Equações Diferenciais e Integrais

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**Explicação:** Utilizamos coordenadas esféricas para resolver a integral. 
 
54. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 5y = 
2e^{2x} \). 
 **Resposta:** \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{5}e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação homogênea e adicionamos uma solução 
particular. 
 
55. **Problema:** Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \frac{1}{x^2} \) e o 
eixo x no intervalo \( [1, \infty) \). 
 **Resposta:** A área é \( 1 \). 
 **Explicação:** Calculamos a integral da função no intervalo dado. 
 
56. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 
x^2e^x \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p = (x^2 - 4x + 2)e^x \). 
 **Explicação:** Usamos o método dos coeficientes a determinar. 
 
57. **Problema:** Determine a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \frac{1}{x^3} 
\). 
 **Resposta:** \( f''(x) = \frac{6}{x^5} \). 
 **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente duas vezes para encontrar a segunda 
derivada. 
 
58. **Problema:** Calcule a integral tripla de \( \iiint (x + y + z) \, dV \) sobre o tetraedro 
com vértices em \( (0,0,0) \), \( (1,0,0) \), \( (0,1,0) \) e \( (0,0,1) \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{1}{2} \). 
 **Explicação:** Dividimos o tetraedro em sub-regiões e calculamos a integral em cada 
uma delas. 
 
59. **Problema:** Determine a solução geral do sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases}