Avaliação Final (Discursiva) - Individual Cálculo Diferencial e Integral III

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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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Prova 63592334
Qtd. de Questões 2
Nota 10,00
Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma 
dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas.
Com relação a isso, deduza a fórmula de um prisma triangular utilizando integrais triplas. Justifique 
cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.
Resposta esperada
Sabemos que o volume de um sólido é dado pela integral tripla da função f (x, y, z) = 1.
Precisamos agora determinar os limites de integração. O limite para a integração em z é de 0 até
c.
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Já para x e y temos que decidir se usaremos a
integral do tipo 1 ou tipo 2. Nesse caso, determinar os limites do tipo 2 é mais simples, assim -
b/2 ≤ y ≤ b/2 e para x temos que encontrar as equações das retas que definem o triângulo:
Note que a reta que liga os pontos (0, b/2) e (a, 0) é:
Note também que metade do triângulo está abaixo do eixo x e metade está acima, assim se
tratando de volume é preciso trocar a integral dupla por duas vezes a integral em relação a y de 0
à b/2 e a integral em relação a x de 0 à . Portanto, o volume é: 
Minha resposta
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Têm-se os dados da imagem do volume de um prisma de base triangular, sabe-se que o volume
deste prisma é igual ao produto da área da base pela altura, sendo assim faz-se necessário
também definir os valores de cada variável X, Z e Y e utilizar as integrais triplas. Para a variável
X, ao observar na figura, nota-se que os valores de X pertencem ao intervalo (0, a), sendo assim
em relação a X estes serão os seus limites de integração. Para a variável Z, também ao observar
na figura, nota-se que os valores de Z pertencem ao intervalo (0, c), sendo assim em relação a Z
estes serão os seus limites de integração. Por último resta a variável Y e ao observar-se, nota-se
que a variável Y tem seus valores limitados por dois planos, que são eles: Y=b/2-b/2ax Y=-
b/2+b/2ax Tendo em vista que estes limites dependem da variável X, deve-se calcular
primeiramente a integral em relação a Y deve ser calculada antes da integral relacionada a X.
Utilizando a integral tripla ficaria (iniciando sempre do limite de integração inferior para o
superior) : ¿ 0 a ¿ 0 c ¿ -b/2+b/2ax b/2-b/2ax dy dz dx= ¿ 0 a ¿ 0 c -bx/a+b dz dx= ¿ 0 a c(-
bx/a+b) dx= abc/2 este é o valor da integral tripla desde prisma de base triangular.
prisma.jpgClique para baixar sua resposta
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Parabéns, acadêmico(a)! Sua resposta atingiu os objetivos da questão e você atingiu o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados. Confira no quadro "Resposta
esperada" a sugestão de resposta para esta questão.
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que 
define a sua borda e essa curva pode não ser elementar.
Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem 
ser aplicados.
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das
derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos
utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em
duas dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou
seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a
integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o
trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre
uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A
integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo
vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o
fluxo de saída.
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Minha resposta
O Teorema de Stokes é uma forma generalizada do Teorema de Green para três dimensões, traz a
relação de uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a integral de
superfície do rotacional de um campo vetorial. Um exemplo onde pode ser aplicado é o cálculo
de um trabalho por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula. O Teorema de
Green tem a função de substituir uma integral de linha por uma integral dupla através das
diferenças das derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva.
Um exemplo do Teorema de Green a ser aplicado é o cálculo de um trabalho por um campo de
forças em duas dimensões sobre uma partícula. O Teorema de Gauus define uma relação entre
uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. Para
calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em três dimensões utiliza-se a integral dupla. Um
exemplo do Teorema de Gauus é de que é utilizado para calcular o fluxo de saída. (Observação.
Em casa questão respondida eu precisei anexar figuras para que eu pudesse finalizar a prova, ou
seja, se não tivesse feito isso eu não conseguiria finalizar, não leve em consideração aos anexos,
pois não seria necessário, mas leve em consideração minha resposta escrita). Muito Obrigado
teorema_de_stokes.pngClique para baixar sua resposta
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Parabéns, acadêmico(a)! Sua resposta atingiu os objetivos da questão e você atingiu o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados. Confira no quadro "Resposta
esperada" a sugestão de resposta para esta questão.
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