Álgebra Linear: Subespaços e Transformações

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Álgebra Linear Prof. M. C. Fenille
Segunda Lista de Exerćıcios
1. Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de R3.
(a) U = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ Q} (b) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y + z = 0}.
2. Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de P (R).
(a) U = {p(t) ∈ P (R) : grau de p(t) é 2} (b) V = {p(t) ∈ P (R) : p(t) ≥ 0 ∀ t ∈ R}.
3. Seja V = [v1, v2, v3, v4] o subespaço vetorial de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 =
(0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0). Determine uma base e a dimensão de V .
4. Considere os seguintes subconjuntos de R4 :
U = {(x, y, z, w) : x + y = 0 e z − w = 0} e V = {(x, y, z, w) : x− y − z + w = 0}.
(a) Verifique que U e V são subespaços vetoriais de R4.
(b) Determine U ∩ V e U + V e exiba uma base para cada um destes subespaços.
(c) Responda e justifique: (i) a soma U + V é direta? (ii) U + V = R4 ?
5. Considere os seguintes subconjuntos de M2(R):
S =
{
X ∈M2(R) : X = Xt
}
e V =
{[
2a a− b
0 a + b
]
: a, b ∈ R
}
.
(a) Verifique que U e V são subespaços vetoriais de M2(R).
(b) Determine base e dimensão para os subespaço U, V, U ∩ V e U + V .
(c) Responda e justifique: (i) A soma U + V é direta? (ii) U + V = M2(R) ?
6. Considere os seguintes subconjuntos de P2(R):
U =
{
p(t) ∈ P2(R) : p(−1) = 0
}
e V =
{
p(t) ∈ P2(R) :
∫ 1
0
p(t) dt = 0
}
.
(a) Mostre que U e V são subespaços vetoriais de P2(R).
(b) Determine base e dimensão para os subespaço U, V, U ∩ V e U + V .
(c) Responda e justifique: (i) A soma U + V é direta? U + V = P2(R) ?
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7. Considere as bases B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−1)} e canônica C de R3.
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]BC e [I]CB.
(b) Seja v = (2, 1, 4). Determine [v]B.
(c) Seja u ∈ R2 um vetor tal que [u]B =
[
1 2 3
]t
. Determine [u]C .
8. (a) Verifique que o conjunto B = {1, 1− t, (1− t)2} é uma base para P2(R).
(b) Encontre a matriz de mudança da base canônica C para a base B do item (a).
(c) Dado o polinômio p(t) = 1 + 2t + 3t2, determine [p(t)]B.
9. (a) Mostre que as matrizes v1 =
[
1 1
0 0
]
, v2 =
[
1 0
1 0
]
, v3 =
[
0 1
0 1
]
e v4 =
[
1 0
0 1
]
formam uma base para o espaço vetorial M2(R).
(b) Encontre a matriz de mudança da base canônica C para a base B do item (a).
(c) Seja v =
[
1 2
3 4
]
. Determine [v]B.
10. Verifique que as seguintes funções não são tranformações lineares:
(a) N : R→ R dada por N(x) = |x| (b) D : M2(R)→ R dada por D(A) = det(A)
(c) G : R2 → R2 dada por G(x, y) = xy. (d) F : P2(R)→ P3(R) dada por F (p(t)) = p(t)2
11. Sabe-se que T : R3 → R2 é uma tranformação linear tal que
T (1, 1, 1) = (2, 0), T (0, 1, 1) = (1, 1) e T (0, 0, 1) = (0,−1).
(a) Determine T (x, y, z) (b) Encontre v ∈ R3 tal que T (v) = (3, 2).
12. Encontre uma transf. linear T : R3 → R3 com ker(T ) = [(2, 1, 0), (1, 0, 1)] e im(T ) = [(1, 2, 3)].
13. Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine
base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
(a) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (y − z, x− z, x− y).
(b) D : P3(R)→ P2(R) a função dada por D(p(t)) = p′(t) + p′′(t).
(c) F : R3 → P3(R) a função dada por F (x, y, z) = z + (y − x)t + (x + y)t3.
(d) T : M2(R)→M2(R) a função dada por T (X) = X −Xt.
(e) S : P2(R)→ R a função dada por S(p(t)) =
∫ 1
0
p(t) dt.
14. Considere as transformações lineares T , D e F dadas no exerćıcio anterior. Encontre a com-
posição D ◦ F ◦ T e, em seguida, decida se ela é ou não um isomorfismo.
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