ANRL7 - Trabalho 2 com respostas

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Orientações gerais
Trabalho 2
ANRL7: Trabalho 2
Luan Alberto Ferreira
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo – IFSP
Campus Itaquaquecetuba - ITQ
13 de julho de 2021
Luan Alberto Ferreira ANRL7
Orientações gerais
Trabalho 2
Sumário
1 Orientações gerais
2 Trabalho 2
Luan Alberto Ferreira ANRL7
Orientações gerais
Trabalho 2
Orientações gerais
Boa noite, caros alunos! Seguem abaixo as orientações para o
desenvolvimento do trabalho 2:
Data limite para entrega: até 22/07, às 12:00, IMPRETERIVEL-
MENTE, no meu e-mail.
O trabalho pode ser tanto digitado quanto digitalizado. O importan-
te, como vocês claramente podem supor, é que eu consiga ler o tra-
balho. Em particular, e por favor, me enviem as questões em ordem.
Este trabalho contém 5 questões, e vale 15 pontos. O valor de cada
questão está indicado no início da questão.
Todas as respostas precisam estar justificadas. Questões com respos-
tas corretas, mas sem a devida justificativa, receberão zero de nota.
Bom trabalho a todos!
Luan Alberto Ferreira ANRL7
Orientações gerais
Trabalho 2
Pergunta 1
1) (3 pontos) Seja A = {a+ b
√
2; a, b ∈ Z}.
a) (1 ponto) Mostre que a soma de dois elementos de A pertence a A.
b) (2 pontos) Mostre que o produto de dois elementos de A pertence a A.
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Trabalho 2
Pergunta 1
1) a) Se a+ b
√
2 ∈ A e c + d
√
2 ∈ A, então
(a+ b
√
2) + (c + d
√
2) = (a+ c) + (b + d)
√
2 ∈ A.
b) Se a+ b
√
2 ∈ A e c + d
√
2 ∈ A, então
(a+ b
√
2) · (c + d
√
2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)
√
2 ∈ A.
Luan Alberto Ferreira ANRL7
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Trabalho 2
Pergunta 2
2) (3 pontos) Seja A = {a+ b
√
2; a, b ∈ Z}. Use o exercício anterior
para mostrar que qualquer intervalo aberto da reta real intercepta A.
Dica para o exercício 2: considere a sequência (
√
2− 1)n, onde n ∈ N.
Quanto é lim
n→∞
(
√
2− 1)n?
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Trabalho 2
Pergunta 2
Considere um intervalo (x , y) ⊆ R, com x < y . Como
lim
n→∞
(
√
2− 1)n = 0,
existe n ∈ N tal que
0 < (
√
2− 1)n < y − x .
Note que pelo exercício 1b, (
√
2− 1)n ∈ A. Ademais, como
(
√
2− 1)n 6= 0,
existe m ∈ Z tal que
x < m · (
√
2− 1)n < y .
Agora, pelo exercício 1a, m · (
√
2− 1)n ∈ A e isto encerra este exercício.
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Definição de fronteira
Para as questões 3, 4 e 5, considere a seguinte definição:
Definição: Seja X ⊆ R. Definimos a fronteira de X , denotada por ∂(X ),
por
∂(X ) = X − int(X ).
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Pergunta 3
3) (3 pontos - itens a e b 0,5 ponto; itens c e d 1 ponto) Calcule:
a) ∂((0, 1))
b) ∂([0, 1])
c) ∂(Q)
d) ∂(R− Z)
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Pergunta 3
3)a) ∂((0, 1)) = (0, 1)− int((0, 1)) = [0, 1]− (0, 1) = {0, 1}.
3)b) ∂([0, 1]) = [0, 1]− int([0, 1]) = [0, 1]− (0, 1) = {0, 1}
3)c) ∂(Q) = Q− int(Q) = R− ∅ = R.
3)d) ∂(R− Z) = R− Z− int(R− Z) = R− (R− Z) = Z.
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Pergunta 4
4) (3 pontos) Mostre, com um exemplo, que a igualdade
∂(X ∪ Y ) = ∂(X ) ∪ ∂(Y )
é, em geral, falsa.
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Pergunta 4
Tome X = [0, 1] e Y = [1, 2]. Então
X ∪ Y = [0, 1] ∪ [1, 2] = [0, 2]
∂(X ∪ Y ) = ∂([0, 2]) = {0, 2}
∂(X ) = ∂([0, 1]) = {0, 1}
∂(Y ) = ∂([1, 2]) = {1, 2}
∂(X ) ∪ ∂(Y ) = {0, 1} ∪ {1, 2} = {0, 1, 2}
{0, 2} 6= {0, 1, 2}
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Pergunta 5
5) (3 pontos) Mostre, com um exemplo, que a igualdade
∂(X ∩ Y ) = ∂(X ) ∩ ∂(Y )
é, em geral, falsa.
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Pergunta 5
Tome X = (0, 1] e Y = [1, 2). Então
X ∩ Y = (0, 1] ∩ [1, 2) = {1}
∂(X ∩ Y ) = ∂({1}) = ∅
∂(X ) = ∂((0, 1]) = {0, 1}
∂(Y ) = ∂([1, 2)) = {1, 2}
∂(X ) ∩ ∂(Y ) = {0, 1} ∩ {1, 2} = {1}
∅ 6= {1}
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Trabalho 2
Mensagem final
Gostaria de relembrar com vocês a data final de entrega desta avaliação,
que é dia 22/07, às 12:00, IMPRETERIVELMENTE, no meu e-mail.
Também gostaria de solicitar a vocês a organização na entrega das
respostas e que, por favor e se possível, me enviem as questões em
ordem.
Tenham todos um ótimo trabalho!
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