponto A e tem vetor
diretor v

conforme a figura a seguir.
Resolução:
v v y
y y
x
x x
 
0 0 


A(2,  4)
v  (3, 3)

3
) 4 (
3
2  


y x
3
4
3
2 



x y
10. Dada a reta r por meio da equação
4
9
2
1 



x y
,
obtenha a respectiva equação reduzida y=ax+b.
Resolução:
4
9
2
1 



x y
2y  9  4x 1
2y 18  4x  4
2y  4x  4 18
2y  4x 14
2
14
2
4
2
2
  
y x
y  2x  7
11. Duas aeronaves possuem trajetórias dadas pelas retas r e s de equações
r:(3, 1)+t(4, 2) e s:(1, 1)+t(-3, 5).
Obtenha o menor ângulo formado pelas trajetórias destas aeronaves.
Resolução:
r : (3, 1)  t(4, 2)
u  (4, 2)

s : (1, 1)  t(3, 5)
v  (3, 5)

| | . | |
| . |
cos
u v
u v
 
 
 
| (4, 2) | . | ( 3, 5) |
| (4, 2).( 3, 5) |
cos


 
2 2 2 2 4 2 . ( 3) 5
| (4).( 3) (2).(5) |
cos
  
 
 
16 4. 9 25
| 12 10 |
cos
 
 
 
20. 34
| 2 |
cos

 
680
2
cos  
26,076810
2
cos 
0,076696 cos  
  arc cos0,076696
  6, 85 
12. Obtenha o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações





 
 






 
  
 
z t
y t
x t
r
z t
y t
x t
r
4 6
e : 2 2
1 5
5
7 4
: 1 2
Resolução:
u  (4, 1, 5)

v  (1,  2, 6)

| | . | |
| . |
cos
u v
u v
 
 
 
| (4, 1, 5) | . | (1, 2, 6) |
| (4, 1, 5).(1, 2, 6) |
cos


 
2 2 2 2 2 2 4 1 5 . 1 ( 2) 6
| (4).(1) (1).( 2) (5).(6) |
cos
    
  
 
16 1 25. 1 4 36
| 4 2 30 |
cos
   
 
 
42. 41
| 32 |
cos 
1722
32
cos 
41,496988
32
cos 
0,771140 cos  
  arc cos 0,771140
  39,54