Matematica avançada (42)

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d) 1 
 **Resposta:** a) \( -\infty \) 
 **Explicação:** A integral de \( \ln(x) \) de \( 0 \) a \( 1 \) é \( x \ln(x) - x \). Avaliando em \( 1 
\) e \( 0 \), temos \( (1 \cdot \ln(1) - 1) - (0 \cdot \ln(0) - 0) = (0 - 1) - (0 - 0) = -1 \). 
 
124. Se \( \log_{10}(y) = 4 \), qual é o valor de \( y^2 \)? 
 a) \( 10 \) 
 b) \( 100 \) 
 c) \( 1000 \) 
 d) \( 10000 \) 
 **Resposta:** b) \( 100 \) 
 **Explicação:** Por definição de logaritmo, \( 10^4 = y \), então \( y^2 = 10^{2 \cdot 4} = 
10^8 = 100 \). 
 
125. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** c) \( +\infty \) 
 **Explicação:** Ao substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{\tan(0)}{\sin(0)} = 
\frac{0}{0} \), uma forma indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o 
numerador e o denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{3\sec^2(3x)}{2\cos(2x)} \). Substituindo \( x = 0 \), obtemos \( 
\frac{3\sec^2(0)}{2\cos(0)} = \frac{3 \cdot 1^2}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} \cdot \infty = +\infty 
\). 
 
126. Se \( f(x) = \sqrt{x^3} \), qual é o valor de \( f'(1) \)? 
 a) \( \frac{3}{2} \) 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( \frac{3}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{2} \)