DISTRIBUICAO AMOSTRAL DA MEDIA

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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
1º) As alturas dos 5.000 alunos de uma universidade, apresenta distribuição normal com média 1,68 m e 
desvio-padrão de 0,20 m. 
a) Qual a probabilidade de que uma amostra com 100 alunos, selecionada ao acaso com reposição, tenha 
altura média inferior a 1,65m? 
 
 SOLUÇÃO
( ) ( ) ( ) ( )
100
0,20 
n
X X e 1,68 X X ==== σ σμμ
1,50 - 
100
20,0
1,68 - 1,65 
) x ( 
) x ( - x z ===
σ
μ
 
 
 
z
( )zf
-1,50 1,50 X
 ( )xf
1,65 1,68 
 
 
 0,4332 - 0,5 ) 1,50 z 0 ( p - 0,5 ) 1,50 - z ( p ) 1,65 x ( p =≤≤=≤=≤ = 0,0668 (6,68%) 
 
 b) Qual a probabilidade de que uma amostra com 100 alunos, selecionada ao acaso com reposição, tenha 
altura média entre 1,64 e 1,70 m? 
 
 SOLUÇÃO 
 e 1,0 
100
20,0
1,68 - 1,70 
) x ( 
) x ( - x z 22 === σ
μ 2,0 - 
100
20,0
1,68 - 1,64 
) x ( 
) x ( - x z 11 === σ
μ
 
 
X
 ( )xf
1,68 1,70 1,64 
 z
 
z)f(
- 2,0 1,0 
 
=+=≤≤+≤≤=≤≤=≤≤ 0,4772 0,3413 1,0) z (0 p 2,0) z (0 p 1,0) - z 2,0 (- p 1,70) x (1,64 p 0,8185 (81,85%) 
 
 1 
c) Determine o tamanho mínimo da amostra de modo que a probabilidade da sua altura média estar en- 
SOLUÇÃO
ter 1,65 e 1,71 seja de 85%. 
 
 
 Da tabela normal : 
 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒
=⇒
 0,425) de próximo (mais 1,44 z 0,4251 
1,43 z 0,4236 
1
1 
 Assim: 
⇒==⇒=⇒
−
=⇒
−
= ) x ( x z μ 9,6 
03,0
0,20 . 1,44 n 
0,20
n . 0,03 1,44 
n
0,20
 1,68 1,71 1,44 
) x ( 1 σ
 n = 92,2 
Assim a amostra deve conter, no mínimo, 93 alunos. 
 
º) Os pesos dos 2.000 funcionários de uma indústria, apresenta distribuição normal com média 73 kg e 
e que uma amostra com 81 funcionários, selecionada ao acaso, sem reposição, 
LUÇÃO
2
desvio- padrão de 11 kg. 
a) Qual a probabilidade d
tenha peso médio superior a 75 kg? 
 SO 
Embora a amostra tenha sido gerada sem reposição, como os 81 funcionários representam menos do que 
 
 
5% da população, não é preciso utilizar o fator de correção. 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
81
11 
n
X X e 75 X === X = σσμ 
 
μ
1,64 
81
11
73 - 75 
) x ( 
) x ( - x z ===
σ
μ 
 
 == 0,4495 - 0,5 ) ≤≤=≥=≥ z 0 ( - 0,5 ) 1,64 z ( p ) 75 x ( p 0,0505 (5,05%) 
 
1,64 p
 
2 
1,65 1,71 1,68 X
( )xf ( )zf
0,425 0,425 
x75 73 
( )xf
1,64 z
( )zf
0,425
1z Z
b) Qual a probabilidade de que uma amostra com 81 funcionários, selecionada ao acaso sem reposição, 
 SOLUÇÃO
tenha peso médio inferior a 72 kg? 
 
 
 
 0,82 - 
81
11
73 - 72 
) x ( 
) x ( - x z ===
σ
μ 
 
 
 ==≤≤=≤=≤ 0,2939 - 0,5 ) 0,82 z 0 ( p - 0,5 ) 0,82 - z ( p ) 72 x ( p 0,2061 (20,61%) 
) Determine o tamanho mínimo da amostra de modo que a probabilidade do seu peso médio estar en- 
 SOLUÇÃO
 
 
 
c
tre 73 e 76 kg seja de 45%. 
 
 
 
Da tabela normal : 
 
 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒
=⇒
 )arbitrária (escolha 1,65 z 0,4505 
1,64 z 0,4495 
1
1 
 Assim: 
 
⇒==⇒=⇒
−
=⇒
−
= 6,05 
3
11 . 1,65 n 
11
n . 3 1,65 
n
11
 73 76 1,65 
) x ( 
) x ( x z 1 σ
μ n = 36,6 
Assim a amostra deve conter, no mínimo, 37 funcionários. 
 
 
3 
X
 ( )xf
z
 ( )zf
0,82 73 72 - 0,82 
76 73 X
( )xf ( )zf
0,45 0,45
Z1z
3º) As notas de uma prova de Estatística, realizada por 75 alunos, apresentou distribuição normal com 
 uma amostra com 10 alunos, selecionada ao acaso sem reposição, tenha 
SOLUÇÃO
média 6,5 e desvio-padrão 1,5. 
a) Qual a probabilidade de que
nota média entre 5,5 e 6,0? 
 
Como a amostra foi gerada sem reposição, e os 10 alunos representam mais do que 5% da população, é 
preciso
 
 utilizar o fator de correção. Assim: 
( )( ) ( ) ( ) 
1 - 75
10 - 75 . 
10
1,5 
1 - N
n - N . 
n
X X e 6,5 X X ==== σσμμ 
 
 2,25 - 
1 - 75
10- 75 . 
10
5,1
6,5 - 5,5 
) x ( 
) x ( - x
1,12 - 
1 - 75
10 - 75 . 
10
5,1
6,5 - 6,0 
) x ( 
) x ( - x
 z 22 === σ
μ
 z 11 === σ
μ
 e 
 
 
 
 
==≤≤≤≤=≤≤=≤≤ 0,3686 - 0,4878 1,12) z (0 p - 2,25) z (0 p 1,12) - z 2,25 (- p 6,0) x (5,5 p 0,1192 (11,92%) 
 
) Qual a probabilidade de que uma amostra com 10 alunos, selecionada ao acaso sem reposição, tenha 
 SOLUÇÃO
 
b
nota média abaixo de 7,3? 
 
 
1,80 
1 - 75
10 - 75 . 
10
5,1
6,5 - 7,3 
) x ( 
) x ( - x z ===
σ
μ 
 
 
 
 
 =+= 0,4641 0,5 ) ≤≤+=≤=≤ z 0 ( p 0,5 ) 1,80 z ( p ) 7,3 x ( p 0,9641 (96,41%) 
 
 4 
1,80 
6,5 6,0 5,5 x
( )xf ( )zf
z -2,25 -1,12 1,12 2,25
6,5 7,3 
( ) ( )xf zf
x z1,80 
4º) A capacidade máxima de um elevador, em um edifício empresarial, é de 670 kg. Suponhamos que a 
distrib l com média 65 kg e desvio-padrão de 15 kg. uição dos pesos dos usuários seja uma norma
a) Qual a probabilidade de que 10 passageiros ultrapassem este limite? 
 
 SOLUÇÃO
 
spondem a menos do que 5% do tamanho da população de 
usuários do elevador, o que permite desconsiderar a aplicação do fator de correção. 
 
os escrever: 
Vamos supor que os 10 passageiros corre
 Supondo os 10 passageiros como uma população de tamanho n = 10, podem
 
 kg 67 x 670 
 x . . . x x
 670 x . . . x x 1021 ≥⇒≥
10101021
+++
⇒≥+++ 
 
Observando ainda que: 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
10
15 
n
X X e 65 == σ X X == σ 
er: 
 
μμ
podemos escrev
0,42 
10
15
65 - 67 
) x ( 
) x ( - x
=
μ ==
σ
 
 
 
 
z
 
==≤≤=≥=≥ 0,1628 - 0,5 ) 0,42 z 0 ( p - 0,5 ) 0,42 z ( p ) 67 x ( p 0,3372 (33,72%) 
 
) Qual a probabilidade de 9 passageiros ultrapassarem este limite? 
 
 
b
 
 SOLUÇÃO 
 
 kg 74,4 x 
9
670 
9
 x . . . x x
 670 x . . . x x 1 92921 ≥⇒≥
+++
⇒≥+++ 
 
1,98 
10
15
65 - 74,4 
) x ( 
) x ( - x z ===
σ
μ 
 
 5 
67 65
( ) ( )xf zf
zx 0,42
 
 
 
 
==≤≤=≥=≥ 0,4761 - 0,5 ) 1,98 z 0 ( p - 0,5 ) 1,98 z ( p ) 74,4 x ( p 0,0239 (2,39%) 
 
 
5º) O diâmetro dos parafusos produzidos por um torno se distribui normalmente com desvio-padrão de 
,5 mm. 
ibuir ao diâmetro médio na regulagem do torno? 
0
a) Se desejarmos que apenas 0,5% dos parafusos tenham diâmetro maior do que 6,0 mm, que valor de- 
vemos atr
 
 SOLUÇÃO
 
 Observe que neste caso estamos trabalhando com a variável X (população) 
 
 
Da tabela normal : 
=⇒
=⇒
 )arbitrária (escolha 2,58 z 0,4501 
2,57 z 0,4949
1
1
 
 
 
 
⎩
⎨
⎧ 
 
 Assim: 
=⇒=⇒
−
=⇒
−
= z1 0,5 . 2,58 - 6 0,5
 6 2,58 
 
 x1 μμμ
σ
μ 4,71 mm 
 
 
) Com o torno assim regulado, qual a probabilidade de que uma amostra com 30 parafusos, selecionada 
o acaso com reposição, tenha diâmetro médio superior a 4,95 mm? 
b
a
 
 SOLUÇÃO 
 
 Observe que agora estamos trabalhando com a variável X (amostra) 
 
6 
74,4 
( ) ( )xf zf
z1,98x65 
x
fHxL
fHzL
0,495 
0,005 
0,005
 6,0 μ zZ 1
( ) ( ) ( ) ( ) 
30
0,5
n
 X X e 4,71 X X ==== σσμμ 
 2,63 
30
5,0
4,71 - 4,95 
) x ( 
) x ( - x z ===
σ
μ 
 
 
 
 
 ==≤≤=≥=≥ 0,4957 - 0,5 ) 2 ,63 z 0 p - 0,5 ) 2,63 z ( p ) 4,95 x ( p 0,0043 (0,43%) 
) Com o torno assim regulado, determine qual deve ser o tamanhomínimo de uma amostra, de modo 
ue a probabilidade do seu diâmetro médio ser maior do que 5,0 mm, seja de 1%. 
( 
 
 
c
q
 
 SOLUÇÃO 
 
 
 
 
Da tabela normal : 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒
=⇒
 0,4900) de próximo (mais 2,33 z 0,4901 
2,32 z 0,4898 
1
1 
 
 
Assim: 
⇒==⇒=⇒
−
=⇒
− ) x ( x μ= z 1 4,02 29,0
0,5 . 2,33 n 
0,5
n . 0,29 2,33 
n
0,5
 4,71 5,0 2,33 
) x ( σ
 n = 16,2 
 
Assim a amostra deve conter, no mínimo, 17 parafusos. 
 
 7 
 
( ) ( )xf
4,71
zf
x z2,634,95
x 
( ) ( )xf
4,71
zf
0,01
0,49 
1z z
0,01
5,0 
6º) Uma máquina automática enche garrafas de cerveja, e o faz segundo uma distribuição normal com 
desvio
lagem da máquina? 
-padrão de 30 ml. 
a) Se desejamos que apenas 10% das garrafas tenham menos do que 720 ml, que valor devemos atribuir 
ao volume médio na regu
 
 SOLUÇÃO 
do com a variável X (população). 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
Observe que neste caso estaamos trabalhan
 
 
 
Da tabela normal : 
⎩
⎨
⎧
=⇒
=⇒
 1,29 z 0,4015 
0,400) de próximo (mais 1,28 z 0,3997 
2
2 
 
=⇒+=⇒
−
=⇒
−
= 
 
 z 11 σ
 30 . 1,28 720 
30
 720 1,28 - μμμμ 758,40 ml 
 
 
 
) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que uma amostra com 12 garrafas, escolhi- 
as ao acaso com reposição, tenha um volume total inferior a 9,0 litros (9.000 ml) 
x
b
d
 
 SOLUÇÃO 
 
 Supondo as 12 garrafas como uma amostra de tamanho n = 12, podemos escrever que: 
 
 ml 750 x 9.000 
 x . . . x x
 9.000 x . . . x x 921 ≤⇒≤
12121221
+++
⇒≤+++ 
 
Ainda, como: 
( ) ( ) ( ) ( ) 
12
30 
n
X X e 758,40 X X ==== σσμμ 
 
0,97 - 
12
30
758,40 - 750,00 
) x ( 
) x ( - x z ===
σ
μ 
 
 
 8 
x
f LHx
z
fHzL
0,40 
Z1 Z2
0,10 0,10 
0,40 
0,10 
 720 
 
 
 
 
 ==≤≤=≤=≤ 0,3340 - 0,5 ) 0,97 z 0 ( p - 0,5 ) 0,97 - z ( p ) 750,0 x ( p 0,1660 (16,60%) 
 
c) Com a máquina assim regulada, determine qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra, de modo 
ue a probabilidade do seu volume médio de cerveja ser menor do que 750 ml, seja de 2%. 
 
q
 
 SOLUÇÃO 
 
 0, - 758,40 - 750,00 ) x ( - x z === μ 97
12
30) x ( σ
 
 
 
 Da tabela normal : 
ais2, z 0,4798 
2
2 
2 , mos escrever: 
 
 
⎩
⎨
⎧
=⇒
=⇒
 2,06 z 0,4803 
0,4800) de próximo (m 05
 
Notando que z - z pode1 = 
⇒=
−
=⇒=
−−
= 7,3 
4,8 
30 . 2,05 - n 
30
n . 8,4 - ,05
n
758,4 750,0 2,) x ( 1z
μ n = 53,3 
Assim a amostra deve ser composta, no mínimo, de 54 garrafas. 
 
 
 
º) O comprimento dos elos da corrente de um determinado modelo de bicicleta, tem distribuição normal 
om média 2 cm e desvio-padrão de 0,1 cm. Para que uma corrente se ajuste a bicicleta, seu comprimento 
9 
⇒=⇒ 2 - 
30
 05 - 
) x ( σ
1x
 
7
c
total deve estar entre 59,4 e 61,0 cm. Qual a probabilidade de uma corrente com 30 elos não se ajustar a 
bicicleta. 
X
 ( )xf
750,0 z
 ( )zf
- 0,97 0,97
X
 ( )xf
758,4
0,02 
z
 ( )zf
0,48 
0,02
0,02 
1z 2z
758,40 
750 
 SOLUÇÃO 
 
 Considerando a corrente com 30 elos como uma amostra de tamanho n = 30, escolhida ao acaso com re- 
 
posição, podemos escrever: 
2,03 x 1,98 61,0 
 x . . . x x
 59,4 61,0 3021 ≤≤⇒≤ x . . . x x 59,4 21 30303030
+++
≤⇒≤+++≤ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
30
0,1 
n
X X e 2,0 X X ==== σσμμ 
 1,10 - 
30
0,1
2,0 - 1,98 
) x ( 
) x ( - x z 11 ===
σ
μ e 1,64 
30
1,0
2,0 - 2,03 
) x ( 
) x ( - x = z 22 ==σ
μ 
 
 
 
 
0,8138 0,4495 0,3643 1,64) z (0 p 1,09) z (0 p 1,64) z 1,10 (- p 2,03) x (1,98 p (ajustar) p =+=≤≤+≤≤=≤≤=≤≤=
 
=== 0,8138 - 1 (ajustar) p - 1 ajustar) (não p 0,1862 (18,62%) 
 
 
º) Uma máquina de empacotar um determinado produto, o faz segundo uma distribuição normal, com 
esvio-padrão de 10 g. 
) Em quanto deve ser ajustado o peso médio da máquina, para que apenas 10% dos pacotes tenham me- 
 SOLUÇÃO
 
8
d
a
nos do que 500 g? 
 
 neste caso estamos trabalhando com a variável X (população de pacotes) 
 
 
 
 10 
 
Observe que
 
 
 
X
 ( )xf
2,0 2,03 1,98 z
 
z)f(
- 1,10 1,64 
x
f xH L
z
f z
0,40 
H L
 500 
0,10 0,10
Z 1 Z 2
0,40 
 μ 
0,10
 Da tabela normal : 
0,40) de próximo (mais 1,28 z 0,3997 2 
 
emos escrever: 
 
 
⎩ 1,29 z 0,4015 2
⎨
⎧
=⇒
=⇒
Notando que z 1 = - z 2 , pod
=⇒+=⇒== 
10
 28 - 
 
 z 11 σ
−
⇒
− 10 . 1,28 500 5001, x μμμμ 512,8 g 
 
 Com a máquina assim regulada, programou-se a seguinte carta de controle de qualidade:“a cada hora 
a uma amostra de 4 pacotes, tomados ao acaso com repetição. Se a média dos pesos da amos- 
a for inferior a 500 g ou superior a 520 g, interrompe-se a produção para regular a máquina, ou seja, 
 SOLUÇÃO
b)
será retirad
tr
reajustar a peso médio”. 
b1) Qual a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária? 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
4
10 
n
X
= X e 512,8 X X === σσμμ 
 
 2,56 - 
4
10
512,8 - 500 
) x ( 
) x ( - x z 11 ===
σ
μ e 1,44 
4
10
512,8 - 520 
) x ( 
) x ( - x z 22 === σ
μ 
 
 
 
 
0,9199 0,4251 0,4948 ) 1,44 z 0 ( p - ) 2,56 z 0 ( p ) 1,4 ≤ 4z - ( p ) 520 x 500 ( p =+=≤≤≤≤==≤≤ 
Assim: p (parada necessária) = 0,9199 
 
 p (parada desnecessária) = 1 – 0,9199 = 0,0801 (8,01%) 
e de continuar a produção fo
 2,56 ≤
 
 
 
 
 
b2) Se o peso médio da máquina desregulou para 515 g, qual a probabilidad 
a dos padrões desejados? 
 SOLUÇÃO
r
 
 
 3,0 - 
10
 
) x ( 
 z 11 ===
σ
 e 
4
515 - 500) x ( - x μ 1,0 
4
10
515 - 520 
) x ( 
) x ( - x z 22 === σ
μ
 
 
 11
X
 ( )xf
500 z
 
z)f(
- 2,56 1,44 512,8 520 
 
 
 
 0,8400 0,3413 0,4987 ) 1,0 z 0 ( p - ) 3,0 z 0 ( p ) 1,0 z 3,0 - ( p ) 520 x 500 ( p =+=≤≤≤≤=≤≤=≤≤ 
 
 p (continuar a produção) = =≤≤ ) 520 x 500 ( p 0,8400 (84%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
X
 ( )xf
z
 
z)f(
- 3,0 1,0 500 515 520