Problemas de Cálculo e Derivadas

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83. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan(x)}}{x} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite indeterminado. 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para lidar com formas indeterminadas. 
 
84. Problema: Determine a derivada segunda da função \( f(x) = \cos^2(x) \). 
 Resolução: Derivamos \( f(x) \) duas vezes para encontrar a segunda derivada. 
 Explicação: Aplicamos as regras de derivação duas vezes para encontrar a segunda 
derivada. 
 
85. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\sqrt{x} \) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \). 
 Resolução: Calculamos a diferença entre as duas funções e integramos no intervalo 
dado. 
 Explicação: Utilizamos a técnica de integração para encontrar a área entre as duas 
curvas. 
 
86. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) 
\). 
 Resolução: Igualamos as duas equações e resolvemos para \( x \) e \( y \). 
 Explicação: Encontramos os pontos onde as duas curvas se encontram. 
 
87. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(x) + \cos(x)) \, dx 
\). 
 Resolução: Integramos a função e aplicamos os limites de integração. 
 Explicação: Usamos a propriedade da integral definida para calcular a área sob a curva 
no intervalo dado. 
 
88. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função. 
 
89. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( 
(1,1) \).