prova g

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Resposta: \( -\frac{1}{x} + C \). 
 Explicação: Use a regra da potência para resolver a integral. 
 
7. **Encontre a derivada de** \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 Explicação: Use a regra da cadeia para derivar a função logarítmica. 
 
8. **Determine a integral de** \( \int x \cdot e^x \, dx \). 
 Resposta: \( (x - 1) e^x + C \). 
 Explicação: Use a integração por partes para resolver a integral. 
 
9. **Calcule a derivada de** \( f(x) = \tan(x) \cdot \sec(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec^3(x) \). 
 Explicação: Use a regra do produto e as identidades trigonométricas. 
 
10. **Encontre a integral definida de** \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( 1 \). 
 Explicação: A integral da função seno é conhecida e pode ser avaliada nos limites dados. 
 
11. **Calcule a derivada de** \( f(x) = x \cdot \ln(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \ln(x) + 1 \). 
 Explicação: Use a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. 
 
12. **Determine a integral de** \( \int \cos^2(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \). 
 Explicação: Use a identidade trigonométrica para simplificar a função antes da integração. 
 
13. **Encontre a derivada de** \( f(x) = e^{x^2} \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2x e^{x^2} \). 
 Explicação: Use a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
14. **Calcule a integral definida de** \( \int_{0}^{1} 3x^2 \, dx \). 
 Resposta: \( 1 \). 
 Explicação: Encontre a antiderivada e avalie nos limites dados. 
 
15. **Encontre a derivada de** \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 Explicação: Use a regra da cadeia para derivar a função raiz. 
 
16. **Determine a integral de** \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 Resposta: \( -\frac{1}{2x^2} + C \). 
 Explicação: Aplique a regra da potência para resolver a integral. 
 
17. **Calcule a derivada de** \( f(x) = \arctan(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \). 
 Explicação: Use a fórmula conhecida para a derivada da função arco-tangente. 
 
18. **Encontre a integral definida de** \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resposta: \( 1 \). 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln(x) \), então avalie nos limites. 
 
19. **Calcule a derivada de** \( f(x) = \cos(x^2) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -2x \sin(x^2) \). 
 Explicação: Use a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
20. **Determine a integral de** \( \int x \cdot \ln(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{x^2 \ln(x) - \frac{x^2}{2}}{2} + C \). 
 Explicação: Use a integração por partes. 
 
21. **Encontre a derivada de** \( f(x) = \sec(x) \cdot \tan(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec(x) (\sec^2(x) + \tan(x)) \). 
 Explicação: Use a regra do produto e identidades trigonométricas.