LIVRO INVERNO TEORIA DAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS-7

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COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO 
TEORIA DAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOÃO CARLOS MOREIRA 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
CÁLCULO 
TEORIA DAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
CÁLCULO 
TEORIA DAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
 
JOÃO CARLOS MOREIRA 
Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP 
Universidade Federal de Uberlândia 
 
 
 
 
 
 
EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
Copyright © 2020 by João Carlos Moreira 
 
CAPA: João Carlos Moreira 
 
EDITOR: João Carlos Moreira 
 
DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira 
 
DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
 
 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá 
ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a 
permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as 
sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, 
de 19 de fevereiro de 1988. 
 
 
 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para todos os meus alunos, com carinho. 
João Carlos Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prefácio 
 
 
 
Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Cálculo, criado 
em 2013, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do 
aprendizado de Cálculo e suas aplicações. 
 
A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos 
e no desenvolvimento de algoritmos. 
 
Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de 
matemática no Brasil. 
 
Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim. 
 
Ituiutaba, inverno de 2020. 
 
João Carlos Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Símbolos 
 
Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se 
 
∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence 
ao conjunto A. 
∀ para todo (∀a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente 
a ℕ. 
∃ existe (∃x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao 
conjunto A. 
∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor 
de x pertencente ao 
conjunto dos números 
naturais. 
∧ e x ∧ y x e y 
∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y 
∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y 
¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao 
conjunto A 
→ implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q 
↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
CÁLCULO 
TEORIA DAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
 
ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
 
 
 
Sumário 
1 Abordagem Histórica 01 
2 Abordagem Algébrica 00 
2.1 Sistema matemático das funções algébricas 00 
 2.1.1 Representação das funções algébricas 00 
 2.1.2 As operações 00 
 2.1.3 As relações 00 
 2.1.4 Os axiomas 00 
 2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00 
 2.3 Teoria do cálculo diferencial 00 
 2.4 Teoria do Cálculo integral 00 
3 Abordagem Geométrica 00 
 3.1 Representação das funções algébricas 00 
 3.2 Cálculo de perímetro 00 
3.3 Cálculo de área 00 
 3.4 Cálculo de volume 00 
4 Abordagem Computacional 00 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 
4.1 Representação das funções algébricas 00 
 4.2 Algoritmos 00 
5 Abordagem Avançada 00 
 5.1 Teoremas 00 
 5.2 Conjecturas 00 
 5.3 Paradoxos 00 
6 Resolução de Problemas 00 
6.1 Abordagem histórica 00 
6.2 Abordagem algébrica 00 
 6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00 
 6.2.2 Prática intuitiva 00 
 6.2.3 Prática formal 00 
 6.3 Abordagem geométrica 00 
 6.3.1 Conceitos primitivos e derivados 00 
 6.3.2 Prática intuitiva 00 
 6.3.3 Prática formal 00 
 6.4 Abordagem Computacional 00 
 6.4.1 Conceitos primitivos e derivados 00 
 6.4.2 Prática intuitiva 00 
 6.4.3 Prática formal 00 
7 Referências Bibliográficas 00 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 1. Isaac Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABORDAGEM HISTÓRICA 
TEORIA DAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS | ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 1 
Isaac Newton (1643 – 1727) foi o maior matemático inglês de 
sua geração. Dentre suas contribuições, destacamos o cálculo 
diferencial e integral, seus trabalhos em óptica e gravitação. 
 
1 A palavra cálculo deriva do latim, e significa pequena pedra, 
como a usada em um ábaco. 
 
 
2 As origens do cálculo e das funções algébricas, remontam as 
civilizações babilônica e egípcia, notadamente em problemas 
envolvendo cálculos de áreas e de volumes, mas sem destacar 
um método efetivo. 
 
 
3 Cálculos de áreas e volumes envolvendo solução de equações 
algébricas, apareceram pela primeira vez na Mesopotâmia. 
Sabemos que esses povos já tinham o conhecimento do 
teorema de Pitágoras, conforme observado em tabletes de 
argila. 
 
 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
2 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 As civilizações egípcia e grega também contribuíram com o 
desenvolvimento de métodos de solução para as equações 
algébricas, notadamente as polinomiais. 
 
 
 
6 O próximo passo, foi desenvolver um algoritmo para a 
solução geral das equações polinomiais de terceiro e quarto 
grau. No entanto, essa tarefa não foi nada fácil. Os babilônicos, 
egípcios, gregos e árabes conseguiram resolver algumas 
equações polinomiais de terceiro grau, muito particulares. 
Vários matemáticos como Wang Xiatong (580-640), Omar 
Khayyam (1048-1131), Leonardo de Pisa (1170-1240), Luca 
Pacioli (1415-1492), contribuíram para resolver as equações 
polinomiais de terceiro e quarto grau. 
 
 
 
7 Scipione Del Ferro (1465-1526), Nicolo Tartaglia (1500-1557), 
Girolamo Cardano (1501-1576) e Ludovico Ferrari (1522-1565), 
 
 
 
 
Fig.2. Yale Collection #7289 
 
 
5 Na Grécia antiga, Eudoxus (c. 408-355 a.C) desenvolve o 
método da exaustão, que foi descoberto mais tarde (século III) 
na China por Liu Hui (c. 220-280), o mesmo aproximava uma 
determinada área por uma sequência de áreas de regiões 
poligonais e prefigura os conceitos de limite e integral da era 
moderna. Os gregos foram os primeiros a introduzir a ideia de 
prova, embora ainda vinculada a geometria. 
 
 
 
 
 
 
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3 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Rafael Bombelli (1526-1572), François Viète (1540-1603), 
Albert Girard (1595-1632) e René Descartes (1596-1650) 
contribuíram para a descoberta da solução geral, incluindo as 
complexas, das equações polinomiais. 
 
 
9 Em paralelo, Isaac Newton (1643 – 1727) e Gottfried Wilhelm 
von Leibniz (1646-1716) criam a teoria do cálculodiferencial e 
integral. 
 
 
 
10 Leonhard Euler (1707-1783) em 1742 enunciou que uma 
expressão polinomial com coeficientes reais pode ser fatorada 
como um produto de fatores lineares e fatores quadráticos, 
mas não conseguiu uma prova completa deste fato. Euler 
provou que toda função polinomial de grau 𝑛 ≤ 6, possui 
exatamente 𝑛 raízes complexas. 
 
 
 
11 Em 1746, Jean d’Alembert (1717-1783) pesquisando um 
método para integrar uma função racional com coeficientes 
reais (o hoje denominado Método das Frações Parciais), encontra 
uma demonstração difícil do TFA e que continha um erro que 
só em 1851 seria corrigido, por V. Puiseux (1820-1883). Devido 
a tal demonstração, na literatura francesa, o Teorema 
Fundamental da Álgebra (TFA) é chamado Teorema de 
d’Alembert. 
 
 
 
12 O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), é considerado 
por muitos o início da álgebra moderna. 
 
 
 
deram contribuições efetivas para se obter a solução geral das 
equações polinomiais de terceiro e quarto grau. 
 
 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO 
 
4 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 Car Friedrich Gauss (1777-1855), em sua tese de doutorado 
de 1799, apresenta uma prova do TFA que é considerada por 
muitos realmente a primeira. O argumento principal usado, 
que difere das demais provas, era o fato de que era sempre 
suposta a existência das raízes e em seguida deduzia-se 
algumas de suas propriedades. Outras demonstrações 
surgiram mais tarde, inclusive do próprio Gauss. 
 
 
 
14 Paolo Ruffini (1765-1822), Niels Abel (1802-1829) e Évariste 
Galois (1811-1832), foram grandes colaboradores para 
estabelecer em 1824 uma prova que não há uma solução geral, 
através de radicais, para as equações de grau cinco e superiores 
e em 1830 um critério geral para solução de equações 
algébricas por radicais. Em alguns casos, foi necessário 
recorrermos a métodos numéricos para encontrarmos soluções 
aproximadas. 
 
 
 
15 Podemos olhar o surgimento das funções racionais como 
uma extensão natural das funções polinomiais; isto é, como um 
corpo de frações do domínio de integridade das funções 
polinomiais ou como uma subclasse das funções algébricas. 
 
 
 
16 O desenvolvimento da teoria das equações algébricas com 
várias variáveis impulsionou o estudo de sistemas lineares 
que resultou na introdução dos conceitos de matriz e 
determinantes. Mais tarde o estudo de matriz se tornou 
independente, a álgebra matricial. 
 
 
 
17 O desenvolvimento da teoria das funções algébricas pode 
ser compreendido a partir de três diferentes pontos de vista. 
 
 
 
 
 
 
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5 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 Do ponto de vista teórico funcional das funções algébricas, 
destacamos N.H. Abel (1802-1829), K. Weierstrass (1815-1897) 
e B. Riemann (1826-1866). Por outro lado, do ponto de visto 
aritmético-algébrico, destacamos R. Dedekind (1831-1916), 
H.Weber (1843-1912) e K. Hensel (1861-1941). Por fim, do 
ponto de visto algébrico-geométrico destacamos A. Clebsch 
(1833-1872), M. Noether (1844-1921) e outros. 
 
 
 
19 O conceito de funções algébricas é de fundamental 
importância na teoria das variedades algébricas. 
 
 
 
20 A primeira direção da teoria das funções algébricas de uma 
única variável está conectada com o estudo de funções 
algébricas sobre o corpo dos números complexos, no qual elas 
são consideradas funções meromórficas em superfícies de 
Riemann e variedades complexas. Os métodos mais 
importantes aplicados são os métodos geométricos e 
topológicos da teoria das funções analíticas. 
 
 
 
21 A abordagem aritmética-algébrica envolve o estudo de 
funções algébricas sobre campos arbitrários. Os métodos 
empregados são puramente algébricos e a teoria de campos é 
muito importante para a sua compreensão. 
 
 
 
22 Na abordagem algébrica-geométrica as funções algébricas 
são estudadas por métodos da geometria algébrica, que é uma 
geometria que deriva da álgebra, em particular, de anéis. Na 
geometria algébrica clássica, utilizamos o anel de polinomiais. 
O conjunto de zeros das polinomiais são chamados de 
variedade algébrica. Para a equação polinomial 
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1, 
temos que suas raízes dá origem a uma variedade algébrica. 
 
 
 
 
 
 
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6 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 No século XX, foi descoberto que as ideias da geometria 
algébrica clássica poderiam ser aplicadas a qualquer anel 
comutativo com unidade. Isso possibilitou que essa teoria 
pudesse ser aplicada em outras áreas da matemática, em 
particular na teoria dos números algébricos. No final do 
mesmo século foram desenvolvidos vários estudos levando em 
consideração anéis não comutativos e o desenvolvimento da 
geometria associadas a eles, chamada de geometria não 
comutativa. 
 
 
 24 Na prova do último teorema de Fermat, apresentada pelo 
matemático Andrew John Wiles em seu artigo Curvas elípticas 
modulares e o último teorema de Fermat, publicado nos Anais da 
matemática em 1995, ele usou resultados importantes da 
geometria algébrica. 
 
 
 
 
 
 
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7 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[3] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: 
Atual, 1991. 
[4] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002. 
 
[5] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de 
Janeiro: Francisco Alves, 1914. 
[6] WOODBURRY, G. Elementary Algebra. USA: Addison 
Wesley, 2009. 
 
[2] DESKINS, W. E. Abstract Algebra. New York: Dover 
Publicaitions, 1995. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
TEORIA DAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS | ESCOLA DE CÁLCULO 
 
 2 
[1] CHEVALLEY, C. Introduction to the theory of algebraic 
functions of one variable. New York: American Mathematic 
Society, p. 25, 1951. 
 
 
 
 
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA 
 
 
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FUN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO 
TEORIA DAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em 
matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo 
IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e 
doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é 
professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua 
área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a 
primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade 
Federal de Uberlândia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOÃO CARLOS MOREIRA 
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO