Álgebras de Lie: Conceitos e Aplicações

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<p>Carlos, João e Samuel</p><p>Professor: Jordan Lambert</p><p>Álgebras de Lie</p><p>Universidade Federal Fluminense</p><p>Instituto de Ciências Exatas</p><p>Curso de Matemática</p><p>Volta Redonda</p><p>2024</p><p>Sumário</p><p>1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>2 ÁLGEBRAS DE LIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>2.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>2.2 Fontes de Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>2.2.1 Como a Álgebra de Lie de um Grupo Algebráico (ou de Lie) . . . . . . . . 3</p><p>2.3 Teorema de Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>2.4 Álgebras de Lie Nilpotentes e Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>2.4.1 Definições preliminares e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>2.4.2 Fatos Simples sobre Álgebras de Lie Nilpotentes e Solúveis . . . . . . . . . 6</p><p>2.4.3 Caracterização de Engel para Álgebras de Lie Nilpotentes . . . . . . . . . . 7</p><p>2.4.4 Como Classificar Álgebras de Lie Nilpotentes de 2-Etapas . . . . . . . . . . 8</p><p>2.5 Teorema de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>2.5.1 Espaços de Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>2.5.2 Lema de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1</p><p>1 Introdução</p><p>As álgebras de Lie são estruturas matemáticas que surgiram no século XIX, in-</p><p>troduzidas pelo matemático norueguês Sophus Lie. As origens das álgebras de Lie estão</p><p>intimamente ligadas ao estudo de grupos de transformações contínuas, especialmente em</p><p>relação à teoria dos grupos de Lie. Esses grupos surgiram da necessidade de compreender</p><p>as simetrias e as invariâncias nas soluções de equações diferenciais.</p><p>Lie estava motivado a encontrar um método sistemático para resolver equações</p><p>diferenciais que fosse análogo ao uso de grupos de simetria na solução de equações algébricas.</p><p>Sua abordagem inovadora foi a de estudar as simetrias contínuas, levando à concepção de</p><p>grupos de Lie e, consequentemente, às álgebras de Lie, que são suas versões linearizadas.</p><p>A álgebra de Lie associada a um grupo de Lie captura a estrutura infinitesimal do</p><p>grupo e permite um estudo mais profundo e detalhado das propriedades do grupo. Essas</p><p>estruturas algébricas não apenas se tornaram ferramentas fundamentais na matemática</p><p>pura, mas também encontraram aplicações significativas na física teórica, especialmente</p><p>na mecânica quântica, na teoria de campos e na teoria das representações.</p><p>Estudar álgebras de Lie é motivado por várias razões, que abrangem tanto o</p><p>interesse teórico quanto as aplicações práticas:</p><p>• Simplicidade e Estrutura: As álgebras de Lie fornecem uma maneira elegante</p><p>e estruturada de estudar simetrias contínuas. Elas simplificam muitos problemas</p><p>complexos ao permitir uma abordagem linearizada.</p><p>• Aplicações na Física: Na física teórica, especialmente na mecânica quântica e na</p><p>teoria de campos, as álgebras de Lie e suas representações são usadas para descrever</p><p>partículas elementares e suas interações. Os grupos de simetria correspondentes,</p><p>como o grupo de rotações, são fundamentais para entender propriedades físicas como</p><p>a conservação de momento angular.</p><p>• Teoria de Representações: A teoria das representações de álgebras de Lie é uma</p><p>área rica que conecta a álgebra abstrata com a análise e a geometria. Ela é crucial</p><p>para a classificação de álgebras de Lie semi-simples e tem profundas implicações em</p><p>várias áreas da matemática.</p><p>• Geometria Diferencial: Em geometria diferencial, as álgebras de Lie são usadas</p><p>para estudar grupos de transformações e estruturas geométricas. Elas aparecem</p><p>naturalmente na teoria de fibrados e na análise de variedades.</p><p>Capítulo 1. Introdução 2</p><p>Em suma, o estudo das álgebras de Lie oferece uma compreensão profunda das</p><p>simetrias e estruturas subjacentes em diversas áreas da matemática e da física. A riqueza</p><p>de suas aplicações e a beleza de suas teorias continuam a motivar matemáticos e físicos a</p><p>explorar essa fascinante área de estudo.</p><p>1</p><p>2 Álgebras de Lie</p><p>2.1 Conceitos básicos</p><p>Definição 1. Uma álgebra A é um espaço vetorial V sobre um campo F, dotado de uma</p><p>operação binária que é bilinear: a(λb + µc) = λab + µac (λa + µb)c = λac + µbc</p><p>Exemplo 2. O conjunto de matrizes n × n com a multiplicação de matrizes, Matn(F) é</p><p>uma álgebra associativa: (ab)c = a(bc).</p><p>Exemplo 3. Dado um espaço vetorial V , o espaço de todos os endomorfismos de V ,</p><p>End V , com a composição de operadores, é uma álgebra associativa.</p><p>Definição 4. Uma subálgebra B de uma álgebra A é uma subálgebra fechada sob</p><p>multiplicação: ∀a, b ∈ B, ab ∈ B.</p><p>Definição 5. Uma álgebra de Lie é uma álgebra L cujo produto, escrito [x,y] e chamada</p><p>colchete, satisfaz</p><p>• (1) [x, y] = −[y, x], ∀x, y ∈ L</p><p>• (2) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, ∀x, y, z ∈ L</p><p>Exemplo 6. 1. Tome um espaço vetorial com colchete [a, b] = 0. Isso é chamado de</p><p>álgebra de Lie abeliana;</p><p>2. R3, [a, b] = a × b (produto vetorial);</p><p>3. Seja A uma álgebra associativa com produto ab. Então o espaço A com o colchete</p><p>[a, b] = ab − ba é uma álgebra de Lie, denotada por AL.</p><p>Exemplo 7. Um caso especial do último exemplo: gl(V ) = (End V ), onde V é um espaço</p><p>vetorial, é uma álgebra de Lie, chamada álgebra geral de Lie. No caso V = Rn, denotamos</p><p>gln(F), o conjunto de todas as matrizes n × n com o colchete [a, b] = ab − ba.</p><p>Observação 8. Qualquer subálgebra de uma álgebra de Lie é uma álgebra de Lie.</p><p>Exemplo 9. Os dois tipos mais importantes de classes de subálgebras de gln:</p><p>1. sln(F) = {a ∈ gln(F)|tr(a) = 0};</p><p>Capítulo 2. Álgebras de Lie 2</p><p>2. Let B be a bilinear form on a vector space V .</p><p>Definição 10. Seja g uma álgebra de Lie. Na notação acima, uma subespaço h ⊂ g é</p><p>uma subálgebra se [h, h] ⊂ h. Um subespaço de g é chamado de ideal se [h, g] ⊂ g.</p><p>Definição 11. Uma subálgebra derivada de uma álgebra de Lie g é [g, g].</p><p>Proposição 12. [g, g] é um ideal da álgebra de Lie g.</p><p>Demonstração. Sejam a ∈ g, b ∈ [g, g] ⊂ g. Então [a, b] ∈ [g, g].</p><p>Agora classificamos as álgebras de Lie em 1 e 2 dimensões.</p><p>Dim 1. g = Fa, [a, a] = 0 então a álgebra de Lie Abeliana é a única.</p><p>Dim 2. Considere [a, b] = C. Seja g = Fx + Fy, então [x, y] = F [x, y]. Portanto,</p><p>dimF g ≤ 1.</p><p>• Caso 1. dimF g = 0, álgebra de Lie Abeliana.</p><p>• Caso 2. dimF g = 1, [g, g] = 0, [a, b] = λb, λ ∈ F, então [a, b] = b. Portanto, dimF g = 1.</p><p>Então [a, b] = λb e λ ̸= 0, [a, b] ̸= [b, c] = b. Substituindo b = λ−1a obtemos [a, b] = a.</p><p>Então esta álgebra de Lie é isomórfica à subálgebra sl2(F) ⊂ gln(F), já que para</p><p>a =</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p> , b =</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>, temos [a, b] = b.</p><p>2.2 Fontes de Álgebras de Lie</p><p>De Álgebras Associativas</p><p>Vimos na seção anterior que podemos formar uma álgebra de Lie AL a partir de</p><p>uma álgebra associativa A, com operação binária no colchete comutador [a, b] = ab − ba.</p><p>Vimos também que esta construção funciona para álgebras que satisfazem qualquer uma</p><p>de uma variedade de outras condições.</p><p>Como Álgebras de Derivações</p><p>Álgebras de Lie são frequentemente construídas como a álgebra de derivações de</p><p>uma álgebra dada. Isso corresponde ao uso de campos vetoriais em geometria.</p><p>Definição 13. Para qualquer álgebra A sobre um campo F, uma derivação de A é um</p><p>endomorfismo D de A que satisfaz D(ab) = D(a)b + aD(b). Seja Der(A) ⊂ glA o espaço</p><p>de derivações de A.</p><p>Capítulo 2. Álgebras de Lie 3</p><p>Para um elemento a de uma álgebra de Lie g, define-se um mapa ad(a) : g → g</p><p>por b 7→ [a, b]. Este mapa é referido como o operador adjunto. Reescrevendo a identidade</p><p>de Jacobi:</p><p>[a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]] vemos que ad(a) é uma derivação de g. Derivações</p><p>desta forma são referidas como derivações internas de g.</p><p>Proposição 14. (a) Der(A) é uma subálgebra de glA (com o colchete comutador usual).</p><p>(b) As derivações internas de uma álgebra de Lie formam um ideal de Der(g). Mais</p><p>precisamente,</p><p>[D, ad(a)] = ad(D(a))</p><p>para todo D ∈ Der(g) e a ∈ g.</p><p>Definição 15. Sejam g1 e g2 duas álgebras de Lie sobre F e φ : g1 → g2 um mapa linear.</p><p>Dizemos que φ é um homomorfismo se preserva o colchete: φ([a, b]) = [φ(a), φ(b)], e um</p><p>isomorfismo se é bijetivo. Se existir um isomorfismo φ, dizemos que g1 e g2 são isomorfas,</p><p>escrito g1 ∼= g2.</p><p>Teorema 16. Seja φ : g1 → g2 um homomorfismo. Então:</p><p>(a) ker φ é um ideal de g1;</p><p>(b) im φ é uma subálgebra de g2;</p><p>(c) g1/ker φ ∼= im φ.</p><p>2.2.1 Como a Álgebra de Lie de um Grupo Algebráico (ou de Lie)</p><p>Definição 17. Um grupo algebráico G sobre um campo F é uma coleção {Pα} de</p><p>polinômios sobre o conjunto de matrizes Matn(F) tal que para qualquer álgebra associativa</p><p>comutativa A sobre F, o conjunto</p><p>G(A) = {g ∈ Matn(A)|g é invertível, e Pα(g) = 0 para todo α} é um grupo sob</p><p>multiplicação de matrizes.</p><p>Exemplo 18. O grupo linear geral GLn. Seja Pα = 0, para que GLn(A) seja o conjunto</p><p>de matrizes invertíveis em A. Este é um grupo para qualquer A, então GLn é um grupo</p><p>algebráico.</p><p>Exemplo 19. O grupo especial linear SLn. Seja P = {det(gij) − 1}, para que SLn(A)</p><p>seja o conjunto de matrizes invertíveis com determinante 1. Este é um grupo para qualquer</p><p>A, então SLn é um grupo algebráico.</p><p>Definição 20. Dado um campo F, define-se a álgebra de números duais D como</p><p>D = F[ε] = {a + εb|a, b ∈ F, ε2 = 0}.</p><p>Capítulo 2. Álgebras de Lie 4</p><p>Então definimos a álgebra de Lie g de um grupo algebráico G para ser</p><p>L(G) = {X ∈ gln(F )|I + tX ∈ G(D)}.</p><p>Exemplo 21. (1) Lie GLn = gln(F), já que (I + tX)−1 = I − tX. (In − tX aproxima</p><p>a inversa até a ordem t, mas os outros duais são ignorados).</p><p>(2) Lie SLn = sln(F).</p><p>(3) Lie On = on(F).</p><p>Teorema 22. Lie G é uma subálgebra de gln(F).</p><p>2.3 Teorema de Engel</p><p>Definição 23. Seja g uma álgebra de Lie sobre um campo F e V um espaço vetorial sobre</p><p>F. Uma representação de g em V é um homomorfismo φ : g → gl(V ). Em outras palavras,</p><p>é um mapa linear φ : g → End(V ) para o espaço de operadores lineares em V tal que</p><p>[φ(a), φ(b)] = φ([a, b]).</p><p>Exemplo 24. Representação trivial de g em V onde φ = 0 para todo a ∈ g.</p><p>Exemplo 25. Representação adjunta de g em g : a → ada.</p><p>Vamos verificar que esta é de fato uma representação. Devemos mostrar que:</p><p>ad[a,b] = [ada, adb] = ada ◦ adb − adb ◦ ada.</p><p>Aplicando ambos os lados a c ∈ g, obtemos:</p><p>[ad[a,b]]c = [a, [b, c]] − [b, [a, c]].</p><p>Por anti-simetria, isso é justo a identidade de Jacobi:</p><p>[a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]].</p><p>Teorema 26. O centro de uma álgebra de Lie é denotado Z(g) = {a ∈ g|[a, g] = 0}.</p><p>Claramente, Z(g) é um ideal de g.</p><p>Proposição 27. A representação adjunta define uma inclusão de g/Z(g) em gl(g).</p><p>Demonstração. ad : g → glg é um homomorfismo; Kerad = Z(g). Portanto, ad induz uma</p><p>inclusão g/Z(g) → glg, uma vez que Kerφ = 0.</p><p>Teorema 28. (Teorema de Ado) Toda álgebra de Lie de dimensão finita embeda-se em</p><p>gln(F) para algum n.</p><p>Definição 29. Definimos Heis2n+1 para ser a álgebra de Lie com base {pi, qi, c} onde</p><p>[pi, qi] = c = −[qi, pi] para 1 ≤ i ≤ n, e todos os outros pares de colchetes são 0.</p><p>Capítulo 2. Álgebras de Lie 5</p><p>Construções de representações a partir de outras dadas.</p><p>Definição 30. Representação de soma direta. Dadas representações π1, π2 de g em V ,</p><p>definimos π1 ⊕ π2 de g em V ⊕ V : (π1 ⊕ π2)(a) = π1(a) ⊕ π2(a).</p><p>Definição 31. Subrepresentação e representação fator Dada uma representação π de g em</p><p>V , se U ⊂ V é um subespaço invariante com respeito a todos os operadores π(a), a ∈ g,</p><p>temos a subrepresentação πU de g em U : πU(a) = π(a)|U .</p><p>Além disso, a representação fator πV/U de g em V/U : a + U → π(a)V .</p><p>Definição 32. Um operador linear A em um espaço vetorial V é chamado nilpotente se</p><p>AN = 0 para algum inteiro positivo N .</p><p>Lema 33. Se ad a é um operador nilpotente em um espaço vetorial V , então</p><p>(1) Existe um vetor não-nulo v ∈ V tal que a · v = 0.</p><p>(2) ad A é um operador nilpotente em glV .</p><p>Teorema 34. (Teorema de Engel) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e</p><p>g ⊂ glV uma subálgebra de Lie que consiste inteiramente em operadores nilpotentes. Então,</p><p>existe um vetor não-nulo v ∈ V tal que a · v = 0 para todo a ∈ g.</p><p>Demonstração. Por indução sobre dim g.</p><p>Se dim g = 1, então g = Fa para algum a ∈ g. Por (1) do último lema, o Teorema</p><p>de Engel se mantém.</p><p>Assumimos dim g ≥ 2 e deixamos h ser um subgrupo próprio maximal de g. Uma</p><p>vez que Fa é sempre uma subálgebra, assumimos dim h ≥ 1. Consideramos a representação</p><p>adjunta de g (em si mesmo) e consideramos ḡ = g/h e h̄ = h/h. Então, h̄ é um subgrupo</p><p>invariante para a representação adjunta (desde que g/h seja invariante). Portanto, podemos</p><p>considerar a representação fator em g/h. Então g/h ⊂ gl(g/h) é nilpotente, pois π(g/h)</p><p>consiste apenas de operadores nilpotentes por (2) do último lema.</p><p>Para dim g = n, assumimos o Lemma se mantém. Então, temos um vetor v̄ ̸= 0,</p><p>um vetor não-nulo tal que π(a)v̄ = 0. O preimagem de v̄ é v ∈ g, e π(a) · v = 0. Em</p><p>particular, a · v ∈ ker π. Como ker π é uma álgebra de Lie, podemos supor g/ker π é de</p><p>dimensão finita.</p><p>2.4 Álgebras de Lie Nilpotentes e Solúveis</p><p>2.4.1 Definições preliminares e exemplos</p><p>Definição 35. Seja g uma álgebra de Lie sobre um campo F. A série central descendente</p><p>de g é a sequência decrescente de subespaços</p><p>Capítulo 2. Álgebras de Lie 6</p><p>g = g1 ⊇ g2 ⊇ g3 ⊇ · · · ⊇ gk+1 ⊇ · · ·</p><p>enquanto a série derivada é</p><p>g(0) = g ⊇ g(1) = [g, g] ⊇ g(2) = [g(1), g(1)] ⊇ g(3) = [g(2), g(2)] ⊇ · · ·</p><p>Notamos que</p><p>(1) gk ⊆ g(k) para n ≥ 1 por indução.</p><p>(2) Todos gk e g(k) são ideais em g.</p><p>Definição 36. Uma álgebra de Lie g é chamada nilpotente (resp. solúvel) se gn = 0 para</p><p>algum n > 0 (resp. g(n) = 0 para algum n > 0).</p><p>Se g é nilpotente, então g é solúvel. De fato:</p><p>{abeliana} ⊂ {nilpotente} ⊂ {solúvel}</p><p>Exemplo 37. Seja g = Fa + Fb + Fc com [a, b] = c, [a, c] = b, e [b, c] = a, então</p><p>g = Fb ⊕ Fc então g é solúvel mas não nilpotente.</p><p>Exemplo 38. Seja H3 = Fp + Fq + Fc com [p, q] = c e [q, c] = 0. Então H3 ⊆ H2</p><p>3 =</p><p>H3 = 0.</p><p>Exemplo 39. gln(F ) =</p><p>{</p><p>matrizes triangulares superiores</p><p>}</p><p>2.4.2 Fatos Simples sobre Álgebras de Lie Nilpotentes e Solúveis</p><p>Primeiro, notamos:</p><p>1. Qualquer subálgebra de uma álgebra de Lie nilpotente (resp. solúvel) é nilpotente</p><p>(resp. solúvel).</p><p>2. Qualquer álgebra quociente de uma álgebra de Lie nilpotente (resp. solúvel) é</p><p>nilpotente (resp. solúvel).</p><p>Exemplo 40. Seja g uma álgebra de Lie e b ⊆ g um ideal. Mostre que se b é solúvel e</p><p>g/b é solúvel, então g também é solúvel.</p><p>Solução. Primeiro provamos que as imagens homomórficas de uma álgebra solúvel</p><p>são solúveis. Seja g1 solúvel e ϕ : g → g2 um homomorfismo sobrejetivo. Mostramos que</p><p>ϕ(g(i)</p><p>1 ) = g</p><p>(i)</p><p>2</p><p>para todo i ≥ 0.</p><p>Capítulo 2. Álgebras de Lie 7</p><p>O caso i = 0 é trivial. Suponha que vale para algum i ≥ 0. Então</p><p>ϕ(g(i+1)</p><p>1 ) = ϕ([g(i)</p><p>1 , g</p><p>(i)</p><p>1 ]) = [ϕ(g(i)</p><p>1 ), ϕ(g(i)</p><p>1 )] = [g(i)</p><p>2 , g</p><p>(i)</p><p>2 ] = g</p><p>(i+1)</p><p>2 .</p><p>Assim, se g1 é solúvel, então g2 também é. Agora suponha que b ⊆ g é um ideal</p><p>solúvel, ou seja, b(m) = 0, e que (g/b)(n) = 0. Considere o homomorfismo canônico</p><p>τ : g → g/b. Pelo resultado anterior,</p><p>g(m+n)/b = (g/b)(n) = 0</p><p>o que significa que g(m+n) ⊆ b(m) = 0, o que implica que g é solúvel. □</p><p>O último exercício não vale se colocarmos "nilpotente"no lugar de "solúvel", como</p><p>mostra o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 41. Suponha que g = a+ Fb, a, b ⊆ g sejam ideais, a e g/a sejam de dimensão</p><p>1 e ambas nilpotentes, mas g não seja nilpotente.</p><p>Teorema 42. 1. Se g é uma álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita, então o</p><p>centro Z(g) é não nulo.</p><p>2. Se g é uma álgebra de Lie de dimensão finita tal que g/Z(g) é nilpotente, então g é</p><p>nilpotente.</p><p>Demonstração. 1. Tome N ⊆ g tal que N = 0. Como g ̸= 0, N ≥ 1, mas então</p><p>gN−1 ⊆ Z(g).</p><p>2. Se g/Z(g) é nilpotente, ou seja, g = 0 para algum n que implica que g ⊆ Z(g), então</p><p>gn+1 = 0.</p><p>2.4.3 Caracterização de Engel para Álgebras de Lie Nilpotentes</p><p>Teorema 43. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita. Então g é nilpotente se, e</p><p>somente se, (ad x)m = 0 para cada x ∈ g e algum m > 0. Um m fixo sempre pode ser</p><p>tomado como dim g.</p><p>A prova é se g é nilpotente,</p><p>então gn+1 = 0 para algum n. Em particular, (ad x)n = 0</p><p>para todos a, b, c ∈ g. Isso implica que g admite uma representação adjunta injetiva no</p><p>homomorfismo (g/Z(g))2 e, por suposição, tem uma matriz nilpotente de elementos</p><p>trianulares superiores.</p><p>O teorema de Engel (da última aula), (g/Z(g))2 consiste de matrizes trianulares</p><p>superiores em uma mesma base. Portanto, se g/Z(g) é nilpotente, então g é nilpotente.</p><p>Capítulo 2. Álgebras de Lie 8</p><p>2.4.4 Como Classificar Álgebras de Lie Nilpotentes de 2-Etapas</p><p>Seja g nilpotente de n-dimensões com Z(g) ̸= 0 de modo que g/Z(g) seja nilpotente</p><p>de dimensão n1 < n.</p><p>Definição 44. g é (k − 1)-passo nilpotente se g/Z(g) for (k − 1)-passo nilpotente, e</p><p>V = {g/Z(g) | g/Z(g) é nilpotente de (k − 1)-passo}.</p><p>Seja g nilpotente de 2-passos V = V (Z(g)) abeliana. Considere a forma bilinear</p><p>B : V × V → Z(g)</p><p>definida por B(x, y) = [x, y].</p><p>2.5 Teorema de Lie</p><p>2.5.1 Espaços de Peso</p><p>Notação. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F. Denotaremos por V ∗ o</p><p>espaço vetorial dual de V .</p><p>Definição 45. Seja b uma álgebra de Lie, π : b → gl(V ) uma representação de b e λ ∈ b∗.</p><p>Definimos o espaço de peso de π associado a λ como</p><p>V λ</p><p>π = {v ∈ V | (π(h)v = λ(h)v, ∀h ∈ h}.</p><p>Se V λ</p><p>π ̸= 0, diremos que λ é um peso para π.</p><p>2.5.2 Lema de Lie</p><p>Lema 46. (Lema de Lie). Seja g uma álgebra de Lie e b ⊆ g um ideal de dimensão finita</p><p>sobre F algebricamente fechado e de característica 0. Seja π uma representação de g em</p><p>um espaço vetorial de dimensão finita V sobre g. Então cada espaço de peso V λ</p><p>π para a</p><p>representação restrita π0 é invariante sob g.</p><p>Teorema 47. Teorema de Lie. Seja g uma álgebra de Lie solúvel e π uma representação</p><p>de g em um espaço vetorial de dimensão finita V ̸= 0 sobre um corpo F algebricamente</p><p>fechado de característica 0. Então existe um peso λ ∈ g∗ para π, ou seja, tal que V λ</p><p>π ̸= {0}.</p><p>1</p><p>3 Conclusão</p><p>2</p><p>Referências</p><p>Folha de rosto</p><p>Sumário</p><p>Introdução</p><p>Álgebras de Lie</p><p>Conceitos básicos</p><p>Fontes de Álgebras de Lie</p><p>Como a Álgebra de Lie de um Grupo Algebráico (ou de Lie)</p><p>Teorema de Engel</p><p>Álgebras de Lie Nilpotentes e Solúveis</p><p>Definições preliminares e exemplos</p><p>Fatos Simples sobre Álgebras de Lie Nilpotentes e Solúveis</p><p>Caracterização de Engel para Álgebras de Lie Nilpotentes</p><p>Como Classificar Álgebras de Lie Nilpotentes de 2-Etapas</p><p>Teorema de Lie</p><p>Espaços de Peso</p><p>Lema de Lie</p><p>Conclusão</p><p>Referências</p>