calculo 1 AS

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*Resposta:* a) \(\text{Ei}(x) + C\) 
*Explicação:* A integral \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\) é a função exponencial integral \(\text{Ei}(x) 
+ C\). 
 
**Questão 19** 
Qual é a solução para a equação diferencial \(y' = xy\)? 
a) \(y = Ce^{\frac{x^2}{2}}\) 
b) \(y = C e^{x^2}\) 
c) \(y = C e^{-x^2}\) 
d) \(y = C e^{2x}\) 
 
*Resposta:* a) \(y = C e^{\frac{x^2}{2}}\) 
*Explicação:* Separando as variáveis e integrando, obtemos a solução \(y = C 
e^{\frac{x^2}{2}}\). 
 
**Questão 20** 
Qual é a solução para a equação \(\int \frac{dx}{x^2 + 1}\)? 
a) \(\arctan(x) + C\) 
b) \(\arcsin(x) + C\) 
c) \(\ln(x) + C\) 
d) \(\frac{1}{x} + C\) 
 
*Resposta:* a) \(\arctan(x) + C\) 
*Explicação:* A integral \(\int \frac{dx}{x^2 + 1}\) é a função arco-tangente, ou \(\arctan(x) + 
C\). 
 
**Questão 21** 
Qual é o valor de \(\int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx\)? 
a) \(1\) 
b) \(0\) 
c) \(\frac{\pi}{2}\) 
d) \(2\) 
 
*Resposta:* a) \(1\) 
*Explicação:* Calculando a integral definida, obtemos \(\int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx = [-
\cos(x)]_0^{\pi/2} = 1\). 
 
**Questão 22** 
Qual é a solução para a equação \(2 \cdot \text{log}_2(x) - \text{log}_2(x^2) = 1\)? 
a) \(x = 2\) 
b) \(x = 4\) 
c) \(x = 1\) 
d) \(x = 8\) 
 
*Resposta:* d) \(x = 8\) 
*Explicação:* Usando propriedades dos logaritmos, simplificamos a equação e resolvemos 
para \(x\), obtendo \(x = 8\). 
 
**Questão 23** 
Qual é a solução para a equação diferencial \(y'' - y = 0\)? 
a) \(y = c_1 e^x + c_2 e^{-x}\) 
b) \(y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)\) 
c) \(y = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x}\) 
d) \(y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x}\) 
 
*Resposta:* a) \(y = c_1 e^x + c_2 e^{-x}\) 
*Explicação:* A equação diferencial tem raízes \(\pm 1\) no polinômio característico, 
resultando na solução geral \(y = c_1 e^x + c_2 e^{-x}\). 
 
**Questão 24** 
Qual é a integral de \(\int x e^x \, dx\)? 
a) \(e^x (x - 1) + C\) 
b) \(e^x (x + 1) + C\) 
c) \(e^x x + C\) 
d) \(e^x x^2 + C\) 
 
*Resposta:* a) \(e^x (x - 1) + C\) 
*Explicação:* Usando a integração por partes, obtemos a integral \(e^x (x - 1) + C\). 
 
**Questão 25** 
Qual é o valor de \(\frac{d}{dx} [e^{x^2}] \)? 
a) \(2x e^{x^2}\) 
b) \(e^{x^2}\) 
c) \(x e^{x^2}\) 
d) \(e^{2x}\) 
 
*Resposta:* a) \(2x e^{x^2}\) 
*Explicação:* Aplicando a regra da cadeia para a derivada de \( 
 
e^{x^2}\), obtemos \(2x e^{x^2}\). 
 
**Questão 26** 
Qual é a solução para a equação \(x^2 - 2x - 3 = 0\)? 
a) \(x = 3, -1\) 
b) \(x = 2, -1\) 
c) \(x = 1, -3\) 
d) \(x = 3, 1\) 
 
*Resposta:* a) \(x = 3, -1\) 
*Explicação:* Resolvendo a equação quadrática, obtemos as raízes \(x = 3\) e \(x = -1\). 
 
**Questão 27** 
Qual é a solução para a equação \(\int e^{-x} \, dx\)? 
a) \(-e^{-x} + C\)