AULA_07

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Cálculo Diferencial e 
Integral II
ANDRÉ SILVEIRA
FUNÇÕES DE 
VÁRIAS 
VARIÁVEIS E 
DERIVADAS 
PARCIAIS
AULA 7
2
 Unidade de Ensino: 3
 Competência da Unidade: Conhecer os conceitos e técnicas relativas a função de duas 
variáveis bem como as técnicas relativas a derivada desse tipo de função.
 Resumo: Nesta aula enfatizaremos os conceitos relativos a funções de duas variáveis, bem 
como conceitos e técnicas relativas a derivadas desse tipo de função. Além disso, 
enfatizaremos aplicações desses conceitos e técnicas.
 Palavras-chave: Funções de várias variáveis; derivadas parciais; derivada direcional.
 Título da Teleaula: Funções de várias variáveis e
derivadas parciais
 AULA 7
É preciso relembrar...
 Função de uma variável real
 Regras de derivação
https://bit.ly/32eHzze
(acesso 13 jul. 2020)
Função Derivada
𝑓 𝑥 = 𝑐 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥 = ln(𝑥) 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
𝑓 𝑥 = cos(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = cos(𝑥)
https://bit.ly/32eHzze
 Regra do produto:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ]
 Regra do quociente:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
𝑔2 𝑥
 Regra da cadeia:
𝐹′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔′ 𝑥
https://bit.ly/32eHzze
(acesso 13 jul. 2020)
https://bit.ly/32eHzze
Função 
Uma função 𝑓 é uma lei que associa, a cada elemento 𝑥 em 
um conjunto 𝐷, exatamente um elemento, chamado 𝑓(𝑥), em 
um conjunto 𝐸.
(Stewart,2016, vol. 1, p.10)
Domínio Contradomínio
𝑥 – variável 
independente
𝑓(𝑥) – variável 
dependente 
𝑓: 𝐷 → 𝐸
𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥
𝑎
𝑓 𝑥
𝑓 𝑎
𝐷 𝐸𝑓
Encontrando o domínio de funções
 Determine o domínio das funções que segue:
 𝐹 𝑥 = 𝑥
 𝐹 𝑥 =
1
𝑥
 𝐹 𝑥 = 𝑥
 𝐹 𝑥 = ln(𝑥)
Funções de 
duas ou mais 
variáveis reais
PROCESSOS DE 
AMOSTRAGEM NÃO 
PROBABILÍSTICAS
Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada
par ordenado de números reais 𝑥, 𝑦 de um conjunto D um único
valor real, denotado por 𝑓 𝑥, 𝑦 . O conjunto D é o domínio de f e
sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f, ou seja
𝑓 𝑥, 𝑦 | 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷
(STEWART, 2016, p.792)
Frequentemente escrevemos z = 𝑓 𝑥, 𝑦 . 
As variáveis x e y são independentes e z é a variável 
dependente.
Seja a função 𝑓 𝑥, 𝑦 =
1
𝑥−𝑦
O seu domínio é dado por:
𝑥 − 𝑦 > 0
𝑥 > 𝑦
𝐷 = 𝑥, 𝑦 𝑥 > 𝑦
 Vamos analisar a função f x, y = 𝑥 ln (𝑦2 − 𝑥). O domínio dessa função é 
D = { 𝑥, 𝑦 |𝑥 < 𝑦2} pois, ln(𝑦2 − 𝑥) é definido somente quando 𝑦2 − 𝑥 > 0, isto 
é, 𝑥 < 𝑦2.
Fonte: STEWART, J. Cálculo II, 2016, p. 793
Se f é uma de duas variáveis com domínio D, então o gráfico
de f é o conjunto de todos os pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) em ℝ3 tal que 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e (𝑥, 𝑦) pertença a D.
(STEWART, 2016, p.794)
https://bit.ly/397Q6Wl
(acesso 15 jul. 2020)
https://bit.ly/397Q6Wl
𝑓 𝑥, 𝑦 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦
Representação 
no primeiro 
octante 
ANALISANDO UMA LIGA 
METÁLICA
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Interação
A fim de analisar aplicações de funções de várias variáveis, você deverá realizar uma 
pesquisa com uma liga metálica composta por duas substâncias em maior quantidade, (𝑥) e 
𝑦 . Sabe-se que as quantidades dessas duas substâncias que irão compor essa mistura estão 
no domínio da função f dada por:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
ln(𝑦−𝑥3)
𝑥2−𝑦
Como você 
determinará o 
domínio da 
função
𝑓 (𝑥, 𝑦)? 
Primeiro vamos analisar o domínio do 
numerador e denominador 
separadamente
𝑓 𝑥, 𝑦 =
ln(𝑦 − 𝑥3)
𝑥2 − 𝑦
Devemos garantir que o logaritmo seja 
calculado sobre valores positivos, ou 
seja,
𝑦 − 𝑥3 > 0 → 𝑦 > 𝑥3
𝐷1 = 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ2| 𝑦 > 𝑥3 .
Devemos garantir que a raiz 
não seja calculada sobre 
valores negativos e que não 
haja divisão por zero.
𝑥2 − 𝑦 > 0 → 𝑦 < 𝑥2
𝐷2 = 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ2| 𝑦 < 𝑥2 .
Devemos juntar as restrições em um único conjunto e esboçar a região
𝐷 = 𝐷1 ∩ 𝐷2 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑥3 < 𝑦 < 𝑥2
CONCEITO DERIVADA PARCIAL
19
Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e (𝑥0, 𝑦0) é um ponto do domínio de 𝑓, então a derivada parcial de
𝒇 em relação a 𝒙 em (𝑥0, 𝑦0 ) é a derivada em 𝑥0 da função que resulta quando
𝑦 = 𝑦0 for mantido fixo e a 𝑥 for permitido variar. Essa derivada parcial é
denotada por 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) e é dada por
𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦0 ቚ
𝑥=𝑥0
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑥
Derivada parcial 
de 𝑧 em relação 
a 𝑥
Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e (𝑥0, 𝑦0) é um ponto do domínio de 𝑓, então a derivada
parcial de 𝒇 em relação a 𝒚 em (𝑥0, 𝑦0 ) é a derivada em 𝑦0 da função que
resulta quando x= 𝑥0 for mantido fixo e a y for permitido variar. Essa
derivada parcial é denotada por 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) e é dada por
𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 =
𝑑
𝑑𝑦
𝑓 𝑥0, 𝑦 ቚ
𝑦=𝑦0
= lim
∆𝑦→0
𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑦
Derivada 
parcial de 
𝑧 em relação a 
𝑦
Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥5 + 2𝑥3𝑦2 − 4𝑦3, quais são as derivadas 
parciais de primeira ordem?
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥5 + 2𝑥3𝑦2 − 4𝑦3
𝑓𝑥 = 20𝑥4 + 6𝑥2𝑦2
𝑓𝑦 = 4𝑥3𝑦 − 12𝑦2
CONCEITO
DERIVADAS DE ORDEM 
SUPERIOR
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Notação:
𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
𝑓𝑦 𝑦
= 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
Se 𝑓 é uma função de duas variáveis, sua derivadas parciais 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 são 
funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente 
suas derivadas parciais 𝑓𝑥 𝑥, 𝑓𝑦 𝑦
, 𝑓𝑥 𝑦 e 𝑓𝑦 𝑥
são chamadas de 
derivadas parciais de segunda ordem de 𝑓.
𝑓𝑥 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑓𝑦 𝑥
= 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
Suponha que 𝑓 seja definida 
em uma bola aberta D que 
contenha o ponto (𝑎, 𝑏). Se as 
funções 𝑓𝑥𝑦 e 𝑓𝑦𝑥 forem ambas 
contínuas em 𝐷, então 
𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 = 𝑓𝑦𝑥(𝑎, 𝑏)
Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥5 + 2𝑥3𝑦2 − 4𝑦3, quais são as derivadas parciais de 
segunda ordem?
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥5 + 2𝑥3𝑦2 − 4𝑦3
𝑓𝑥 = 20𝑥4 + 6𝑥2𝑦2
𝑓𝑥𝑥 = 80𝑥3 + 12𝑥𝑦2
𝑓𝑥𝑦 = 12𝑥2𝑦
𝑓𝑦 = 4𝑥3𝑦 − 12𝑦2
𝑓𝑦𝑦 = 4𝑥3 − 24𝑦
𝑓𝑦𝑥 = 12𝑥2𝑦
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Apresente a derivada parcial da função em relação a variável x.
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Calcule as derivadas parciais
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Calcule as derivadas parciais
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