Problemas de Cálculo Avançado

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7. **Problema**: Encontre as coordenadas do ponto onde a curva \( y = e^x \) tem uma 
tangente perpendicular à reta \( 3x - y = 1 \). 
 - **Resposta**: O ponto é \( \left( \ln\left(\frac{1}{3}\right), \frac{1}{3} \right) \). 
 - **Explicação**: Calculamos a inclinação da tangente à curva exponencial, 
encontramos a perpendicular e resolvemos o sistema para encontrar o ponto de 
interseção. 
 
8. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = \sin(2x) \). 
 - **Resposta**: A solução geral é \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) - \frac{1}{2} \cos(2x) 
\). 
 - **Explicação**: Encontramos a solução da equação diferencial homogênea associada 
e aplicamos o método dos coeficientes a determinar para a solução particular. 
 
9. **Problema**: Determine os valores de \( k \) para os quais o sistema de equações \( 
\begin{cases} x^2 + ky^2 = 1 \\ xy = 1 \end{cases} \) tem exatamente duas soluções reais 
distintas. 
 - **Resposta**: Os valores de \( k \) são \( k = -3 \) e \( k = 3 \). 
 - **Explicação**: Utilizamos o discriminante para o sistema de equações para 
determinar quantas soluções reais existem. 
 
10. **Problema**: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) 
que seja paralela à reta \( 2x + y = 3 \). 
 - **Resposta**: A equação da reta tangente é \( y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação**: Encontramos a derivada da função para obter a inclinação da 
tangente. Em seguida, utilizamos a condição de paralelismo com a outra reta para 
determinar a equação da tangente. 
 
11. **Problema**: Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e a linha 
\( y = x - 2 \). 
 - **Resposta**: A área é \( \frac{1}{3} \) unidades quadradas. 
 - **Explicação**: Encontramos os pontos de interseção das curvas e calculamos a 
integral definida da diferença entre as funções entre esses limites. 
 
12. **Problema**: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada 
pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 \) em torno do eixo \( x \). 
 - **Resposta**: O volume é \( \frac{128\pi}{15} \) unidades cúbicas.