Equações e Deduções de Elipses

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Equação reduzida (I)
Nessas condições, chama-se equação reduzida da elipse a equação que P(x, y), ponto 
genérico da curva, vai verificar.
A dedução é imediata:
P £ elipse PF. + PF2 = 2a
então:
v(x + c)2 + (y - O)2 + v(x - c)- + (y - O)2 = 2a
V(x + c)2 + y2 = 2a - y(x - c)2 + y2
(x + c)2 + y2 = 4a2 - 4a y'(x - c)7 + y2 + (x - c}2 + y2
x7 + 2cx + ç' + = 4a; - 4a y(x - c)2+ y2 + >$2 - 2cx + g2 + y2
4cx - 4a2 = - 4a y(x - c)‘ + y2
a y(x - c)2+ yJ = a2 - cx => a7(x - c)7 + a7y; = (a7 - cx)7
a2x2 - 2a2cx + a:'c2 + a2y2 = a'1 - 2a2cx + c2x2
a2x7 - c Y + a7y7 = aJ - a2c
(a2 - c2)x2 + a2y2 = a7(a7 - c7)
b Y + a2y2 = a2b2
MAtLMAl lL'A: CIÊNCIA t APLltAÇOCS
Excmpra 1
Uma elipse com eixo maior 10 e distância focal 6 apresenta:
yta = 5 
c = 3 b2= a2- c 2= 2 5 - 9 = 16
Se a posição da elipse é a indicada na 
figura, isto é:
A,A, C x e B,B. C y,
então sua equação é:
x2 y2
l i T + iV = 1
Equação reduzida (II)
Analogamente ao que vimos há pouco, se a elipse 
apresenta A,A. C y e B,B, C x, temos:
PF. + PF- = 2a
\,:(x - O)2 + (y + c}2 + v (x - O)2 + (y - c)2 = 2a 
e, daí, decorre a equação da elipse:
1
—® j I ü B -------------------------
Uma elipse com eixo maior 10 e eixo menor 8, na 
posição indicada na figura,istoé, A,A., C y e B B C x , 
tem equação:
ou ainda:
y- x 
25~ + l 6 " = 1
x" v
T6 ' + _2 ? " 1
AS *'nNlr AS 1G7
□ O G Q G Q G O 0 O1 Determine as equações das elipses seguintes:
2 Determine as coordenadas dos focos de cada elipse do problema anterior.
3 Dê a equação da elipse que passa pelos pontos (2, 0), (— 2. 0) e (0. 1).
4 Calcule a distância focal e a excentricidade da elipse (X.) 9x2 + 25y2 = 900.
5 Determine a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto
6 (U. F. Juiz de Fora-MG) Determine a equação da elipse, sendo seus focos os pontos F,(0. 3) e F ,(0, —3) e medindo 8 cm seu eixo menor.
7 Ache as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x' + 25y: = 228.
8 Construa o gráfico da cônica cuja equação é l69xJ + 25v2 = A 228 e obtenha as coordenadas dos focos.
9 Qual é a equação do conjunto dos pontos P(x, y) cuja soma das distâncias a F,(0. -5) e F_,(0, 55) é 68?10 Os pontos A(10. 0) e H(-5. y) estão sobre uma elipse cujos focos são F,(-8, 0) e F,(8, 0). Calcule o perímetro do triângulo BF,F,.
x~ y211 Considere a elipse de equação ' = 1-
a) Mostre que o ponto P = ^3,-^r-j pertence ã elipse e calcule a distância de 
P ao eixo das abscissas.b) Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo PQR, em que P - ^3, j .
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